Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prdstotbnd Structured version   Unicode version

Theorem prdstotbnd 28834
Description: The product metric over finite index set is totally bounded if all the factors are totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbnd.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbnd.v  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
prdsbnd.e  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsbnd.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsbnd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsbnd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsbnd.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdstotbnd.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( TotBnd `  V )
)
Assertion
Ref Expression
prdstotbnd  |-  ( ph  ->  D  e.  ( TotBnd `  B ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, B    ph, x    x, I    x, S    x, Y
Allowed substitution hints:    D( x)    E( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem prdstotbnd
Dummy variables  z 
r  f  g  v  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . 4  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
2 eqid 2451 . . . 4  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
3 prdsbnd.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
4 prdsbnd.e . . . 4  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
5 eqid 2451 . . . 4  |-  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
6 prdsbnd.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
7 prdsbnd.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
8 fvex 5802 . . . . 5  |-  ( R `
 x )  e. 
_V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  _V )
10 prdstotbnd.m . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( TotBnd `  V )
)
11 totbndmet 28812 . . . . 5  |-  ( E  e.  ( TotBnd `  V
)  ->  E  e.  ( Met `  V ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12prdsmet 20070 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) ) ) )
14 prdsbnd.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  Y
)
15 prdsbnd.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
16 prdsbnd.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
17 dffn5 5839 . . . . . . . 8  |-  ( R  Fn  I  <->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
1816, 17sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `
 x ) ) )
1918oveq2d 6209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2015, 19syl5eq 2504 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2120fveq2d 5796 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2214, 21syl5eq 2504 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
23 prdsbnd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2420fveq2d 5796 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2523, 24syl5eq 2504 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2625fveq2d 5796 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Met `  B
)  =  ( Met `  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) ) )
2713, 22, 263eltr4d 2554 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
287adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  I  e.  Fin )
29 istotbnd3 28811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  ( TotBnd `  V
)  <->  ( E  e.  ( Met `  V
)  /\  A. r  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
3029simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ( TotBnd `  V
)  ->  A. r  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )
3110, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  A. r  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )
3231r19.21bi 2913 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )
33 df-rex 2801 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V  <->  E. w
( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
34 rexv 3086 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  _V  (
w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  <->  E. w
( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
3533, 34bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V  <->  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
3632, 35sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
3736an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  I )  ->  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
3837ralrimiva 2825 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  I  E. w  e.  _V  ( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  V ) )
39 eleq1 2523 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ) )
40 iuneq1 4285 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  U_ z  e.  w  ( z
( ball `  E )
r )  =  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r ) )
4140eqeq1d 2453 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  ( U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V  <->  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) )
4239, 41anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
( w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z (
ball `  E )
r )  =  V )  <->  ( ( f `
 x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )
4342ac6sfi 7660 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  E. w  e.  _V  (
w  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  w  ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) )  ->  E. f ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )
4428, 38, 43syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. f
( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )
45 elfpw 7717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( (
f `  x )  C_  V  /\  ( f `
 x )  e. 
Fin ) )
4645simplbi 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
f `  x )  C_  V )
4746adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( f `  x
)  C_  V )
4847ralimi 2814 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  C_  V )
4948ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( f `  x )  C_  V
)
50 ss2ixp 7379 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  (
f `  x )  C_  V  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  X_ x  e.  I  V )
5149, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  X_ x  e.  I  V )
52 fnfi 7693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  Fin )  ->  R  e.  Fin )
5316, 7, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
54 fndm 5611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  Fn  I  ->  dom  R  =  I )
5516, 54syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
5615, 6, 53, 23, 55prdsbas 14506 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
573rgenw 2894 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  I  V  =  ( Base `  ( R `  x ) )
58 ixpeq2 7380 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  I  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)  ->  X_ x  e.  I  V  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x ) ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  X_ x  e.  I  V  =  X_ x  e.  I  (
Base `  ( R `  x ) )
6056, 59syl6eqr 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
6160ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
6251, 61sseqtr4d 3494 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  B
)
6328adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  I  e.  Fin )
6445simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  ->  (
f `  x )  e.  Fin )
6564adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( f `  x
)  e.  Fin )
