MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsvallem Structured version   Unicode version

Theorem prdsvallem 14384
Description: Lemma for prdsbas 14387 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsvallem.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) ) )
prdsvallem.1  |-  A  =  ( E `  U
)
prdsvallem.2  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
prdsvallem.3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
prdsvallem.4  |-  { <. ( E `  ndx ) ,  T >. }  C_  (
( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) )
Assertion
Ref Expression
prdsvallem  |-  ( ph  ->  A  =  T )

Proof of Theorem prdsvallem
StepHypRef Expression
1 prdsvallem.u . 2  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) ) )
2 prdsvalstr 14383 . 2  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) ) Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
3 prdsvallem.2 . 2  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
4 prdsvallem.4 . 2  |-  { <. ( E `  ndx ) ,  T >. }  C_  (
( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) )
5 prdsvallem.3 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
6 prdsvallem.1 . 2  |-  A  =  ( E `  U
)
71, 2, 3, 4, 5, 6strfv3 14201 1  |-  ( ph  ->  A  =  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    u. cun 3321    C_ wss 3323   {csn 3872   {cpr 3874   {ctp 3876   <.cop 3878   ` cfv 5413   1c1 9275   5c5 10366  ;cdc 10747   ndxcnx 14163  Slot cslot 14165   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   .rcmulr 14231  Scalarcsca 14233   .scvsca 14234   .icip 14235  TopSetcts 14236   lecple 14237   distcds 14239   Hom chom 14241  compcco 14242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-hom 14254  df-cco 14255
This theorem is referenced by:  prdssca  14386  prdsbas  14387  prdsplusg  14388  prdsmulr  14389  prdsvsca  14390  prdsip  14391  prdsle  14392  prdsds  14394  prdstset  14396  prdshom  14397  prdsco  14398
  Copyright terms: Public domain W3C validator