Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstmdd Structured version   Unicode version

Theorem prdstmdd 21136
 Description: The product of a family of topological monoids is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstmdd.y s
prdstmdd.i
prdstmdd.s
prdstmdd.r TopMnd
Assertion
Ref Expression
prdstmdd TopMnd

Proof of Theorem prdstmdd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstmdd.y . . 3 s
2 prdstmdd.i . . 3
3 prdstmdd.s . . 3
4 prdstmdd.r . . . 4 TopMnd
5 tmdmnd 21088 . . . . 5 TopMnd
65ssriv 3468 . . . 4 TopMnd
7 fss 5754 . . . 4 TopMnd TopMnd
84, 6, 7sylancl 666 . . 3
91, 2, 3, 8prdsmndd 16568 . 2
10 tmdtps 21089 . . . . 5 TopMnd
1110ssriv 3468 . . . 4 TopMnd
12 fss 5754 . . . 4 TopMnd TopMnd
134, 11, 12sylancl 666 . . 3
141, 3, 2, 13prdstps 20642 . 2
15 eqid 2422 . . . . . . 7
1633ad2ant1 1026 . . . . . . 7
1723ad2ant1 1026 . . . . . . 7
18 ffn 5746 . . . . . . . . 9 TopMnd
194, 18syl 17 . . . . . . . 8
20193ad2ant1 1026 . . . . . . 7
21 simp2 1006 . . . . . . 7
22 simp3 1007 . . . . . . 7
23 eqid 2422 . . . . . . 7
241, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 23prdsplusgval 15370 . . . . . 6
2524mpt2eq3dva 6369 . . . . 5
26 eqid 2422 . . . . . 6
2715, 23, 26plusffval 16492 . . . . 5
28 vex 3083 . . . . . . . . . 10
29 vex 3083 . . . . . . . . . 10
3028, 29op1std 6817 . . . . . . . . 9
3130fveq1d 5883 . . . . . . . 8
3228, 29op2ndd 6818 . . . . . . . . 9
3332fveq1d 5883 . . . . . . . 8
3431, 33oveq12d 6323 . . . . . . 7
3534mpteq2dv 4511 . . . . . 6
3635mpt2mpt 6402 . . . . 5
3725, 27, 363eqtr4g 2488 . . . 4
38 eqid 2422 . . . . 5
39 eqid 2422 . . . . . . . 8
4015, 39istps 19949 . . . . . . 7 TopOn
4114, 40sylib 199 . . . . . 6 TopOn
42 txtopon 20604 . . . . . 6 TopOn TopOn TopOn
4341, 41, 42syl2anc 665 . . . . 5 TopOn
44 topnfn 15323 . . . . . . . 8
45 ssv 3484 . . . . . . . 8
46 fnssres 5707 . . . . . . . 8
4744, 45, 46mp2an 676 . . . . . . 7
48 fvres 5895 . . . . . . . . 9
49 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
5049tpstop 19952 . . . . . . . . 9
5148, 50eqeltrd 2507 . . . . . . . 8
5251rgen 2781 . . . . . . 7
53 ffnfv 6064 . . . . . . 7
5447, 52, 53mpbir2an 928 . . . . . 6
55 fco2 5757 . . . . . 6
5654, 13, 55sylancr 667 . . . . 5
5734mpt2mpt 6402 . . . . . 6
58 eqid 2422 . . . . . . . 8
59 eqid 2422 . . . . . . . 8
604ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8 TopMnd
6141adantr 466 . . . . . . . 8 TopOn
6261, 61cnmpt1st 20681 . . . . . . . . 9
631, 3, 2, 19, 39prdstopn 20641 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14
6564, 61eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
66 toponuni 19940 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12
6867mpteq1d 4505 . . . . . . . . . . 11
692adantr 466 . . . . . . . . . . . 12
7056adantr 466 . . . . . . . . . . . 12
71 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12
72 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13
7372, 38ptpjcn 20624 . . . . . . . . . . . 12
7469, 70, 71, 73syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11
7568, 74eqeltrd 2507 . . . . . . . . . 10
7664eqcomd 2430 . . . . . . . . . . 11
77 fvco3 5958 . . . . . . . . . . . 12 TopMnd
784, 77sylan 473 . . . . . . . . . . 11
7976, 78oveq12d 6323 . . . . . . . . . 10
8075, 79eleqtrd 2509 . . . . . . . . 9
81 fveq1 5880 . . . . . . . . 9
8261, 61, 62, 61, 80, 81cnmpt21 20684 . . . . . . . 8
8361, 61cnmpt2nd 20682 . . . . . . . . 9
84 fveq1 5880 . . . . . . . . 9
8561, 61, 83, 61, 80, 84cnmpt21 20684 . . . . . . . 8
8658, 59, 60, 61, 61, 82, 85cnmpt2plusg 21101 . . . . . . 7
8778oveq2d 6321 . . . . . . 7
8886, 87eleqtrrd 2510 . . . . . 6
8957, 88syl5eqel 2511 . . . . 5
9038, 43, 2, 56, 89ptcn 20640 . . . 4
9137, 90eqeltrd 2507 . . 3
9263oveq2d 6321 . . 3
9391, 92eleqtrrd 2510 . 2
9426, 39istmd 21087 . 2 TopMnd
959, 14, 93, 94syl3anbrc 1189 1 TopMnd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872  wral 2771  cvv 3080   wss 3436  cop 4004  cuni 4219   cmpt 4482   cxp 4851   cres 4855   ccom 4857   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307  c1st 6805  c2nd 6806  cbs 15120   cplusg 15189  ctopn 15319  cpt 15336  scprds 15343  cplusf 16484  cmnd 16534  ctop 19915  TopOnctopon 19916  ctps 19917   ccn 20238   ctx 20573  TopMndctmd 21083 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fi 7934  df-sup 7965  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-plusf 16486  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-tx 20575  df-tmd 21085 This theorem is referenced by:  prdstgpd  21137
 Copyright terms: Public domain W3C validator