6665ralimi 2814 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  Fin )
6766ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )
68 ixpfi 7712 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )
6963, 67, 68syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  e.  Fin )
70 elfpw 7717 . . . . . 6  |-  ( X_ x  e.  I  (
f `  x )  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  B  /\  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  e.  Fin )
)
7162, 69, 70sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
72 metxmet 20034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  ->  D  e.  ( *Met `  B
) )
7327, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
74 rpxr 11102 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
75 blssm 20118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  y  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
76753expa 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  B
)  /\  y  e.  B )  /\  r  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  C_  B )
7776an32s 802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  B
)  /\  r  e.  RR* )  /\  y  e.  B )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  C_  B )
7877ralrimiva 2825 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  r  e.  RR* )  ->  A. y  e.  B  ( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
7973, 74, 78syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. y  e.  B  ( y
( ball `  D )
r )  C_  B
)
8079adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. y  e.  B  ( y
( ball `  D )
r )  C_  B
)
81 ssralv 3517 . . . . . . . 8  |-  ( X_ x  e.  I  (
f `  x )  C_  B  ->  ( A. y  e.  B  (
y ( ball `  D
) r )  C_  B  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B ) )
8262, 80, 81sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  A. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  C_  B
)
83 iunss 4312 . . . . . . 7  |-  ( U_ y  e.  X_  x  e.  I  ( f `  x ) ( y ( ball `  D
) r )  C_  B 
<-> 
A. y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
8482, 83sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  C_  B
)
8563adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  I  e.  Fin )
8661eleq2d 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  <->  g  e.  X_ x  e.  I  V
) )
87 vex 3074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  g  e. 
_V
8887elixp 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I  V 
<->  ( g  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V ) )
8988simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I  V  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
90 df-rex 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. z  e.  ( f `
 x ) ( g `  x )  e.  ( z (
ball `  E )
r )  <->  E. z
( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
91 eliun 4276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g `  x )  e.  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  <->  E. z  e.  ( f `  x
) ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )
92 rexv 3086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. z  e.  _V  (
z  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )  <->  E. z ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
9390, 91, 923bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g `  x )  e.  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  <->  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
94 eleq2 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r )  =  V  ->  ( (
g `  x )  e.  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  <-> 
( g `  x
)  e.  V ) )
9593, 94syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r )  =  V  ->  ( E. z  e.  _V  (
z  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )  <-> 
( g `  x
)  e.  V ) )
9695biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E
) r )  =  V  ->  ( (
g `  x )  e.  V  ->  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
9796adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( ( g `  x )  e.  V  ->  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
9897ral2imi 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V )  -> 
( A. x  e.  I  ( g `  x )  e.  V  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
9998ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( A. x  e.  I  (
g `  x )  e.  V  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
10089, 99syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  X_ x  e.  I  V  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
10186, 100sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) ) )
102101imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  ( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )
103 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
z  e.  ( f `
 x )  <->  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
104 oveq1 6200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
z ( ball `  E
) r )  =  ( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
105104eleq2d 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r )  <->  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
106103, 105anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y `  x )  ->  (
( z  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( z ( ball `  E
) r ) )  <-> 
( ( y `  x )  e.  ( f `  x )  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
107106ac6sfi 7660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  E. z  e.  _V  (
z  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( z ( ball `  E
) r ) ) )  ->  E. y
( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
10885, 102, 107syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  E. y ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) ) )
109 ffn 5660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y : I --> _V  ->  y  Fn  I )
110 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) )
111110ralimi 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  I  (
( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  A. x  e.  I 
( y `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
112109, 111anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  ( y  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
113 vex 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
114113elixp 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  <->  ( y  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
115112, 114sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  y  e.  X_ x  e.  I  ( f `  x ) )
116115adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
) )
11786biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  g  e.  X_ x  e.  I  V )
118 ixpfn 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I  V  ->  g  Fn  I
)
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  g  Fn  I )
120119adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  g  Fn  I )
121 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) )
122121ralimi 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  I  (
( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) )
123122ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) )
12487elixp 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r )  <-> 
( g  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )
125120, 123, 124sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  g  e.  X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
126 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  ph )
