MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsvallem Structured version   Unicode version

Theorem prdsvallem 15066
Description: Lemma for prdsbas 15069 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsvallem.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) ) )
prdsvallem.1  |-  A  =  ( E `  U
)
prdsvallem.2  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
prdsvallem.3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
prdsvallem.4  |-  { <. ( E `  ndx ) ,  T >. }  C_  (
( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) )
Assertion
Ref Expression
prdsvallem  |-  ( ph  ->  A  =  T )

Proof of Theorem prdsvallem
StepHypRef Expression
1 prdsvallem.u . 2  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) ) )
2 prdsvalstr 15065 . 2  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) ) Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
3 prdsvallem.2 . 2  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
4 prdsvallem.4 . 2  |-  { <. ( E `  ndx ) ,  T >. }  C_  (
( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  .xb  >. } ) )
5 prdsvallem.3 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
6 prdsvallem.1 . 2  |-  A  =  ( E `  U
)
71, 2, 3, 4, 5, 6strfv3 14876 1  |-  ( ph  ->  A  =  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    u. cun 3411    C_ wss 3413   {csn 3971   {cpr 3973   {ctp 3975   <.cop 3977   ` cfv 5568   1c1 9522   5c5 10628  ;cdc 11018   ndxcnx 14836  Slot cslot 14838   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   .rcmulr 14908  Scalarcsca 14910   .scvsca 14911   .icip 14912  TopSetcts 14913   lecple 14914   distcds 14916   Hom chom 14918  compcco 14919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-hom 14931  df-cco 14932
This theorem is referenced by:  prdssca  15068  prdsbas  15069  prdsplusg  15070  prdsmulr  15071  prdsvsca  15072  prdsip  15073  prdsle  15074  prdsds  15076  prdstset  15078  prdshom  15079  prdsco  15080
  Copyright terms: Public domain W3C validator