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Theorem prdsringd 17374
Description: A product of rings is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsringd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsringd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsringd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsringd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
Assertion
Ref Expression
prdsringd  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )

Proof of Theorem prdsringd
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsringd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsringd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 prdsringd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsringd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
5 ringgrp 17316 . . . . 5  |-  ( x  e.  Ring  ->  x  e. 
Grp )
65ssriv 3421 . . . 4  |-  Ring  C_  Grp
7 fss 5647 . . . 4  |-  ( ( R : I --> Ring  /\  Ring  C_ 
Grp )  ->  R : I --> Grp )
84, 6, 7sylancl 660 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
91, 2, 3, 8prdsgrpd 16296 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
10 eqid 2382 . . . 4  |-  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
)  =  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
)
11 mgpf 17323 . . . . 5  |-  (mulGrp  |`  Ring ) : Ring --> Mnd
12 fco2 5650 . . . . 5  |-  ( ( (mulGrp  |`  Ring ) : Ring --> Mnd 
/\  R : I -->
Ring )  ->  (mulGrp  o.  R ) : I --> Mnd )
1311, 4, 12sylancr 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  (mulGrp  o.  R ) : I --> Mnd )
1410, 2, 3, 13prdsmndd 16070 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
)  e.  Mnd )
15 eqidd 2383 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  (mulGrp `  Y ) ) )
16 eqid 2382 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
17 ffn 5639 . . . . . . 7  |-  ( R : I --> Ring  ->  R  Fn  I )
184, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
191, 16, 10, 2, 3, 18prdsmgp 17372 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) )  /\  ( +g  `  (mulGrp `  Y
) )  =  ( +g  `  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
) ) ) )
2019simpld 457 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
2119simprd 461 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( +g  `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( +g  `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
2221oveqdr 6220 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  /\  y  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y )
) ) )  -> 
( x ( +g  `  (mulGrp `  Y )
) y )  =  ( x ( +g  `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) y ) )
2315, 20, 22mndpropd 16063 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (mulGrp `  Y
)  e.  Mnd  <->  ( S X_s (mulGrp 
o.  R ) )  e.  Mnd ) )
2414, 23mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
254adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R :
I --> Ring )
2625ffvelrnda 5933 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  ( R `  w )  e.  Ring )
27 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
283adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  S  e.  V )
2928adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  S  e.  V )
302adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  I  e.  W )
3130adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  I  e.  W )
3218adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R  Fn  I )
3332adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  R  Fn  I )
34 simplr1 1036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  x  e.  ( Base `  Y
) )
35 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  w  e.  I )
361, 27, 29, 31, 33, 34, 35prdsbasprj 14879 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
x `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
) )
37 simpr2 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  Y )
)
3837adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  y  e.  ( Base `  Y
) )
391, 27, 29, 31, 33, 38, 35prdsbasprj 14879 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
y `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
) )
40 simpr3 1002 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  Y )
)
4140adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  z  e.  ( Base `  Y
) )
421, 27, 29, 31, 33, 41, 35prdsbasprj 14879 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
z `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
) )
43 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( R `  w
) )  =  (
Base `  ( R `  w ) )
44 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  ( R `  w
) )  =  ( +g  `  ( R `
 w ) )
45 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  ( R `  w ) )  =  ( .r `  ( R `  w )
)
4643, 44, 45ringdi 17330 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  w
)  e.  Ring  /\  (
( x `  w
)  e.  ( Base `  ( R `  w
) )  /\  (
y `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
)  /\  ( z `  w )  e.  (
Base `  ( R `  w ) ) ) )  ->  ( (
x `  w )
( .r `  ( R `  w )
) ( ( y `
 w ) ( +g  `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
4726, 36, 39, 42, 46syl13anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( ( y `
 w ) ( +g  `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
48 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
491, 27, 29, 31, 33, 38, 41, 48, 35prdsplusgfval 14881 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( y ( +g  `  Y ) z ) `
 w )  =  ( ( y `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( z `
 w ) ) )
5049oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  w ) )  =  ( ( x `  w ) ( .r
`  ( R `  w ) ) ( ( y `  w
) ( +g  `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
51 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
521, 27, 29, 31, 33, 34, 38, 51, 35prdsmulrfval 14883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) y ) `  w )  =  ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) )
531, 27, 29, 31, 33, 34, 41, 51, 35prdsmulrfval 14883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) z ) `  w )  =  ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )
5452, 53oveq12d 6214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x ( .r `  Y ) y ) `  w
) ( +g  `  ( R `  w )
) ( ( x ( .r `  Y
) z ) `  w ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
5547, 50, 543eqtr4d 2433 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  w ) )  =  ( ( ( x ( .r `  Y
) y ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) )
5655mpteq2dva 4453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( w  e.  I  |->  ( ( x `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( .r `  Y ) y ) `
 w ) ( +g  `  ( R `
 w ) ) ( ( x ( .r `  Y ) z ) `  w
) ) ) )
57 simpr1 1000 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  Y )
)
58 ringmnd 17320 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Ring  ->  x  e. 
