Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsrngd Structured version   Unicode version

Theorem prdsrngd 16828
 Description: A product of rings is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsrngd.y s
prdsrngd.i
prdsrngd.s
prdsrngd.r
Assertion
Ref Expression
prdsrngd

Proof of Theorem prdsrngd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsrngd.y . . 3 s
2 prdsrngd.i . . 3
3 prdsrngd.s . . 3
4 prdsrngd.r . . . 4
5 rnggrp 16774 . . . . 5
65ssriv 3469 . . . 4
7 fss 5676 . . . 4
84, 6, 7sylancl 662 . . 3
91, 2, 3, 8prdsgrpd 15784 . 2
10 eqid 2454 . . . 4 smulGrp smulGrp
11 mgpf 16780 . . . . 5 mulGrp
12 fco2 5678 . . . . 5 mulGrp mulGrp
1311, 4, 12sylancr 663 . . . 4 mulGrp
1410, 2, 3, 13prdsmndd 15574 . . 3 smulGrp
15 eqidd 2455 . . . 4 mulGrp mulGrp
16 eqid 2454 . . . . . 6 mulGrp mulGrp
17 ffn 5668 . . . . . . 7
184, 17syl 16 . . . . . 6
191, 16, 10, 2, 3, 18prdsmgp 16826 . . . . 5 mulGrp smulGrp mulGrp smulGrp
2019simpld 459 . . . 4 mulGrp smulGrp
2119simprd 463 . . . . 5 mulGrp smulGrp
2221proplem3 14749 . . . 4 mulGrp mulGrp mulGrp smulGrp
2315, 20, 22mndpropd 15566 . . 3 mulGrp smulGrp
2414, 23mpbird 232 . 2 mulGrp
254adantr 465 . . . . . . . . 9
2625ffvelrnda 5953 . . . . . . . 8
27 eqid 2454 . . . . . . . . 9
283adantr 465 . . . . . . . . . 10
2928adantr 465 . . . . . . . . 9
302adantr 465 . . . . . . . . . 10
3130adantr 465 . . . . . . . . 9
3218adantr 465 . . . . . . . . . 10
3332adantr 465 . . . . . . . . 9
34 simplr1 1030 . . . . . . . . 9
35 simpr 461 . . . . . . . . 9
361, 27, 29, 31, 33, 34, 35prdsbasprj 14530 . . . . . . . 8
37 simpr2 995 . . . . . . . . . 10
3837adantr 465 . . . . . . . . 9
391, 27, 29, 31, 33, 38, 35prdsbasprj 14530 . . . . . . . 8
40 simpr3 996 . . . . . . . . . 10
4140adantr 465 . . . . . . . . 9
421, 27, 29, 31, 33, 41, 35prdsbasprj 14530 . . . . . . . 8
43 eqid 2454 . . . . . . . . 9
44 eqid 2454 . . . . . . . . 9
45 eqid 2454 . . . . . . . . 9
4643, 44, 45rngdi 16787 . . . . . . . 8
4726, 36, 39, 42, 46syl13anc 1221 . . . . . . 7
48 eqid 2454 . . . . . . . . 9
491, 27, 29, 31, 33, 38, 41, 48, 35prdsplusgfval 14532 . . . . . . . 8
5049oveq2d 6217 . . . . . . 7
51 eqid 2454 . . . . . . . . 9
521, 27, 29, 31, 33, 34, 38, 51, 35prdsmulrfval 14534 . . . . . . . 8
531, 27, 29, 31, 33, 34, 41, 51, 35prdsmulrfval 14534 . . . . . . . 8
5452, 53oveq12d 6219 . . . . . . 7
5547, 50, 543eqtr4d 2505 . . . . . 6
5655mpteq2dva 4487 . . . . 5
57 simpr1 994 . . . . . 6
58 rngmnd 16778 . . . . . . . . . 10
5958ssriv 3469 . . . . . . . . 9
60 fss 5676 . . . . . . . . 9
614, 59, 60sylancl 662 . . . . . . . 8
6261adantr 465 . . . . . . 7
631, 27, 48, 28, 30, 62, 37, 40prdsplusgcl 15572 . . . . . 6
641, 27, 28, 30, 32, 57, 63, 51prdsmulrval 14533 . . . . 5
651, 27, 51, 28, 30, 25, 57, 37prdsmulrcl 16827 . . . . . 6
661, 27, 51, 28, 30, 25, 57, 40prdsmulrcl 16827 . . . . . 6
671, 27, 28, 30, 32, 65, 66, 48prdsplusgval 14531 . . . . 5
6856, 64, 673eqtr4d 2505 . . . 4
6943, 44, 45rngdir 16788 . . . . . . . 8
7026, 36, 39, 42, 69syl13anc 1221 . . . . . . 7
711, 27, 29, 31, 33, 34, 38, 48, 35prdsplusgfval 14532 . . . . . . . 8
7271oveq1d 6216 . . . . . . 7
731, 27, 29, 31, 33, 38, 41, 51, 35prdsmulrfval 14534 . . . . . . . 8
7453, 73oveq12d 6219 . . . . . . 7
7570, 72, 743eqtr4d 2505 . . . . . 6
7675mpteq2dva 4487 . . . . 5
771, 27, 48, 28, 30, 62, 57, 37prdsplusgcl 15572 . . . . . 6
781, 27, 28, 30, 32, 77, 40, 51prdsmulrval 14533 . . . . 5
791, 27, 51, 28, 30, 25, 37, 40prdsmulrcl 16827 . . . . . 6
801, 27, 28, 30, 32, 66, 79, 48prdsplusgval 14531 . . . . 5
8176, 78, 803eqtr4d 2505 . . . 4
8268, 81jca 532 . . 3
8382ralrimivvva 2915 . 2
8427, 16, 48, 51isrng 16773 . 2 mulGrp
859, 24, 83, 84syl3anbrc 1172 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758  wral 2799   wss 3437   cmpt 4459   cres 4951   ccom 4953   wfn 5522  wf 5523  cfv 5527  (class class class)co 6201  cbs 14293   cplusg 14358  cmulr 14359  scprds 14504  cmnd 15529  cgrp 15530  mulGrpcmgp 16714  crg 16769 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-hom 14382  df-cco 14383  df-0g 14500  df-prds 14506  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-mgp 16715  df-rng 16771 This theorem is referenced by:  prdscrngd  16829  pwsrng  16831
 Copyright terms: Public domain W3C validator