MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstgpd Structured version   Unicode version

Theorem prdstgpd 20496
Description: The product of a family of topological groups is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstgpd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdstgpd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdstgpd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdstgpd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> TopGrp )
Assertion
Ref Expression
prdstgpd  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopGrp )

Proof of Theorem prdstgpd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstgpd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdstgpd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 prdstgpd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdstgpd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> TopGrp )
5 tgpgrp 20450 . . . . 5  |-  ( x  e.  TopGrp  ->  x  e.  Grp )
65ssriv 3493 . . . 4  |-  TopGrp  C_  Grp
7 fss 5729 . . . 4  |-  ( ( R : I --> TopGrp  /\  TopGrp  C_  Grp )  ->  R :
I --> Grp )
84, 6, 7sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
91, 2, 3, 8prdsgrpd 16053 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
10 tgptmd 20451 . . . . 5  |-  ( x  e.  TopGrp  ->  x  e. TopMnd )
1110ssriv 3493 . . . 4  |-  TopGrp  C_ TopMnd
12 fss 5729 . . . 4  |-  ( ( R : I --> TopGrp  /\  TopGrp  C_ TopMnd )  ->  R : I -->TopMnd )
134, 11, 12sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I -->TopMnd )
141, 2, 3, 13prdstmdd 20495 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e. TopMnd )
15 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
16 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  Y )  =  ( invg `  Y )
1715, 16grpinvf 15968 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  Grp  ->  ( invg `  Y ) : ( Base `  Y
) --> ( Base `  Y
) )
189, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( invg `  Y ) : (
Base `  Y ) --> ( Base `  Y )
)
1918feqmptd 5911 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( invg `  Y )  =  ( x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( ( invg `  Y
) `  x )
) )
202adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  I  e.  W )
213adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  S  e.  V )
228adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  R :
I --> Grp )
23 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  x  e.  ( Base `  Y )
)
241, 20, 21, 22, 15, 16, 23prdsinvgd 16054 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( ( invg `  Y ) `
 x )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  y
) ) `  (
x `  y )
) ) )
2524mpteq2dva 4523 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  Y )  |->  ( ( invg `  Y ) `  x
) )  =  ( x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( y  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) ) ) )
2619, 25eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( invg `  Y )  =  ( x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( y  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) ) ) )
27 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)
28 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  Y )  =  (
TopOpen `  Y )
2928, 15tmdtopon 20453 . . . . . 6  |-  ( Y  e. TopMnd  ->  ( TopOpen `  Y
)  e.  (TopOn `  ( Base `  Y )
) )
3014, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )
31 topnfn 14700 . . . . . . 7  |-  TopOpen  Fn  _V
32 ffn 5721 . . . . . . . . 9  |-  ( R : I --> TopGrp  ->  R  Fn  I )
334, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
34 dffn2 5722 . . . . . . . 8  |-  ( R  Fn  I  <->  R :
I --> _V )
3533, 34sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R : I --> _V )
36 fnfco 5740 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  R : I --> _V )  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
3731, 35, 36sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
38 fvco3 5935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R : I --> TopGrp  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) ) )
394, 38sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  =  (
TopOpen `  ( R `  y ) ) )
404ffvelrnda 6016 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  TopGrp )
41 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen `  ( R `  y ) )  =  ( TopOpen `  ( R `  y ) )
42 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
4341, 42tgptopon 20454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R `  y )  e.  TopGrp  ->  ( TopOpen `  ( R `  y )
)  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  y ) ) ) )
44 topontop 19300 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TopOpen `  ( R `  y ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  ( R `  y
) ) )  -> 
( TopOpen `  ( R `  y ) )  e. 
Top )
4540, 43, 443syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  ( R `  y ) )  e. 
Top )
4639, 45eqeltrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  y )  e.  Top )
4746ralrimiva 2857 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  I 
( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  e.  Top )
48 ffnfv 6042 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen  o.  R ) : I --> Top  <->  ( ( TopOpen  o.  R )  Fn  I  /\  A. y  e.  I 
( ( TopOpen  o.  R
) `  y )  e.  Top ) )
4937, 47, 48sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
5030adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  Y )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y ) ) )
511, 3, 2, 33, 28prdstopn 20002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen
`  Y )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
5352eqcomd 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  (
TopOpen `  Y ) )
5453, 50eqeltrd 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y
) ) )
55 toponuni 19301 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  e.  (TopOn `  ( Base `  Y
) )  ->  ( Base `  Y )  = 
U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
56 mpteq1 4517 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
Base `  Y )  =  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  ->  ( x  e.  ( Base `  Y
)  |->  ( x `  y ) )  =  ( x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  |->  ( x `  y ) ) )
5754, 55, 563syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 y ) )  =  ( x  e. 
U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) 
|->  ( x `  y
) ) )
582adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  W )
5949adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
60 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
61 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )
6261, 27ptpjcn 19985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top  /\  y  e.  I )  ->  ( x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  |->  ( x `  y ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  Cn  (
( TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
6358, 59, 60, 62syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  U. ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  |->  ( x `
 y ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  Cn  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
6457, 63eqeltrd 2531 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 y ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
)  Cn  ( (
TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
6553, 39oveq12d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  Cn  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  =  ( (
TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
6664, 65eleqtrd 2533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( x `
 y ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen
`  ( R `  y ) ) ) )
67 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  ( R `
 y ) )  =  ( invg `  ( R `  y
) )
6841, 67tgpinv 20457 . . . . . . . 8  |-  ( ( R `  y )  e.  TopGrp  ->  ( invg `  ( R `  y
) )  e.  ( ( TopOpen `  ( R `  y ) )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
6940, 68syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( invg `  ( R `
 y ) )  e.  ( ( TopOpen `  ( R `  y ) )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
7050, 66, 69cnmpt11f 20038 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( ( invg `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen
`  ( R `  y ) ) ) )
7139oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( TopOpen `  Y )  Cn  ( ( TopOpen  o.  R
) `  y )
)  =  ( (
TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen `  ( R `  y ) ) ) )
7270, 71eleqtrrd 2534 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
x  e.  ( Base `  Y )  |->  ( ( invg `  ( R `  y )
) `  ( x `  y ) ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  (
( TopOpen  o.  R ) `  y ) ) )
7327, 30, 2, 49, 72ptcn 20001 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  Y )  |->  ( y  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  y
) ) `  (
x `  y )
) ) )  e.  ( ( TopOpen `  Y
)  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) ) )
7426, 73eqeltrd 2531 . . 3  |-  ( ph  ->  ( invg `  Y )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) ) )
7551oveq2d 6297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen `  Y
)  Cn  ( TopOpen `  Y ) )  =  ( ( TopOpen `  Y
)  Cn  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) ) )
7674, 75eleqtrrd 2534 . 2  |-  ( ph  ->  ( invg `  Y )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen `  Y )
) )
7728, 16istgp 20449 . 2  |-  ( Y  e.  TopGrp 
<->  ( Y  e.  Grp  /\  Y  e. TopMnd  /\  ( invg `  Y )  e.  ( ( TopOpen `  Y )  Cn  ( TopOpen
`  Y ) ) ) )
789, 14, 76, 77syl3anbrc 1181 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   U.cuni 4234    |-> cmpt 4495    o. ccom 4993    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   TopOpenctopn 14696   Xt_cpt 14713   X_scprds 14720   Grpcgrp 15927   invgcminusg 15928   Topctop 19267  TopOnctopon 19268    Cn ccn 19598  TopMndctmd 20442   TopGrpctgp 20443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-plusf 15745  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-tx 19936  df-tmd 20444  df-tgp 20445
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator