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Theorem prdstopn 19880
Description: Topology of a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstopn.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdstopn.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdstopn.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdstopn.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdstopn.o  |-  O  =  ( TopOpen `  Y )
Assertion
Ref Expression
prdstopn  |-  ( ph  ->  O  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) )

Proof of Theorem prdstopn
Dummy variables  x  g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstopn.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdstopn.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
3 prdstopn.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
4 prdstopn.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 fnex 6126 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
63, 4, 5syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
7 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
8 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  R  =  dom  R )
9 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (TopSet `  Y )  =  (TopSet `  Y )
101, 2, 6, 7, 8, 9prdstset 14720 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
11 topnfn 14680 . . . . . . . . . . 11  |-  TopOpen  Fn  _V
12 dffn2 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  Fn  I  <->  R :
I --> _V )
133, 12sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R : I --> _V )
14 fnfco 5749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  R : I --> _V )  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
1511, 13, 14sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
16 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  =  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }
1716ptval 19822 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  (
topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } ) )
184, 15, 17syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( topGen `  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } ) )
1918unieqd 4255 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  U. ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } ) )
20 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) )  ->  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y ) )
21 fvco2 5941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  Fn  I  /\  y  e.  I )  ->  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  =  ( TopOpen `  ( R `  y )
) )
223, 21sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) ) )
23 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
24 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (TopSet `  ( R `  y ) )  =  (TopSet `  ( R `  y ) )
2523, 24topnval 14689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (TopSet `  ( R `  y
) )t  ( Base `  ( R `  y )
) )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) )
26 restsspw 14686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (TopSet `  ( R `  y
) )t  ( Base `  ( R `  y )
) )  C_  ~P ( Base `  ( R `  y ) )
2725, 26eqsstr3i 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( TopOpen `  ( R `  y ) )  C_  ~P ( Base `  ( R `  y ) )
2822, 27syl6eqss 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  C_  ~P ( Base `  ( R `  y ) ) )
2928sseld 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  ->  (
g `  y )  e.  ~P ( Base `  ( R `  y )
) ) )
30 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g `
 y )  e. 
_V
3130elpw 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g `  y )  e.  ~P ( Base `  ( R `  y
) )  <->  ( g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y ) ) )
3229, 31syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  ->  (
g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y )
) ) )
3332ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  ->  A. y  e.  I  ( g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y ) ) ) )
3433imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y ) )  ->  A. y  e.  I 
( g `  y
)  C_  ( Base `  ( R `  y
) ) )
3520, 34sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  A. y  e.  I  ( g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y ) ) )
36 ss2ixp 7482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  I  (
g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y )
)  ->  X_ y  e.  I  ( g `  y )  C_  X_ y  e.  I  ( Base `  ( R `  y
) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  X_ y  e.  I  ( g `  y )  C_  X_ y  e.  I  ( Base `  ( R `  y
) ) )
38 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  x  =  X_ y  e.  I 
( g `  y
) )
391, 7, 2, 4, 3prdsbas2 14723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  X_ y  e.  I  ( Base `  ( R `  y
) ) )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  ( Base `  Y )  = 
X_ y  e.  I 
( Base `  ( R `  y ) ) )
4137, 38, 403sstr4d 3547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  x  C_  ( Base `  Y
) )
4241ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) )  ->  x  C_  ( Base `  Y
) ) )
4342exlimdv 1700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) )  ->  x  C_  ( Base `  Y ) ) )
44 selpw 4017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P ( Base `  Y )  <->  x  C_  ( Base `  Y ) )
4543, 44syl6ibr 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) )  ->  x  e.  ~P ( Base `  Y
) ) )
4645abssdv 3574 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } 
C_  ~P ( Base `  Y
) )
47 fvex 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
4847pwex 4630 . . . . . . . . . 10  |-  ~P ( Base `  Y )  e. 
_V
4948ssex 4591 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  C_  ~P ( Base `  Y )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  e.  _V )
50 unitg 19251 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  e.  _V  ->  U. ( topGen `  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )  = 
U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )
5146, 49, 503syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ( topGen `  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )  = 
U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )
5219, 51eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )
53 sspwuni 4411 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  C_  ~P ( Base `  Y )  <->  U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } 
C_  ( Base `  Y
) )
5446, 53sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  C_  ( Base `  Y ) )
5552, 54eqsstrd 3538 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
C_  ( Base `  Y
) )
56 sspwuni 4411 . . . . . 6  |-  ( (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  C_  ~P ( Base `  Y )  <->  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
C_  ( Base `  Y
) )
5755, 56sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
C_  ~P ( Base `  Y
) )
5810, 57eqsstrd 3538 . . . 4  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  C_ 
~P ( Base `  Y
) )
597, 9topnid 14690 . . . 4  |-  ( (TopSet `  Y )  C_  ~P ( Base `  Y )  ->  (TopSet `  Y )  =  ( TopOpen `  Y
) )
6058, 59syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  ( TopOpen `  Y
) )
61 prdstopn.o . . 3  |-  O  =  ( TopOpen `  Y )
6260, 61syl6eqr 2526 . 2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  O )
6362, 10eqtr3d 2510 1  |-  ( ph  ->  O  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   dom cdm 4999    o. ccom 5003    Fn wfn 5582   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   X_cixp 7469   Fincfn 7516   Basecbs 14489  TopSetcts 14560   ↾t crest 14675   TopOpenctopn 14676   topGenctg 14692   Xt_cpt 14693   X_scprds 14700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-fz 11672  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702
This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  20063  prdstmdd  20373  prdstgpd  20374  prdsxmslem2  20783
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