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Theorem prdssca 14700
Description: Scalar ring of a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p  |-  P  =  ( S X_s R )
prdsbas.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbas.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
Assertion
Ref Expression
prdssca  |-  ( ph  ->  S  =  (Scalar `  P ) )

Proof of Theorem prdssca
Dummy variables  a 
c  d  e  f  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . . 4  |-  P  =  ( S X_s R )
2 eqid 2460 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqidd 2461 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  R  =  dom  R )
4 eqidd 2461 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  =  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) )
5 eqidd 2461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
6 eqidd 2461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
7 eqidd 2461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
8 eqidd 2461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )  =  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .i `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) ) )
9 eqidd 2461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
10 eqidd 2461 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  /\  A. x  e.  dom  R ( f `
 x ) ( le `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) }  =  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  /\  A. x  e.  dom  R ( f `
 x ) ( le `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) } )
11 eqidd 2461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  sup (
( ran  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
12 eqidd 2461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  =  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) )
13 eqidd 2461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( a  e.  (
X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  X.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ) ,  c  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) `  a ) 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )  =  ( a  e.  ( X_ x  e. 
dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  X.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ) ,  c  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) `  a ) 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) )
14 prdsbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
15 prdsbas.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15prdsval 14699 . . 3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  X_ x  e. 
dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  /\  A. x  e.  dom  R ( f `
 x ) ( le `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) } >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )
>. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( a  e.  ( X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  X.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ) ,  c  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) `  a ) 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
) `  x ) ,  ( ( 2nd `  a ) `  x
) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) ) )
17 eqid 2460 . . 3  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
18 scaid 14605 . . 3  |- Scalar  = Slot  (Scalar ` 
ndx )
19 elex 3115 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
2014, 19syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
21 snsstp1 4171 . . . . 5  |-  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. }  C_  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. }
22 ssun2 3661 . . . . 5  |-  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  X_ x  e. 
dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )
2321, 22sstri 3506 . . . 4  |-  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  X_ x  e. 
dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )
24 ssun1 3660 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  X_ x  e. 
dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  C_  (
( { <. ( Base `  ndx ) , 
X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  /\  A. x  e.  dom  R ( f `
 x ) ( le `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) } >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )
>. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( a  e.  ( X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  X.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ) ,  c  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) `  a ) 
|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
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) >. (comp `  ( R `  x )
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>. } ) )
2523, 24sstri 3506 . . 3  |-  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. }  C_  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  X_ x  e. 
dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  ( x  e. 
dom  R  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( x  e.  dom  R  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  /\  A. x  e.  dom  R ( f `
 x ) ( le `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) } >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  X_ x  e.  dom  R (
Base `  ( R `  x ) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )
>. ,  <. (comp `  ndx ) ,  ( a  e.  ( X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  X.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ) ,  c  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) )  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x
) ) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
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) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
) ,  g  e.  X_ x  e.  dom  R ( Base `  ( R `  x )
)  |->  X_ x  e.  dom  R ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
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|->  ( x  e.  dom  R 
|->  ( ( d `  x ) ( <.
( ( 1st `  a
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) >. (comp `  ( R `  x )
) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )
>. } ) )
2616, 17, 18, 20, 25prdsvallem 14698 . 2  |-  ( ph  ->  (Scalar `  P )  =  S )
2726eqcomd 2468 1  |-  ( ph  ->  S  =  (Scalar `  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106    u. cun 3467    C_ wss 3469   {csn 4020   {cpr 4022   {ctp 4024   <.cop 4026   class class class wbr 4440   {copab 4497    |-> cmpt 4498    X. cxp 4990   dom cdm 4992   ran crn 4993    o. ccom 4996   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   1stc1st 6772   2ndc2nd 6773   X_cixp 7459   supcsup 7889   0cc0 9481   RR*cxr 9616    < clt 9617   ndxcnx 14476   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   .rcmulr 14545  Scalarcsca 14547   .scvsca 14548   .icip 14549  TopSetcts 14550   lecple 14551   distcds 14553   Hom chom 14555  compcco 14556   TopOpenctopn 14666   Xt_cpt 14683    gsumg cgsu 14685   X_scprds 14690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-hom 14568  df-cco 14569  df-prds 14692
This theorem is referenced by:  pwssca  14740  xpssca  14822  xpsvsca  14823  prdslmodd  17391  dsmmlss  18535
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