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Theorem prdstotbnd 29893
Description: The product metric over finite index set is totally bounded if all the factors are totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbnd.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbnd.v  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
prdsbnd.e  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsbnd.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsbnd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsbnd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsbnd.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdstotbnd.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( TotBnd `  V )
)
Assertion
Ref Expression
prdstotbnd  |-  ( ph  ->  D  e.  ( TotBnd `  B ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, B    ph, x    x, I    x, S    x, Y
Allowed substitution hints:    D( x)    E( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem prdstotbnd
Dummy variables  z 
r  f  g  v  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
3 prdsbnd.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
4 prdsbnd.e . . . 4  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
5 eqid 2467 . . . 4  |-  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
6 prdsbnd.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
7 prdsbnd.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
8 fvex 5874 . . . . 5  |-  ( R `
 x )  e. 
_V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  _V )
10 prdstotbnd.m . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( TotBnd `  V )
)
11 totbndmet 29871 . . . . 5  |-  ( E  e.  ( TotBnd `  V
)  ->  E  e.  ( Met `  V ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12prdsmet 20608 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) ) ) )
14 prdsbnd.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  Y
)
15 prdsbnd.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
16 prdsbnd.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
17 dffn5 5911 . . . . . . . 8  |-  ( R  Fn  I  <->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
1816, 17sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `
 x ) ) )
1918oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2015, 19syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2120fveq2d 5868 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2214, 21syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
23 prdsbnd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2420fveq2d 5868 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2523, 24syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2625fveq2d 5868 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Met `  B
)  =  ( Met `  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) ) )
2713, 22, 263eltr4d 2570 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
287adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  I  e.  Fin )
29 istotbnd3 29870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  ( TotBnd `  V
)  <->  ( E  e.  ( Met `  V
)  /\  A. r  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
3029simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ( TotBnd `  V
)  ->  A. r  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )
3110, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  A. r  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )
3231r19.21bi 2833 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )
33 df-rex 2820 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V  <->  E. w
( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
34 rexv 3128 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  _V  (
w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  <->  E. w
( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
3533, 34bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V  <->  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
3632, 35sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
3736an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  I )  ->  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
3837ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  I  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
39 eleq1 2539 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ) )
40 iuneq1 4339 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r ) )
4140eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  ( U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V  <->  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
4239, 41anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )  <->  ( ( f `
 x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )
4342ac6sfi 7760 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  E. w  e.  _V  (
w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) )  ->  E. f ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )
4428, 38, 43syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. f
( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )
45 elfpw 7818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( (
f `  x )  C_  V  /\  ( f `
 x )  e. 
Fin ) )
4645simplbi 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
f `  x )  C_  V )
4746adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( f `  x
)  C_  V )
4847ralimi 2857 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  C_  V )
4948ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( f `  x )  C_  V
)
50 ss2ixp 7479 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  (
f `  x )  C_  V  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  X_ x  e.  I  V )
5149, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  X_ x  e.  I  V )
52 fnfi 7794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  R  e.  Fin )
5316, 7, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
54 fndm 5678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  Fn  I  ->  dom  R  =  I )
5516, 54syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
5615, 6, 53, 23, 55prdsbas 14708 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
573rgenw 2825 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  I  V  =  ( Base `  ( R `  x ) )
58 ixpeq2 7480 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  I  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)  ->  X_ x  e.  I  V  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x ) ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  X_ x  e.  I  V  =  X_ x  e.  I  (
Base `  ( R `  x ) )
6056, 59syl6eqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
6160ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
6251, 61sseqtr4d 3541 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  B
)
6328adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  I  e.  Fin )
6445simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
f `  x )  e.  Fin )
6564adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( f `  x
)  e.  Fin )
6665ralimi 2857 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  Fin )
6766ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )
68 ixpfi 7813 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )
6963, 67, 68syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )
70 elfpw 7818 . . . . . 6  |-  ( X_ x  e.  I  (
f `  x )  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  B  /\  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  e.  Fin )
)
7162, 69, 70sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
72 metxmet 20572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  ->  D  e.  ( *Met `  B
) )
7327, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
74 rpxr 11223 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
75 blssm 20656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  y  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
76753expa 1196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  B
)  /\  y  e.  B )  /\  r  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  C_  B )
7776an32s 802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  B
)  /\  r  e.  RR* )  /\  y  e.  B )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  C_  B )
7877ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  r  e.  RR* )  ->  A. y  e.  B  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
7973, 74, 78syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. y  e.  B  ( y
( ball `  D )
r )  C_  B
)
8079adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. y  e.  B  ( y
( ball `  D )
r )  C_  B
)
81 ssralv 3564 . . . . . . . 8  |-  ( X_ x  e.  I  (
f `  x )  C_  B  ->  ( A. y  e.  B  (
y ( ball `  D
) r )  C_  B  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B ) )
8262, 80, 81sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  C_  B
)
83 iunss 4366 . . . . . . 7  |-  ( U_ y  e.  X_  x  e.  I  ( f `  x ) ( y ( ball `  D
) r )  C_  B 
<-> 
A. y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
8482, 83sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  C_  B
)
8563adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  I  e.  Fin )
8661eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  <->  g  e.  X_ x  e.  I  V
) )
87 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  g  e. 
