Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstgpd Structured version   Unicode version

Theorem prdstgpd 20496
 Description: The product of a family of topological groups is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstgpd.y s
prdstgpd.i
prdstgpd.s
prdstgpd.r
Assertion
Ref Expression
prdstgpd

Proof of Theorem prdstgpd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstgpd.y . . 3 s
2 prdstgpd.i . . 3
3 prdstgpd.s . . 3
4 prdstgpd.r . . . 4
5 tgpgrp 20450 . . . . 5
65ssriv 3493 . . . 4
7 fss 5729 . . . 4
84, 6, 7sylancl 662 . . 3
91, 2, 3, 8prdsgrpd 16053 . 2
10 tgptmd 20451 . . . . 5 TopMnd
1110ssriv 3493 . . . 4 TopMnd
12 fss 5729 . . . 4 TopMnd TopMnd
134, 11, 12sylancl 662 . . 3 TopMnd
141, 2, 3, 13prdstmdd 20495 . 2 TopMnd
15 eqid 2443 . . . . . . . 8
16 eqid 2443 . . . . . . . 8
1715, 16grpinvf 15968 . . . . . . 7
189, 17syl 16 . . . . . 6
1918feqmptd 5911 . . . . 5
202adantr 465 . . . . . . 7
213adantr 465 . . . . . . 7
228adantr 465 . . . . . . 7
23 simpr 461 . . . . . . 7
241, 20, 21, 22, 15, 16, 23prdsinvgd 16054 . . . . . 6
2524mpteq2dva 4523 . . . . 5
2619, 25eqtrd 2484 . . . 4
27 eqid 2443 . . . . 5
28 eqid 2443 . . . . . . 7
2928, 15tmdtopon 20453 . . . . . 6 TopMnd TopOn
3014, 29syl 16 . . . . 5 TopOn
31 topnfn 14700 . . . . . . 7
32 ffn 5721 . . . . . . . . 9
334, 32syl 16 . . . . . . . 8
34 dffn2 5722 . . . . . . . 8
3533, 34sylib 196 . . . . . . 7
36 fnfco 5740 . . . . . . 7
3731, 35, 36sylancr 663 . . . . . 6
38 fvco3 5935 . . . . . . . . 9
394, 38sylan 471 . . . . . . . 8
404ffvelrnda 6016 . . . . . . . . 9
41 eqid 2443 . . . . . . . . . 10
42 eqid 2443 . . . . . . . . . 10
4341, 42tgptopon 20454 . . . . . . . . 9 TopOn
44 topontop 19300 . . . . . . . . 9 TopOn
4540, 43, 443syl 20 . . . . . . . 8
4639, 45eqeltrd 2531 . . . . . . 7
4746ralrimiva 2857 . . . . . 6
48 ffnfv 6042 . . . . . 6
4937, 47, 48sylanbrc 664 . . . . 5
5030adantr 465 . . . . . . 7 TopOn
511, 3, 2, 33, 28prdstopn 20002 . . . . . . . . . . . . 13
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
5352eqcomd 2451 . . . . . . . . . . 11
5453, 50eqeltrd 2531 . . . . . . . . . 10 TopOn
55 toponuni 19301 . . . . . . . . . 10 TopOn
56 mpteq1 4517 . . . . . . . . . 10
5754, 55, 563syl 20 . . . . . . . . 9
582adantr 465 . . . . . . . . . 10
5949adantr 465 . . . . . . . . . 10
60 simpr 461 . . . . . . . . . 10
61 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11
6261, 27ptpjcn 19985 . . . . . . . . . 10
6358, 59, 60, 62syl3anc 1229 . . . . . . . . 9
6457, 63eqeltrd 2531 . . . . . . . 8
6553, 39oveq12d 6299 . . . . . . . 8
6664, 65eleqtrd 2533 . . . . . . 7
67 eqid 2443 . . . . . . . . 9
6841, 67tgpinv 20457 . . . . . . . 8
6940, 68syl 16 . . . . . . 7
7050, 66, 69cnmpt11f 20038 . . . . . 6
7139oveq2d 6297 . . . . . 6
7270, 71eleqtrrd 2534 . . . . 5
7327, 30, 2, 49, 72ptcn 20001 . . . 4
7426, 73eqeltrd 2531 . . 3
7551oveq2d 6297 . . 3
7674, 75eleqtrrd 2534 . 2
7728, 16istgp 20449 . 2 TopMnd
789, 14, 76, 77syl3anbrc 1181 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793  cvv 3095   wss 3461  cuni 4234   cmpt 4495   ccom 4993   wfn 5573  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  cbs 14509  ctopn 14696  cpt 14713  scprds 14720  cgrp 15927  cminusg 15928  ctop 19267  TopOnctopon 19268   ccn 19598  TopMndctmd 20442  ctgp 20443 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-plusf 15745  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-tx 19936  df-tmd 20444  df-tgp 20445 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator