MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstgpd Structured version   Unicode version

Theorem prdstgpd 20789
Description: The product of a family of topological groups is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstgpd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdstgpd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdstgpd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdstgpd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> TopGrp )
Assertion
Ref Expression
prdstgpd  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopGrp )

Proof of Theorem prdstgpd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstgpd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdstgpd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 prdstgpd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdstgpd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> TopGrp )
5 tgpgrp 20743 . . . . 5  |-  ( x  e.  TopGrp  ->  x  e.  Grp )
65ssriv 3493 . . . 4  |-  TopGrp  C_  Grp
7 fss 5721 . . . 4  |-  ( ( R : I --> TopGrp  /\  TopGrp  C_  Grp )  ->  R :
I --> Grp )
84, 6, 7sylancl 660 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
91, 2, 3, 8prdsgrpd 16378 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
10 tgptmd 20744 . . . . 5  |-  ( x  e.  TopGrp  ->  x  e. TopMnd )
1110ssriv 3493 . . . 4  |-  TopGrp  C_ TopMnd
12 fss 5721 . . . 4  |-  ( ( R : I --> TopGrp  /\  TopGrp  C_ TopMnd )  ->  R : I -->TopMnd )
134, 11, 12sylancl 660 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I -->TopMnd )
141, 2, 3, 13prdstmdd 20788 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e. TopMnd )
15 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
16 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  Y )  =  ( invg `  Y )
1715, 16grpinvf 16293 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Grp  ->  ( invg `  Y ) : ( Base `  Y
) --> ( Base `  Y
) )
189, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( invg `  Y ) : (
Base `  Y ) --> ( Base `  Y )
)
1918feqmptd 5901 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( invg `  Y )  =  ( x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( ( invg `  Y
) `  x )
) )
202adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  I  e.  W )
213adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  S  e.  V )
228adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  R :
I --> Grp )
23 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  x  e.  ( Base `  Y )
)
241, 20, 21, 22, 15, 16, 23prdsinvgd 16379 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( ( invg `  Y ) `
 x )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  y
) ) `  (
x `  y )
) ) )
2524mpteq2dva 4525 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  Y )  |->  ( ( invg `  Y ) `  x
) )  =  ( x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( y  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) ) ) )
2619, 25eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( invg `  Y )  =  ( x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( y  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) ) ) )
27 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)
28 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  Y )  =  (
TopOpen `  Y )
2928, 15tmdtopon 20746 . . . . . 6  |-  ( Y  e. TopMnd  ->  ( TopOpen `  Y
)  e.  (TopOn `  ( Base `  Y )
) )
3014, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )
31 topnfn 14915 . . . . . . 7  |-  TopOpen  Fn  _V
32 ffn 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( R : I --> TopGrp  ->  R  Fn  I )
334, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
34 dffn2 5714 . . . . . . . 8  |-  ( R  Fn  I  <->  R :
I --> _V )
3533, 34sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R : I --> _V )
36 fnfco 5732 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  R : I --> _V )  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
3731, 35, 36sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
38 fvco3 5925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R : I --> TopGrp  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) ) )
394, 38sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) ) )
404ffvelrnda 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  TopGrp )
41 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen `  ( R `  y ) )  =  ( TopOpen `  ( R `  y ) )
42 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
4341, 42tgptopon 20747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R `  y )  e.  TopGrp  ->  ( TopOpen `  ( R `  y )
)  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  y ) ) ) )
44 topontop 19594 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TopOpen `  ( R `  y ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  y
) ) )  -> 
( TopOpen `  ( R `  y ) )  e. 
Top )
4540, 43, 443syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  ( R `  y ) )  e. 
Top )
4639, 45eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  e.  Top )
4746ralrimiva 2868 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  I 
( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  e.  Top )
48 ffnfv 6033 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen  o.  R ) : I --> Top  <->  ( ( TopOpen  o.  R )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  e.  Top ) )
4937, 47, 48sylanbrc 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
5030adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )
511, 3, 2, 33, 28prdstopn 20295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
5251adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
5352eqcomd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  (
TopOpen `  Y ) )
5453, 50eqeltrd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y
) ) )
55 toponuni 19595 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y
) )  ->  ( Base `  Y )  = 
U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
56 mpteq1 4519 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Base `  Y )  =  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  Y
)  |->  ( x `  y ) )  =  ( x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  |->  ( x `  y ) ) )
5754, 55, 563syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 y ) )  =  ( x  e. 
U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
|->  ( x `  y
) ) )
582adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  W )
5949adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
60 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
61 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )
6261, 27ptpjcn 20278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top  /\  y  e.  I )  ->  ( x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  |->  ( x `  y ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  Cn  (
( TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
6358, 59, 60, 62syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  |->  ( x `
 y ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  Cn  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
6457, 63eqeltrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 y ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  Cn  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
6553, 39oveq12d 6288 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  Cn  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  =  ( (
TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
6664, 65eleqtrd 2544 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 y ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen
`  ( R `  y ) ) ) )
67 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  ( R `
 y ) )  =  ( invg `  ( R `  y
) )
6841, 67tgpinv 20750 . . . . . . . 8  |-  ( ( R `  y )  e.  TopGrp  ->  ( invg `  ( R `  y
) )  e.  ( ( TopOpen `  ( R `  y ) )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
6940, 68syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( invg `  ( R `
 y ) )  e.  ( ( TopOpen `  ( R `  y ) )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
7050, 66, 69cnmpt11f 20331 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( ( invg `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen
`  ( R `  y ) ) ) )
7139oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen `  Y )  Cn  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  =  ( (
TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
7270, 71eleqtrrd 2545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( ( invg `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  (
( TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
7327, 30, 2, 49, 72ptcn 20294 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  Y )  |->  ( y  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  y
) ) `  (
x `  y )
) ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y
)  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) ) )
7426, 73eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ph  ->  ( invg `  Y )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) ) )
7551oveq2d 6286 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen `  Y
)  Cn  ( TopOpen `  Y ) )  =  ( ( TopOpen `  Y
)  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) ) )
7674, 75eleqtrrd 2545 . 2  |-  ( ph  ->  ( invg `  Y )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen `  Y )
) )
7728, 16istgp 20742 . 2  |-  ( Y  e.  TopGrp 
<->  ( Y  e.  Grp  /\  Y  e. TopMnd  /\  ( invg `  Y )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen
`  Y ) ) ) )
789, 14, 76, 77syl3anbrc 1178 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   U.cuni 4235    |-> cmpt 4497    o. ccom 4992    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   TopOpenctopn 14911   Xt_cpt 14928   X_scprds 14935   Grpcgrp 16252   invgcminusg 16253   Topctop 19561  TopOnctopon 19562    Cn ccn 19892  TopMndctmd 20735   TopGrpctgp 20736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-plusf 16070  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-tx 20229  df-tmd 20737  df-tgp 20738
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator