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Theorem prdstopn 19201
Description: Topology of a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstopn.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdstopn.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdstopn.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdstopn.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdstopn.o  |-  O  =  ( TopOpen `  Y )
Assertion
Ref Expression
prdstopn  |-  ( ph  ->  O  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) )

Proof of Theorem prdstopn
Dummy variables  x  g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstopn.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdstopn.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
3 prdstopn.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
4 prdstopn.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 fnex 5944 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
63, 4, 5syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
7 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
8 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  R  =  dom  R )
9 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (TopSet `  Y )  =  (TopSet `  Y )
101, 2, 6, 7, 8, 9prdstset 14404 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
11 topnfn 14364 . . . . . . . . . . 11  |-  TopOpen  Fn  _V
12 dffn2 5560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  Fn  I  <->  R :
I --> _V )
133, 12sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R : I --> _V )
14 fnfco 5577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  R : I --> _V )  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
1511, 13, 14sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
16 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  =  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }
1716ptval 19143 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  (
topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } ) )
184, 15, 17syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( topGen `  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } ) )
1918unieqd 4101 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  U. ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } ) )
20 simpl2 992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) )  ->  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y ) )
21 fvco2 5766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  Fn  I  /\  y  e.  I )  ->  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  =  ( TopOpen `  ( R `  y )
) )
223, 21sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) ) )
23 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
24 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (TopSet `  ( R `  y ) )  =  (TopSet `  ( R `  y ) )
2523, 24topnval 14373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (TopSet `  ( R `  y
) )t  ( Base `  ( R `  y )
) )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) )
26 restsspw 14370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (TopSet `  ( R `  y
) )t  ( Base `  ( R `  y )
) )  C_  ~P ( Base `  ( R `  y ) )
2725, 26eqsstr3i 3387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( TopOpen `  ( R `  y ) )  C_  ~P ( Base `  ( R `  y ) )
2822, 27syl6eqss 3406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  C_  ~P ( Base `  ( R `  y ) ) )
2928sseld 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  ->  (
g `  y )  e.  ~P ( Base `  ( R `  y )
) ) )
30 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g `
 y )  e. 
_V
3130elpw 3866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g `  y )  e.  ~P ( Base `  ( R `  y
) )  <->  ( g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y ) ) )
3229, 31syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  ->  (
g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y )
) ) )
3332ralimdva 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  ->  A. y  e.  I  ( g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y ) ) ) )
3433imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y ) )  ->  A. y  e.  I 
( g `  y
)  C_  ( Base `  ( R `  y
) ) )
3520, 34sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  A. y  e.  I  ( g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y ) ) )
36 ss2ixp 7276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  I  (
g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y )
)  ->  X_ y  e.  I  ( g `  y )  C_  X_ y  e.  I  ( Base `  ( R `  y
) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  X_ y  e.  I  ( g `  y )  C_  X_ y  e.  I  ( Base `  ( R `  y
) ) )
38 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  x  =  X_ y  e.  I 
( g `  y
) )
391, 7, 2, 4, 3prdsbas2 14407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  X_ y  e.  I  ( Base `  ( R `  y
) ) )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  ( Base `  Y )  = 
X_ y  e.  I 
( Base `  ( R `  y ) ) )
4137, 38, 403sstr4d 3399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  x  C_  ( Base `  Y
) )
4241ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) )  ->  x  C_  ( Base `  Y
) ) )
4342exlimdv 1690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) )  ->  x  C_  ( Base `  Y ) ) )
44 selpw 3867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P ( Base `  Y )  <->  x  C_  ( Base `  Y ) )
4543, 44syl6ibr 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) )  ->  x  e.  ~P ( Base `  Y
) ) )
4645abssdv 3426 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } 
C_  ~P ( Base `  Y
) )
47 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
4847pwex 4475 . . . . . . . . . 10  |-  ~P ( Base `  Y )  e. 
_V
4948ssex 4436 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  C_  ~P ( Base `  Y )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  e.  _V )
50 unitg 18572 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  e.  _V  ->  U. ( topGen `  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )  = 
U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )
5146, 49, 503syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ( topGen `  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )  = 
U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )
5219, 51eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )
53 sspwuni 4256 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  C_  ~P ( Base `  Y )  <->  U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } 
C_  ( Base `  Y
) )
5446, 53sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  C_  ( Base `  Y ) )
5552, 54eqsstrd 3390 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
C_  ( Base `  Y
) )
56 sspwuni 4256 . . . . . 6  |-  ( (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  C_  ~P ( Base `  Y )  <->  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
C_  ( Base `  Y
) )
5755, 56sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
C_  ~P ( Base `  Y
) )
5810, 57eqsstrd 3390 . . . 4  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  C_ 
~P ( Base `  Y
) )
597, 9topnid 14374 . . . 4  |-  ( (TopSet `  Y )  C_  ~P ( Base `  Y )  ->  (TopSet `  Y )  =  ( TopOpen `  Y
) )
6058, 59syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  ( TopOpen `  Y
) )
61 prdstopn.o . . 3  |-  O  =  ( TopOpen `  Y )
6260, 61syl6eqr 2493 . 2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  O )
6362, 10eqtr3d 2477 1  |-  ( ph  ->  O  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091   dom cdm 4840    o. ccom 4844    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   X_cixp 7263   Fincfn 7310   Basecbs 14174  TopSetcts 14244   ↾t crest 14359   TopOpenctopn 14360   topGenctg 14376   Xt_cpt 14377   X_scprds 14384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386
This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  19384  prdstmdd  19694  prdstgpd  19695  prdsxmslem2  20104
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