MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstgpd Structured version   Unicode version

Theorem prdstgpd 19537
Description: The product of a family of topological groups is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstgpd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdstgpd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdstgpd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdstgpd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> TopGrp )
Assertion
Ref Expression
prdstgpd  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopGrp )

Proof of Theorem prdstgpd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstgpd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdstgpd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 prdstgpd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdstgpd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> TopGrp )
5 tgpgrp 19491 . . . . 5  |-  ( x  e.  TopGrp  ->  x  e.  Grp )
65ssriv 3348 . . . 4  |-  TopGrp  C_  Grp
7 fss 5555 . . . 4  |-  ( ( R : I --> TopGrp  /\  TopGrp  C_  Grp )  ->  R :
I --> Grp )
84, 6, 7sylancl 655 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
91, 2, 3, 8prdsgrpd 15644 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
10 tgptmd 19492 . . . . 5  |-  ( x  e.  TopGrp  ->  x  e. TopMnd )
1110ssriv 3348 . . . 4  |-  TopGrp  C_ TopMnd
12 fss 5555 . . . 4  |-  ( ( R : I --> TopGrp  /\  TopGrp  C_ TopMnd )  ->  R : I -->TopMnd )
134, 11, 12sylancl 655 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I -->TopMnd )
141, 2, 3, 13prdstmdd 19536 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e. TopMnd )
15 eqid 2433 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
16 eqid 2433 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  Y )  =  ( invg `  Y )
1715, 16grpinvf 15562 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Grp  ->  ( invg `  Y ) : ( Base `  Y
) --> ( Base `  Y
) )
189, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( invg `  Y ) : (
Base `  Y ) --> ( Base `  Y )
)
1918feqmptd 5732 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( invg `  Y )  =  ( x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( ( invg `  Y
) `  x )
) )
202adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  I  e.  W )
213adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  S  e.  V )
228adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  R :
I --> Grp )
23 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  x  e.  ( Base `  Y )
)
241, 20, 21, 22, 15, 16, 23prdsinvgd 15645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( ( invg `  Y ) `
 x )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  y
) ) `  (
x `  y )
) ) )
2524mpteq2dva 4366 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  Y )  |->  ( ( invg `  Y ) `  x
) )  =  ( x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( y  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) ) ) )
2619, 25eqtrd 2465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( invg `  Y )  =  ( x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( y  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) ) ) )
27 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)
28 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  Y )  =  (
TopOpen `  Y )
2928, 15tmdtopon 19494 . . . . . 6  |-  ( Y  e. TopMnd  ->  ( TopOpen `  Y
)  e.  (TopOn `  ( Base `  Y )
) )
3014, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )
31 topnfn 14347 . . . . . . 7  |-  TopOpen  Fn  _V
32 ffn 5547 . . . . . . . . 9  |-  ( R : I --> TopGrp  ->  R  Fn  I )
334, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
34 dffn2 5548 . . . . . . . 8  |-  ( R  Fn  I  <->  R :
I --> _V )
3533, 34sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R : I --> _V )
36 fnfco 5565 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  R : I --> _V )  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
3731, 35, 36sylancr 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
38 fvco3 5756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R : I --> TopGrp  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) ) )
394, 38sylan 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) ) )
404ffvelrnda 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  TopGrp )
41 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen `  ( R `  y ) )  =  ( TopOpen `  ( R `  y ) )
42 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
4341, 42tgptopon 19495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R `  y )  e.  TopGrp  ->  ( TopOpen `  ( R `  y )
)  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  y ) ) ) )
44 topontop 18373 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TopOpen `  ( R `  y ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  y
) ) )  -> 
( TopOpen `  ( R `  y ) )  e. 
Top )
4540, 43, 443syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  ( R `  y ) )  e. 
Top )
4639, 45eqeltrd 2507 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  e.  Top )
4746ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  I 
( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  e.  Top )
48 ffnfv 5856 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen  o.  R ) : I --> Top  <->  ( ( TopOpen  o.  R )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  e.  Top ) )
4937, 47, 48sylanbrc 657 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
5030adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )
511, 3, 2, 33, 28prdstopn 19043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
5251adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
5352eqcomd 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  (
TopOpen `  Y ) )
5453, 50eqeltrd 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y
) ) )
55 toponuni 18374 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y
) )  ->  ( Base `  Y )  = 
U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
56 mpteq1 4360 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Base `  Y )  =  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  Y
)  |->  ( x `  y ) )  =  ( x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  |->  ( x `  y ) ) )
5754, 55, 563syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 y ) )  =  ( x  e. 
U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
|->  ( x `  y
) ) )
582adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  W )
5949adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
60 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
61 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )
6261, 27ptpjcn 19026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top  /\  y  e.  I )  ->  ( x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  |->  ( x `  y ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  Cn  (
( TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
6358, 59, 60, 62syl3anc 1211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  |->  ( x `
 y ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  Cn  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
6457, 63eqeltrd 2507 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 y ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  Cn  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
6553, 39oveq12d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  Cn  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  =  ( (
TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
6664, 65eleqtrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 y ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen
`  ( R `  y ) ) ) )
67 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  ( R `
 y ) )  =  ( invg `  ( R `  y
) )
6841, 67tgpinv 19498 . . . . . . . 8  |-  ( ( R `  y )  e.  TopGrp  ->  ( invg `  ( R `  y
) )  e.  ( ( TopOpen `  ( R `  y ) )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
6940, 68syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( invg `  ( R `
 y ) )  e.  ( ( TopOpen `  ( R `  y ) )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
7050, 66, 69cnmpt11f 19079 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( ( invg `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen
`  ( R `  y ) ) ) )
7139oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen `  Y )  Cn  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  =  ( (
TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
7270, 71eleqtrrd 2510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( ( invg `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  (
( TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
7327, 30, 2, 49, 72ptcn 19042 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  Y )  |->  ( y  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  y
) ) `  (
x `  y )
) ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y
)  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) ) )
7426, 73eqeltrd 2507 . . 3  |-  ( ph  ->  ( invg `  Y )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) ) )
7551oveq2d 6096 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen `  Y
)  Cn  ( TopOpen `  Y ) )  =  ( ( TopOpen `  Y
)  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) ) )
7674, 75eleqtrrd 2510 . 2  |-  ( ph  ->  ( invg `  Y )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen `  Y )
) )
7728, 16istgp 19490 . 2  |-  ( Y  e.  TopGrp 
<->  ( Y  e.  Grp  /\  Y  e. TopMnd  /\  ( invg `  Y )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen
`  Y ) ) ) )
789, 14, 76, 77syl3anbrc 1165 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   U.cuni 4079    e. cmpt 4338    o. ccom 4831    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Basecbs 14157   TopOpenctopn 14343   Xt_cpt 14360   X_scprds 14367   Grpcgrp 15393   invgcminusg 15394   Topctop 18340  TopOnctopon 18341    Cn ccn 18670  TopMndctmd 19483   TopGrpctgp 19484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fi 7649  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-fz 11425  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-mnd 15398  df-plusf 15399  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-tx 18977  df-tmd 19485  df-tgp 19486
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator