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Theorem prdstotbnd 32190
 Description: The product metric over finite index set is totally bounded if all the factors are totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y s
prdsbnd.b
prdsbnd.v
prdsbnd.e
prdsbnd.d
prdsbnd.s
prdsbnd.i
prdsbnd.r
prdstotbnd.m
Assertion
Ref Expression
prdstotbnd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdstotbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . 4 s s
2 eqid 2471 . . . 4 s s
3 prdsbnd.v . . . 4
4 prdsbnd.e . . . 4
5 eqid 2471 . . . 4 s s
6 prdsbnd.s . . . 4
7 prdsbnd.i . . . 4
8 fvex 5889 . . . . 5
98a1i 11 . . . 4
10 prdstotbnd.m . . . . 5
11 totbndmet 32168 . . . . 5
1210, 11syl 17 . . . 4
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12prdsmet 21463 . . 3 s s
14 prdsbnd.d . . . 4
15 prdsbnd.y . . . . . 6 s
16 prdsbnd.r . . . . . . . 8
17 dffn5 5924 . . . . . . . 8
1816, 17sylib 201 . . . . . . 7
1918oveq2d 6324 . . . . . 6 s s
2015, 19syl5eq 2517 . . . . 5 s
2120fveq2d 5883 . . . 4 s
2214, 21syl5eq 2517 . . 3 s
23 prdsbnd.b . . . . 5
2420fveq2d 5883 . . . . 5 s
2523, 24syl5eq 2517 . . . 4 s
2625fveq2d 5883 . . 3 s
2713, 22, 263eltr4d 2564 . 2
287adantr 472 . . . . 5
29 istotbnd3 32167 . . . . . . . . . . 11
3029simprbi 471 . . . . . . . . . 10
3110, 30syl 17 . . . . . . . . 9
3231r19.21bi 2776 . . . . . . . 8
33 df-rex 2762 . . . . . . . . 9
34 rexv 3048 . . . . . . . . 9
3533, 34bitr4i 260 . . . . . . . 8
3632, 35sylib 201 . . . . . . 7
3736an32s 821 . . . . . 6
3837ralrimiva 2809 . . . . 5
39 eleq1 2537 . . . . . . 7
40 iuneq1 4283 . . . . . . . 8
4140eqeq1d 2473 . . . . . . 7
4239, 41anbi12d 725 . . . . . 6
4342ac6sfi 7833 . . . . 5
4428, 38, 43syl2anc 673 . . . 4
45 elfpw 7894 . . . . . . . . . . . 12
4645simplbi 467 . . . . . . . . . . 11
4746adantr 472 . . . . . . . . . 10
4847ralimi 2796 . . . . . . . . 9
4948ad2antll 743 . . . . . . . 8
50 ss2ixp 7553 . . . . . . . 8
5149, 50syl 17 . . . . . . 7
52 fnfi 7867 . . . . . . . . . . 11
5316, 7, 52syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
54 fndm 5685 . . . . . . . . . . 11
5516, 54syl 17 . . . . . . . . . 10
5615, 6, 53, 23, 55prdsbas 15433 . . . . . . . . 9
573rgenw 2768 . . . . . . . . . 10
58 ixpeq2 7554 . . . . . . . . . 10
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . 9
6056, 59syl6eqr 2523 . . . . . . . 8
6160ad2antrr 740 . . . . . . 7
6251, 61sseqtr4d 3455 . . . . . 6
6328adantr 472 . . . . . . 7
6445simprbi 471 . . . . . . . . . 10
6564adantr 472 . . . . . . . . 9
6665ralimi 2796 . . . . . . . 8
6766ad2antll 743 . . . . . . 7
68 ixpfi 7889 . . . . . . 7
6963, 67, 68syl2anc 673 . . . . . 6
70 elfpw 7894 . . . . . 6
7162, 69, 70sylanbrc 677 . . . . 5
72 metxmet 21427 . . . . . . . . . . 11
7327, 72syl 17 . . . . . . . . . 10
74 rpxr 11332 . . . . . . . . . 10
75 blssm 21511 . . . . . . . . . . . . 13
76753expa 1231 . . . . . . . . . . . 12
7776an32s 821 . . . . . . . . . . 11
7877ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10
7973, 74, 78syl2an 485 . . . . . . . . 9
8079adantr 472 . . . . . . . 8
81 ssralv 3479 . . . . . . . 8
8262, 80, 81sylc 61 . . . . . . 7
83 iunss 4310 . . . . . . 7
8482, 83sylibr 217 . . . . . 6
8563adantr 472 . . . . . . . . . . 11
8661eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . 13
87 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8887elixp 7547 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . 14
90 df-rex 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
91 eliun 4274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
92 rexv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9390, 91, 923bitr4i 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
94 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9593, 94syl5bbr 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9695biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9796adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9897ral2imi 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . 14
10089, 99syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13
10186, 100sylbid 223 . . . . . . . . . . . 12
102101imp 436 . . . . . . . . . . 11
103 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13
104 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14
105104eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . 13
106103, 105anbi12d 725 . . . . . . . . . . . 12
107106ac6sfi 7833 . . . . . . . . . . 11
10885, 102, 107syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
109 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111110ralimi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112109, 111anim12i 576 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114113elixp 7547 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115112, 114sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15
116115adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
11786biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118 ixpfn 7546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120119adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122121ralimi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123122ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12487elixp 7547 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125120, 123, 124sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . 15
126 simp-4l 784 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12751ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
128127, 116sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129126, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
130128, 129eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
133132cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
134133oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 s s
13520, 134syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 s
136135fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 s
13714, 136syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 s
138137fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 s
139138oveqdr 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 s
140 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 s s
141 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 s s
1426adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1437adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1448a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145 metxmet 21427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14612, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
147146adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
149135fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 s
15023, 149syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 s
151150adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 s
152148, 151eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 s
15374ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
154 rpgt0 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
155154ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
156134, 140, 3, 4, 141, 142, 143, 144, 147, 152, 153, 155prdsbl 21584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 s
157139, 156eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16
158126, 130, 131, 157syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . . . 15
159125, 158eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . 14
160116, 159jca 541 . . . . . . . . . . . . 13
161160ex 441 . . . . . . . . . . . 12
162161eximdv 1772 . . . . . . . . . . 11
163 df-rex 2762 . . . . . . . . . . 11
164162, 163syl6ibr 235 . . . . . . . . . 10
165108, 164mpd 15 . . . . . . . . 9
166165ex 441 . . . . . . . 8
167 eliun 4274 . . . . . . . 8
168166, 167syl6ibr 235 . . . . . . 7
169168ssrdv 3424 . . . . . 6
17084, 169eqssd 3435 . . . . 5
171 iuneq1 4283 . . . . . . 7
172171eqeq1d 2473 . . . . . 6
173172rspcev 3136 . . . . 5
17471, 170, 173syl2anc 673 . . . 4
17544, 174exlimddv 1789 . . 3
176175ralrimiva 2809 . 2
177 istotbnd3 32167 . 2
17827, 176, 177sylanbrc 677 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  cpw 3942  ciun 4269   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   cdm 4839   cres 4841   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cixp 7540  cfn 7587  cc0 9557  cxr 9692   clt 9693  crp 11325  cbs 15199  cds 15277  scprds 15422  cxmt 19032  cme 19033  cbl 19034  ctotbnd 32162 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-prds 15424  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-totbnd 32164 This theorem is referenced by:  prdsbnd2  32191
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