MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstps Structured version   Unicode version

Theorem prdstps 20296
Description: A structure product of topologies is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstopn.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdstopn.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdstopn.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdstps.r  |-  ( ph  ->  R : I --> TopSp )
Assertion
Ref Expression
prdstps  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopSp )

Proof of Theorem prdstps
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstopn.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
2 prdstps.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R : I --> TopSp )
32ffvelrnda 6007 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  TopSp )
4 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( R `  x
) )  =  (
Base `  ( R `  x ) )
5 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  ( R `  x ) )  =  ( TopOpen `  ( R `  x ) )
64, 5istps 19604 . . . . . 6  |-  ( ( R `  x )  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  ( R `  x ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )
73, 6sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  ( R `  x ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )
87ralrimiva 2868 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( TopOpen `  ( R `  x ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )
9 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  ( TopOpen `  ( R `  x ) ) ) )  =  ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  ( TopOpen `  ( R `  x ) ) ) )
109pttopon 20263 . . . 4  |-  ( ( I  e.  W  /\  A. x  e.  I  (
TopOpen `  ( R `  x ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
TopOpen `  ( R `  x ) ) ) )  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I  (
Base `  ( R `  x ) ) ) )
111, 8, 10syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
TopOpen `  ( R `  x ) ) ) )  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I  (
Base `  ( R `  x ) ) ) )
12 prdstopn.y . . . . 5  |-  Y  =  ( S X_s R )
13 prdstopn.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
14 fex 6120 . . . . . 6  |-  ( ( R : I --> TopSp  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
152, 1, 14syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
16 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
17 fdm 5717 . . . . . 6  |-  ( R : I --> TopSp  ->  dom  R  =  I )
182, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
19 eqid 2454 . . . . 5  |-  (TopSet `  Y )  =  (TopSet `  Y )
2012, 13, 15, 16, 18, 19prdstset 14955 . . . 4  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
21 topnfn 14915 . . . . . . 7  |-  TopOpen  Fn  _V
22 dffn2 5714 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen  Fn 
_V 
<-> 
TopOpen : _V --> _V )
2321, 22mpbi 208 . . . . . 6  |-  TopOpen : _V --> _V
24 ssv 3509 . . . . . . 7  |-  TopSp  C_  _V
25 fss 5721 . . . . . . 7  |-  ( ( R : I --> TopSp  /\  TopSp  C_ 
_V )  ->  R : I --> _V )
262, 24, 25sylancl 660 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R : I --> _V )
27 fcompt 6043 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen : _V --> _V  /\  R : I --> _V )  ->  ( TopOpen  o.  R )  =  ( x  e.  I  |->  ( TopOpen `  ( R `  x )
) ) )
2823, 26, 27sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R )  =  ( x  e.  I  |->  ( TopOpen `  ( R `  x )
) ) )
2928fveq2d 5852 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
TopOpen `  ( R `  x ) ) ) ) )
3020, 29eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
TopOpen `  ( R `  x ) ) ) ) )
3112, 13, 15, 16, 18prdsbas 14946 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
3231fveq2d 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopOn `  ( Base `  Y ) )  =  (TopOn `  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x )
) ) )
3311, 30, 323eltr4d 2557 . 2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )
3416, 19tsettps 19611 . 2  |-  ( (TopSet `  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y
) )  ->  Y  e.  TopSp )
3533, 34syl 16 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopSp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    C_ wss 3461    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988    o. ccom 4992    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   X_cixp 7462   Basecbs 14716  TopSetcts 14790   TopOpenctopn 14911   Xt_cpt 14928   X_scprds 14935  TopOnctopon 19562   TopSpctps 19564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570
This theorem is referenced by:  pwstps  20297  xpstps  20477  prdstmdd  20788
  Copyright terms: Public domain W3C validator