MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsvalstr Structured version   Unicode version

Theorem prdsvalstr 14699
Description: Structure product value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
prdsvalstr  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) ) Struct  <. 1 , ; 1 5 >.

Proof of Theorem prdsvalstr
StepHypRef Expression
1 unass 3656 . 2  |-  ( ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } )  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } )  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) )
2 eqid 2462 . . . 4  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } )  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } )
32imasvalstr 14698 . . 3  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } ) Struct  <. 1 , ; 1 2 >.
4 1nn0 10802 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
5 4nn 10686 . . . . 5  |-  4  e.  NN
64, 5decnncl 10980 . . . 4  |- ; 1 4  e.  NN
7 homndx 14661 . . . 4  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
8 4nn0 10805 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
9 5nn 10687 . . . . 5  |-  5  e.  NN
10 4lt5 10699 . . . . 5  |-  4  <  5
114, 8, 9, 10declt 10988 . . . 4  |- ; 1 4  < ; 1 5
124, 9decnncl 10980 . . . 4  |- ; 1 5  e.  NN
13 ccondx 14663 . . . 4  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
146, 7, 11, 12, 13strle2 14578 . . 3  |-  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } Struct  <.; 1 4 , ; 1 5 >.
15 2nn0 10803 . . . 4  |-  2  e.  NN0
16 2lt4 10697 . . . 4  |-  2  <  4
174, 15, 5, 16declt 10988 . . 3  |- ; 1 2  < ; 1 4
183, 14, 17strleun 14576 . 2  |-  ( ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } )  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) Struct  <. 1 , ; 1
5 >.
191, 18eqbrtrri 4463 1  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) ) Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    u. cun 3469   {cpr 4024   {ctp 4026   <.cop 4028   class class class wbr 4442   ` cfv 5581   1c1 9484   2c2 10576   4c4 10578   5c5 10579  ;cdc 10967   Struct cstr 14477   ndxcnx 14478   Basecbs 14481   +g cplusg 14546   .rcmulr 14547  Scalarcsca 14549   .scvsca 14550   .icip 14551  TopSetcts 14552   lecple 14553   distcds 14555   Hom chom 14557  compcco 14558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-fz 11664  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-hom 14570  df-cco 14571
This theorem is referenced by:  prdsvallem  14700
  Copyright terms: Public domain W3C validator