12751ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  X_ x  e.  I  ( f `  x )  C_  X_ x  e.  I  V )
128127, 116sseldd 3458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  y  e.  X_ x  e.  I  V )
129126, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
130128, 129eleqtrrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  y  e.  B )
131 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
132 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  x  ->  ( R `  y )  =  ( R `  x ) )
133132cbvmptv 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  I  |->  ( R `
 y ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x ) )
134133oveq2i 6204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
13520, 134syl6eqr 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
136135fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
13714, 136syl5eq 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
138137fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ball `  D
)  =  ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) )
139138proplem3 14740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y ( ball `  D ) r )  =  ( y (
ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) )
140 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
141 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
1426adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  S  e.  W )
1437adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  Fin )
1448a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( R `  x )  e.  _V )
145 metxmet 20034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  E  e.  ( *Met `  V
) )
14612, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
147146adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  E  e.  ( *Met `  V
) )
148 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  B )
149135fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
15023, 149syl5eq 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
151150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
152148, 151eleqtrd 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
15374ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
r  e.  RR* )
154 rpgt0 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
155154ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
0  <  r )
156134, 140, 3, 4, 141, 142, 143, 144, 147, 152, 153, 155prdsbl 20191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r )  = 
X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
157139, 156eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y ( ball `  D ) r )  =  X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
158126, 130, 131, 157syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  (
y ( ball `  D
) r )  = 
X_ x  e.  I 
( ( y `  x ) ( ball `  E ) r ) )
159125, 158eleqtrrd 2542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) )
160116, 159jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  /\  ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )  ->  (
y  e.  X_ x  e.  I  ( f `  x )  /\  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
161160ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  ( ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
y `  x )  e.  ( f `  x
)  /\  ( g `  x )  e.  ( ( y `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  ( y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  /\  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) ) )
162161eximdv 1677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  ( E. y ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  E. y
( y  e.  X_ x  e.  I  (
f `  x )  /\  g  e.  (
y ( ball `  D
) r ) ) ) )
163 df-rex 2801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  X_  x  e.  I  ( f `  x ) g  e.  ( y ( ball `  D ) r )  <->  E. y ( y  e.  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  /\  g  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
164162, 163syl6ibr 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  ( E. y ( y : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( y `  x
)  e.  ( f `
 x )  /\  ( g `  x
)  e.  ( ( y `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )  ->  E. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) ) )
165108, 164mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( (
f `  x )  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x
) ( z (
ball `  E )
r )  =  V ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  E. y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) )
166165ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  ->  E. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) ) )
167 eliun 4276 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  <->  E. y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) g  e.  ( y ( ball `  D
) r ) )
168166, 167syl6ibr 227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  ( g  e.  B  ->  g  e. 
U_ y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r ) ) )
169168ssrdv 3463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  B  C_  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r ) )
17084, 169eqssd 3474 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  U_ y  e.  X_  x  e.  I 
( f `  x
) ( y (
ball `  D )
r )  =  B )
171 iuneq1 4285 . . . . . . 7  |-  ( v  =  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  ->  U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  U_ y  e.  X_  x  e.  I  ( f `  x ) ( y ( ball `  D
) r ) )
172171eqeq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( v  =  X_ x  e.  I 
( f `  x
)  ->  ( U_ y  e.  v  (
y ( ball `  D
) r )  =  B  <->  U_ y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r )  =  B ) )
173172rspcev 3172 . . . . 5  |-  ( (
X_ x  e.  I 
( f `  x
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  U_ y  e.  X_  x  e.  I  (
f `  x )
( y ( ball `  D ) r )  =  B )  ->  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v 
( y ( ball `  D ) r )  =  B )
17471, 170, 173syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
f : I --> _V  /\  A. x  e.  I  ( ( f `  x
)  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  U_ z  e.  ( f `  x ) ( z ( ball `  E ) r )  =  V ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  B )
17544, 174exlimddv 1693 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  B )
176175ralrimiva 2825 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v 
( y ( ball `  D ) r )  =  B )
177 istotbnd3 28811 . 2  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  B
)  <->  ( D  e.  ( Met `  B
)  /\  A. r  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) U_ y  e.  v  ( y (
ball `  D )
r )  =  B ) )
17827, 176, 177sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( TotBnd `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3071    i^i cin 3428    C_ wss 3429   ~Pcpw 3961   U_ciun 4272   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451    X. cxp 4939   dom cdm 4941    |` cres 4943    Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   X_cixp 7366   Fincfn 7413   0cc0 9386   RR*cxr 9521    < clt 9522   RR+crp 11095   Basecbs 14285   distcds 14358   X_scprds 14495   *Metcxmt 17919   Metcme 17920   ballcbl 17921   TotBndctotbnd 28806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-icc 11411  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-hom 14373  df-cco 14374  df-prds 14497  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-totbnd 28808
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  28835
  Copyright terms: Public domain W3C validator