MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsrngd Structured version   Unicode version

Theorem prdsrngd 16828
Description: A product of rings is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsrngd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsrngd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsrngd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsrngd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
Assertion
Ref Expression
prdsrngd  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )

Proof of Theorem prdsrngd
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsrngd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsrngd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 prdsrngd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsrngd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
5 rnggrp 16774 . . . . 5  |-  ( x  e.  Ring  ->  x  e. 
Grp )
65ssriv 3469 . . . 4  |-  Ring  C_  Grp
7 fss 5676 . . . 4  |-  ( ( R : I --> Ring  /\  Ring  C_ 
Grp )  ->  R : I --> Grp )
84, 6, 7sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
91, 2, 3, 8prdsgrpd 15784 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
10 eqid 2454 . . . 4  |-  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
)  =  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
)
11 mgpf 16780 . . . . 5  |-  (mulGrp  |`  Ring ) : Ring --> Mnd
12 fco2 5678 . . . . 5  |-  ( ( (mulGrp  |`  Ring ) : Ring --> Mnd 
/\  R : I -->
Ring )  ->  (mulGrp  o.  R ) : I --> Mnd )
1311, 4, 12sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  (mulGrp  o.  R ) : I --> Mnd )
1410, 2, 3, 13prdsmndd 15574 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
)  e.  Mnd )
15 eqidd 2455 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  (mulGrp `  Y ) ) )
16 eqid 2454 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
17 ffn 5668 . . . . . . 7  |-  ( R : I --> Ring  ->  R  Fn  I )
184, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
191, 16, 10, 2, 3, 18prdsmgp 16826 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) )  /\  ( +g  `  (mulGrp `  Y
) )  =  ( +g  `  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
) ) ) )
2019simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
2119simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( +g  `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( +g  `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
2221proplem3 14749 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  /\  y  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y )
) ) )  -> 
( x ( +g  `  (mulGrp `  Y )
) y )  =  ( x ( +g  `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) y ) )
2315, 20, 22mndpropd 15566 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (mulGrp `  Y
)  e.  Mnd  <->  ( S X_s (mulGrp 
o.  R ) )  e.  Mnd ) )
2414, 23mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
254adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R :
I --> Ring )
2625ffvelrnda 5953 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  ( R `  w )  e.  Ring )
27 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
283adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  S  e.  V )
2928adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  S  e.  V )
302adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  I  e.  W )
3130adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  I  e.  W )
3218adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R  Fn  I )
3332adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  R  Fn  I )
34 simplr1 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  x  e.  ( Base `  Y
) )
35 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  w  e.  I )
361, 27, 29, 31, 33, 34, 35prdsbasprj 14530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
x `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
) )
37 simpr2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  Y )
)
3837adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  y  e.  ( Base `  Y
) )
391, 27, 29, 31, 33, 38, 35prdsbasprj 14530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
y `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
) )
40 simpr3 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  Y )
)
4140adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  z  e.  ( Base `  Y
) )
421, 27, 29, 31, 33, 41, 35prdsbasprj 14530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
z `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
) )
43 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( R `  w
) )  =  (
Base `  ( R `  w ) )
44 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  ( R `  w
) )  =  ( +g  `  ( R `
 w ) )
45 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  ( R `  w ) )  =  ( .r `  ( R `  w )
)
4643, 44, 45rngdi 16787 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  w
)  e.  Ring  /\  (
( x `  w
)  e.  ( Base `  ( R `  w
) )  /\  (
y `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
)  /\  ( z `  w )  e.  (
Base `  ( R `  w ) ) ) )  ->  ( (
x `  w )
( .r `  ( R `  w )
) ( ( y `
 w ) ( +g  `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
4726, 36, 39, 42, 46syl13anc 1221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( ( y `
 w ) ( +g  `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
48 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
491, 27, 29, 31, 33, 38, 41, 48, 35prdsplusgfval 14532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( y ( +g  `  Y ) z ) `
 w )  =  ( ( y `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( z `
 w ) ) )
5049oveq2d 6217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  w ) )  =  ( ( x `  w ) ( .r
`  ( R `  w ) ) ( ( y `  w
) ( +g  `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
51 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
521, 27, 29, 31, 33, 34, 38, 51, 35prdsmulrfval 14534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) y ) `  w )  =  ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) )
531, 27, 29, 31, 33, 34, 41, 51, 35prdsmulrfval 14534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) z ) `  w )  =  ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )
5452, 53oveq12d 6219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x ( .r `  Y ) y ) `  w
) ( +g  `  ( R `  w )
) ( ( x ( .r `  Y
) z ) `  w ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
5547, 50, 543eqtr4d 2505 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  w ) )  =  ( ( ( x ( .r `  Y
) y ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) )
5655mpteq2dva 4487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( w  e.  I  |->  ( ( x `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( .r `  Y ) y ) `
 w ) ( +g  `  ( R `
 w ) ) ( ( x ( .r `  Y ) z ) `  w
) ) ) )
57 simpr1 994 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  Y )
)
58 rngmnd 16778 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Ring  ->  x  e. 
