MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstps Structured version   Unicode version

Theorem prdstps 19327
Description: A structure product of topologies is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstopn.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdstopn.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdstopn.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdstps.r  |-  ( ph  ->  R : I --> TopSp )
Assertion
Ref Expression
prdstps  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopSp )

Proof of Theorem prdstps
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstopn.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
2 prdstps.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R : I --> TopSp )
32ffvelrnda 5945 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  TopSp )
4 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( R `  x
) )  =  (
Base `  ( R `  x ) )
5 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  ( R `  x ) )  =  ( TopOpen `  ( R `  x ) )
64, 5istps 18666 . . . . . 6  |-  ( ( R `  x )  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  ( R `  x ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )
73, 6sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  ( R `  x ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )
87ralrimiva 2825 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( TopOpen `  ( R `  x ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )
9 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  ( TopOpen `  ( R `  x ) ) ) )  =  ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  ( TopOpen `  ( R `  x ) ) ) )
109pttopon 19294 . . . 4  |-  ( ( I  e.  W  /\  A. x  e.  I  (
TopOpen `  ( R `  x ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
TopOpen `  ( R `  x ) ) ) )  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I  (
Base `  ( R `  x ) ) ) )
111, 8, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
TopOpen `  ( R `  x ) ) ) )  e.  (TopOn `  X_ x  e.  I  (
Base `  ( R `  x ) ) ) )
12 prdstopn.y . . . . 5  |-  Y  =  ( S X_s R )
13 prdstopn.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
14 fex 6052 . . . . . 6  |-  ( ( R : I --> TopSp  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
152, 1, 14syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
16 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
17 fdm 5664 . . . . . 6  |-  ( R : I --> TopSp  ->  dom  R  =  I )
182, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
19 eqid 2451 . . . . 5  |-  (TopSet `  Y )  =  (TopSet `  Y )
2012, 13, 15, 16, 18, 19prdstset 14515 . . . 4  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
21 topnfn 14475 . . . . . . 7  |-  TopOpen  Fn  _V
22 dffn2 5661 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen  Fn 
_V 
<-> 
TopOpen : _V --> _V )
2321, 22mpbi 208 . . . . . 6  |-  TopOpen : _V --> _V
24 ssv 3477 . . . . . . 7  |-  TopSp  C_  _V
25 fss 5668 . . . . . . 7  |-  ( ( R : I --> TopSp  /\  TopSp  C_ 
_V )  ->  R : I --> _V )
262, 24, 25sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R : I --> _V )
27 fcompt 5981 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen : _V --> _V  /\  R : I --> _V )  ->  ( TopOpen  o.  R )  =  ( x  e.  I  |->  ( TopOpen `  ( R `  x )
) ) )
2823, 26, 27sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R )  =  ( x  e.  I  |->  ( TopOpen `  ( R `  x )
) ) )
2928fveq2d 5796 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
TopOpen `  ( R `  x ) ) ) ) )
3020, 29eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
TopOpen `  ( R `  x ) ) ) ) )
3112, 13, 15, 16, 18prdsbas 14506 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
3231fveq2d 5796 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopOn `  ( Base `  Y ) )  =  (TopOn `  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x )
) ) )
3311, 30, 323eltr4d 2554 . 2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )
3416, 19tsettps 18673 . 2  |-  ( (TopSet `  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y
) )  ->  Y  e.  TopSp )
3533, 34syl 16 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopSp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3071    C_ wss 3429    |-> cmpt 4451   dom cdm 4941    o. ccom 4945    Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   X_cixp 7366   Basecbs 14285  TopSetcts 14355   TopOpenctopn 14471   Xt_cpt 14488   X_scprds 14495  TopOnctopon 18624   TopSpctps 18626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fi 7765  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632
This theorem is referenced by:  pwstps  19328  xpstps  19508  prdstmdd  19819
  Copyright terms: Public domain W3C validator