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Theorem prdstopn 20567
Description: Topology of a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstopn.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdstopn.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdstopn.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdstopn.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdstopn.o  |-  O  =  ( TopOpen `  Y )
Assertion
Ref Expression
prdstopn  |-  ( ph  ->  O  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) )

Proof of Theorem prdstopn
Dummy variables  x  g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstopn.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdstopn.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
3 prdstopn.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
4 prdstopn.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 fnex 6138 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
63, 4, 5syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
7 eqid 2420 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
8 eqidd 2421 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  R  =  dom  R )
9 eqid 2420 . . . . . 6  |-  (TopSet `  Y )  =  (TopSet `  Y )
101, 2, 6, 7, 8, 9prdstset 15316 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
11 topnfn 15276 . . . . . . . . . . 11  |-  TopOpen  Fn  _V
12 dffn2 5738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  Fn  I  <->  R :
I --> _V )
133, 12sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R : I --> _V )
14 fnfco 5756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  R : I --> _V )  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
1511, 13, 14sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
16 eqid 2420 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  =  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }
1716ptval 20509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  (
topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } ) )
184, 15, 17syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( topGen `  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } ) )
1918unieqd 4223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  U. ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } ) )
20 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) )  ->  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y ) )
21 fvco2 5947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  Fn  I  /\  y  e.  I )  ->  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  =  ( TopOpen `  ( R `  y )
) )
223, 21sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) ) )
23 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
24 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (TopSet `  ( R `  y ) )  =  (TopSet `  ( R `  y ) )
2523, 24topnval 15285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (TopSet `  ( R `  y
) )t  ( Base `  ( R `  y )
) )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) )
26 restsspw 15282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (TopSet `  ( R `  y
) )t  ( Base `  ( R `  y )
) )  C_  ~P ( Base `  ( R `  y ) )
2725, 26eqsstr3i 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( TopOpen `  ( R `  y ) )  C_  ~P ( Base `  ( R `  y ) )
2822, 27syl6eqss 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  C_  ~P ( Base `  ( R `  y ) ) )
2928sseld 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  ->  (
g `  y )  e.  ~P ( Base `  ( R `  y )
) ) )
30 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g `
 y )  e. 
_V
3130elpw 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g `  y )  e.  ~P ( Base `  ( R `  y
) )  <->  ( g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y ) ) )
3229, 31syl6ib 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  ->  (
g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y )
) ) )
3332ralimdva 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  ->  A. y  e.  I  ( g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y ) ) ) )
3433imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y ) )  ->  A. y  e.  I 
( g `  y
)  C_  ( Base `  ( R `  y
) ) )
3520, 34sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  A. y  e.  I  ( g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y ) ) )
36 ss2ixp 7534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  I  (
g `  y )  C_  ( Base `  ( R `  y )
)  ->  X_ y  e.  I  ( g `  y )  C_  X_ y  e.  I  ( Base `  ( R `  y
) ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  X_ y  e.  I  ( g `  y )  C_  X_ y  e.  I  ( Base `  ( R `  y
) ) )
38 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  x  =  X_ y  e.  I 
( g `  y
) )
391, 7, 2, 4, 3prdsbas2 15319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  X_ y  e.  I  ( Base `  ( R `  y
) ) )
4039adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  ( Base `  Y )  = 
X_ y  e.  I 
( Base `  ( R `  y ) ) )
4137, 38, 403sstr4d 3504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) )  ->  x  C_  ( Base `  Y
) )
4241ex 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) )  ->  x  C_  ( Base `  Y
) ) )
4342exlimdv 1768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) )  ->  x  C_  ( Base `  Y ) ) )
44 selpw 3983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P ( Base `  Y )  <->  x  C_  ( Base `  Y ) )
4543, 44syl6ibr 230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( g `  y
)  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) )  ->  x  e.  ~P ( Base `  Y
) ) )
4645abssdv 3532 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } 
C_  ~P ( Base `  Y
) )
47 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
4847pwex 4599 . . . . . . . . . 10  |-  ~P ( Base `  Y )  e. 
_V
4948ssex 4560 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  C_  ~P ( Base `  Y )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  e.  _V )
50 unitg 19906 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  e.  _V  ->  U. ( topGen `  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )  = 
U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )
5146, 49, 503syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ( topGen `  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )  = 
U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )
5219, 51eqtrd 2461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } )
53 sspwuni 4382 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  C_  ~P ( Base `  Y )  <->  U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  (
g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) } 
C_  ( Base `  Y
) )
5446, 53sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. y  e.  I  ( g `  y )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( I  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  I  ( g `  y ) ) }  C_  ( Base `  Y ) )
5552, 54eqsstrd 3495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
C_  ( Base `  Y
) )
56 sspwuni 4382 . . . . . 6  |-  ( (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  C_  ~P ( Base `  Y )  <->  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
C_  ( Base `  Y
) )
5755, 56sylibr 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
C_  ~P ( Base `  Y
) )
5810, 57eqsstrd 3495 . . . 4  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  C_ 
~P ( Base `  Y
) )
597, 9topnid 15286 . . . 4  |-  ( (TopSet `  Y )  C_  ~P ( Base `  Y )  ->  (TopSet `  Y )  =  ( TopOpen `  Y
) )
6058, 59syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  ( TopOpen `  Y
) )
61 prdstopn.o . . 3  |-  O  =  ( TopOpen `  Y )
6260, 61syl6eqr 2479 . 2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  Y )  =  O )
6362, 10eqtr3d 2463 1  |-  ( ph  ->  O  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1867   {cab 2405   A.wral 2773   E.wrex 2774   _Vcvv 3078    \ cdif 3430    C_ wss 3433   ~Pcpw 3976   U.cuni 4213   dom cdm 4845    o. ccom 4849    Fn wfn 5587   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   X_cixp 7521   Fincfn 7568   Basecbs 15073  TopSetcts 15148   ↾t crest 15271   TopOpenctopn 15272   topGenctg 15288   Xt_cpt 15289   X_scprds 15296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-fz 11772  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-ip 15160  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-hom 15166  df-cco 15167  df-rest 15273  df-topn 15274  df-topgen 15294  df-pt 15295  df-prds 15298
This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  20750  prdstmdd  21062  prdstgpd  21063  prdsxmslem2  21468
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