Mnd )
5958ssriv 3469 . . . . . . . . 9  |-  Ring  C_  Mnd
60 fss 5676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R : I --> Ring  /\  Ring  C_ 
Mnd )  ->  R : I --> Mnd )
614, 59, 60sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
6261adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R :
I --> Mnd )
631, 27, 48, 28, 30, 62, 37, 40prdsplusgcl 15572 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y
( +g  `  Y ) z )  e.  (
Base `  Y )
)
641, 27, 28, 30, 32, 57, 63, 51prdsmulrval 14533 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( .r `  Y
) ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( x `  w ) ( .r
`  ( R `  w ) ) ( ( y ( +g  `  Y ) z ) `
 w ) ) ) )
651, 27, 51, 28, 30, 25, 57, 37prdsmulrcl 16827 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( .r `  Y
) y )  e.  ( Base `  Y
) )
661, 27, 51, 28, 30, 25, 57, 40prdsmulrcl 16827 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( .r `  Y
) z )  e.  ( Base `  Y
) )
671, 27, 28, 30, 32, 65, 66, 48prdsplusgval 14531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  Y ) y ) ( +g  `  Y
) ( x ( .r `  Y ) z ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( .r `  Y
) y ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) ) )
6856, 64, 673eqtr4d 2505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( .r `  Y
) ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( x ( .r `  Y ) y ) ( +g  `  Y ) ( x ( .r `  Y
) z ) ) )
6943, 44, 45rngdir 16788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  w
)  e.  Ring  /\  (
( x `  w
)  e.  ( Base `  ( R `  w
) )  /\  (
y `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
)  /\  ( z `  w )  e.  (
Base `  ( R `  w ) ) ) )  ->  ( (
( x `  w
) ( +g  `  ( R `  w )
) ( y `  w ) ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) )  =  ( ( ( x `  w ) ( .r
`  ( R `  w ) ) ( z `  w ) ) ( +g  `  ( R `  w )
) ( ( y `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) ) )
7026, 36, 39, 42, 69syl13anc 1221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( y `
 w ) ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
711, 27, 29, 31, 33, 34, 38, 48, 35prdsplusgfval 14532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x ( +g  `  Y ) y ) `
 w )  =  ( ( x `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( y `
 w ) ) )
7271oveq1d 6216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x ( +g  `  Y ) y ) `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( z `  w ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( +g  `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) ( .r
`  ( R `  w ) ) ( z `  w ) ) )
731, 27, 29, 31, 33, 38, 41, 51, 35prdsmulrfval 14534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( y ( .r
`  Y ) z ) `  w )  =  ( ( y `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )
7453, 73oveq12d 6219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x ( .r `  Y ) z ) `  w
) ( +g  `  ( R `  w )
) ( ( y ( .r `  Y
) z ) `  w ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
7570, 72, 743eqtr4d 2505 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x ( +g  `  Y ) y ) `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( z `  w ) )  =  ( ( ( x ( .r `  Y
) z ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) )
7675mpteq2dva 4487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( +g  `  Y ) y ) `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( .r `  Y
) z ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) ) )
771, 27, 48, 28, 30, 62, 57, 37prdsplusgcl 15572 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( +g  `  Y ) y )  e.  (
Base `  Y )
)
781, 27, 28, 30, 32, 77, 40, 51prdsmulrval 14533 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  Y
) y ) ( .r `  Y ) z )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( +g  `  Y ) y ) `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( z `  w ) ) ) )
791, 27, 51, 28, 30, 25, 37, 40prdsmulrcl 16827 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y
( .r `  Y
) z )  e.  ( Base `  Y
) )
801, 27, 28, 30, 32, 66, 79, 48prdsplusgval 14531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  Y ) z ) ( +g  `  Y
) ( y ( .r `  Y ) z ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( .r `  Y
) z ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) ) )
8176, 78, 803eqtr4d 2505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  Y
) y ) ( .r `  Y ) z )  =  ( ( x ( .r
`  Y ) z ) ( +g  `  Y
) ( y ( .r `  Y ) z ) ) )
8268, 81jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  Y ) ( y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  Y
) y ) ( +g  `  Y ) ( x ( .r
`  Y ) z ) )  /\  (
( x ( +g  `  Y ) y ) ( .r `  Y
) z )  =  ( ( x ( .r `  Y ) z ) ( +g  `  Y ) ( y ( .r `  Y
) z ) ) ) )
8382ralrimivvva 2915 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  Y ) A. y  e.  ( Base `  Y ) A. z  e.  ( Base `  Y ) ( ( x ( .r `  Y ) ( y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  Y
) y ) ( +g  `  Y ) ( x ( .r
`  Y ) z ) )  /\  (
( x ( +g  `  Y ) y ) ( .r `  Y
) z )  =  ( ( x ( .r `  Y ) z ) ( +g  `  Y ) ( y ( .r `  Y
) z ) ) ) )
8427, 16, 48, 51isrng 16773 . 2  |-  ( Y  e.  Ring  <->  ( Y  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  Y
)  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  Y ) A. y  e.  ( Base `  Y
) A. z  e.  ( Base `  Y
) ( ( x ( .r `  Y
) ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( x ( .r `  Y ) y ) ( +g  `  Y ) ( x ( .r `  Y
) z ) )  /\  ( ( x ( +g  `  Y
) y ) ( .r `  Y ) z )  =  ( ( x ( .r
`  Y ) z ) ( +g  `  Y
) ( y ( .r `  Y ) z ) ) ) ) )
859, 24, 83, 84syl3anbrc 1172 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799    C_ wss 3437    |-> cmpt 4459    |` cres 4951    o. ccom 4953    Fn wfn 5522   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   .rcmulr 14359   X_scprds 14504   Mndcmnd 15529   Grpcgrp 15530  mulGrpcmgp 16714   Ringcrg 16769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-hom 14382  df-cco 14383  df-0g 14500  df-prds 14506  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-mgp 16715  df-rng 16771
This theorem is referenced by:  prdscrngd  16829  pwsrng  16831
  Copyright terms: Public domain W3C validator