_V
8887elixp 7473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I  V 
<->  ( g  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V ) )
8988simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I  V  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
90 df-rex 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. z  e.  ( f `
 x ) ( g `  x )  e.  ( z (
ball `  E )
r )  <->  E. z
( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
91 eliun 4330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g `  x )  e.  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  <->  E. z  e.  ( f `  x
) ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )
92 rexv 3128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. z  e.  _V  (
z  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )  <->  E. z ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
9390, 91, 923bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g `  x )  e.  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  <->  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
94 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r )  =  V  ->  ( (
g `  x )  e.  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  <-> 
( g `  x
)  e.  V ) )
9593, 94syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r )  =  V  ->  ( E. z  e.  _V  (
z  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )  <-> 
( g `  x
)  e.  V ) )
9695biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r )  =  V  ->  ( (
g `  x )  e.  V  ->  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
9796adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( ( g `  x )  e.  V  ->  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
9897ral2imi 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( A. x  e.  I  ( g `  x )  e.  V  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
9998ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( A. x  e.  I  (
g `  x )  e.  V  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
10089, 99syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  X_ x  e.  I  V  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
10186, 100sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
102101imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
103 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
z  e.  ( f `
 x )  <->  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
104 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
z ( ball `  E
) r )  =  ( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
105104eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r )  <->  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
106103, 105anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )  <-> 
( ( y `  x )  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
107106ac6sfi 7760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  (
z  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )  ->  E. y
( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
10885, 102, 107syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  E. y ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) ) )
109 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y : I --> _V  ->  y  Fn  I )
110 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) )
111110ralimi 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  I  (
( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  A. x  e.  I 
( y `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
112109, 111anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  ( y  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
113 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
114113elixp 7473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  <->  ( y  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
115112, 114sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  y  e.  X_ x  e.  I  ( f `  x ) )
116115adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
) )
11786biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  g  e.  X_ x  e.  I  V )
118 ixpfn 7472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I  V  ->  g  Fn  I
)
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  g  Fn  I )
120119adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  g  Fn  I )
121 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) )
122121ralimi 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  I  (
( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )
123122ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) )
12487elixp 7473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r )  <-> 
( g  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )
125120, 123, 124sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  g  e.  X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
126 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  ph )
12751ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  X_ x  e.  I  V )
128127, 116sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  y  e.  X_ x  e.  I  V )
129126, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
130128, 129eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  y  e.  B )
131 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
132 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  x  ->  ( R `  y )  =  ( R `  x ) )
133132cbvmptv 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  I  |->  ( R `
 y ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x ) )
134133oveq2i 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
13520, 134syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
136135fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
13714, 136syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
138137fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ball `  D
)  =  ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) )
139138proplem3 14942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y ( ball `  D ) r )  =  ( y (
ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) )
140 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
141 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
1426adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  S  e.  W )
1437adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  Fin )
1448a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( R `  x )  e.  _V )
145 metxmet 20572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  E  e.  ( *Met `  V
) )
14612, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
147146adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  E  e.  ( *Met `  V
) )
148 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  B )
149135fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
15023, 149syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
151150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
152148, 151eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
15374ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
r  e.  RR* )
154 rpgt0 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
155154ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
0  <  r )
156134, 140, 3, 4, 141, 142, 143, 144, 147, 152, 153, 155prdsbl 20729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r )  = 
X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
157139, 156eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y ( ball `  D ) r )  =  X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
158126, 130, 131, 157syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  = 
X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
159125, 158eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) )
160116, 159jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  (
y  e.  X_ x  e.  I  ( f `  x )  /\  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
161160ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  ( ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  /\  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) ) )
162161eximdv 1686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  ( E. y ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  E. y
( y  e.  X_ x  e.  I  (
f `  x )  /\  g  e.  (
y ( ball `  D
) r ) ) ) )
163 df-rex 2820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  X_  x  e.  I  ( f `  x ) g  e.  ( y ( ball `  D ) r )  <->  E. y ( y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  /\  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
164162, 163syl6ibr 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  ( E. y ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  E. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) ) )
165108, 164mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  E. y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) )
166165ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  ->  E. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) ) )
167 eliun 4330 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  <->  E. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) )
168166, 167syl6ibr 227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  ->  g  e. 
U_ y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r ) ) )
169168ssrdv 3510 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  B  C_  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r ) )
17084, 169eqssd 3521 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  =  B )
171 iuneq1 4339 . . . . . . 7  |-  ( v  =  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  ->  U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  U_ y  e.  X_  x  e.  I  ( f `  x ) ( y ( ball `  D
) r ) )
172171eqeq1d 2469 . . . . . 6  |-  ( v  =  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  ->  ( U_ y  e.  v  (
y ( ball `  D
) r )  =  B  <->  U_ y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r )  =  B ) )
173172rspcev 3214 . . . . 5  |-  ( (
X_ x  e.  I 
( f `  x
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  U_ y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r )  =  B )  ->  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v 
( y ( ball `  D ) r )  =  B )
17471, 170, 173syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  B )
17544, 174exlimddv 1702 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  B )
176175ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v 
( y ( ball `  D ) r )  =  B )
177 istotbnd3 29870 . 2  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  B
)  <->  ( D  e.  ( Met `  B
)  /\  A. r  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  B ) )
17827, 176, 177sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( TotBnd `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   dom cdm 4999    |` cres 5001    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   X_cixp 7466   Fincfn 7513   0cc0 9488   RR*cxr 9623    < clt 9624   RR+crp 11216   Basecbs 14486   distcds 14560   X_scprds 14697   *Metcxmt 18174   Metcme 18175   ballcbl 18176   TotBndctotbnd 29865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-hom 14575  df-cco 14576  df-prds 14699  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-totbnd 29867
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  29894
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