Mnd )
5958ssriv 3421 . . . . . . . . 9  |-  Ring  C_  Mnd
60 fss 5647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R : I --> Ring  /\  Ring  C_ 
Mnd )  ->  R : I --> Mnd )
614, 59, 60sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
6261adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R :
I --> Mnd )
631, 27, 48, 28, 30, 62, 37, 40prdsplusgcl 16068 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y
( +g  `  Y ) z )  e.  (
Base `  Y )
)
641, 27, 28, 30, 32, 57, 63, 51prdsmulrval 14882 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( .r `  Y
) ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( x `  w ) ( .r
`  ( R `  w ) ) ( ( y ( +g  `  Y ) z ) `
 w ) ) ) )
651, 27, 51, 28, 30, 25, 57, 37prdsmulrcl 17373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( .r `  Y
) y )  e.  ( Base `  Y
) )
661, 27, 51, 28, 30, 25, 57, 40prdsmulrcl 17373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( .r `  Y
) z )  e.  ( Base `  Y
) )
671, 27, 28, 30, 32, 65, 66, 48prdsplusgval 14880 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  Y ) y ) ( +g  `  Y
) ( x ( .r `  Y ) z ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( .r `  Y
) y ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) ) )
6856, 64, 673eqtr4d 2433 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( .r `  Y
) ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( x ( .r `  Y ) y ) ( +g  `  Y ) ( x ( .r `  Y
) z ) ) )
6943, 44, 45ringdir 17331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  w
)  e.  Ring  /\  (
( x `  w
)  e.  ( Base `  ( R `  w
) )  /\  (
y `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
)  /\  ( z `  w )  e.  (
Base `  ( R `  w ) ) ) )  ->  ( (
( x `  w
) ( +g  `  ( R `  w )
) ( y `  w ) ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) )  =  ( ( ( x `  w ) ( .r
`  ( R `  w ) ) ( z `  w ) ) ( +g  `  ( R `  w )
) ( ( y `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) ) )
7026, 36, 39, 42, 69syl13anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( y `
 w ) ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
711, 27, 29, 31, 33, 34, 38, 48, 35prdsplusgfval 14881 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x ( +g  `  Y ) y ) `
 w )  =  ( ( x `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( y `
 w ) ) )
7271oveq1d 6211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x ( +g  `  Y ) y ) `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( z `  w ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( +g  `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) ( .r
`  ( R `  w ) ) ( z `  w ) ) )
731, 27, 29, 31, 33, 38, 41, 51, 35prdsmulrfval 14883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( y ( .r
`  Y ) z ) `  w )  =  ( ( y `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )
7453, 73oveq12d 6214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x ( .r `  Y ) z ) `  w
) ( +g  `  ( R `  w )
) ( ( y ( .r `  Y
) z ) `  w ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
7570, 72, 743eqtr4d 2433 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x ( +g  `  Y ) y ) `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( z `  w ) )  =  ( ( ( x ( .r `  Y
) z ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) )
7675mpteq2dva 4453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( +g  `  Y ) y ) `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( .r `  Y
) z ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) ) )
771, 27, 48, 28, 30, 62, 57, 37prdsplusgcl 16068 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( +g  `  Y ) y )  e.  (
Base `  Y )
)
781, 27, 28, 30, 32, 77, 40, 51prdsmulrval 14882 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  Y
) y ) ( .r `  Y ) z )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( +g  `  Y ) y ) `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( z `  w ) ) ) )
791, 27, 51, 28, 30, 25, 37, 40prdsmulrcl 17373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y
( .r `  Y
) z )  e.  ( Base `  Y
) )
801, 27, 28, 30, 32, 66, 79, 48prdsplusgval 14880 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  Y ) z ) ( +g  `  Y
) ( y ( .r `  Y ) z ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( .r `  Y
) z ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) ) )
8176, 78, 803eqtr4d 2433 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  Y
) y ) ( .r `  Y ) z )  =  ( ( x ( .r
`  Y ) z ) ( +g  `  Y
) ( y ( .r `  Y ) z ) ) )
8268, 81jca 530 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  Y ) ( y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  Y
) y ) ( +g  `  Y ) ( x ( .r
`  Y ) z ) )  /\  (
( x ( +g  `  Y ) y ) ( .r `  Y
) z )  =  ( ( x ( .r `  Y ) z ) ( +g  `  Y ) ( y ( .r `  Y
) z ) ) ) )
8382ralrimivvva 2804 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  Y ) A. y  e.  ( Base `  Y ) A. z  e.  ( Base `  Y ) ( ( x ( .r `  Y ) ( y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  Y
) y ) ( +g  `  Y ) ( x ( .r
`  Y ) z ) )  /\  (
( x ( +g  `  Y ) y ) ( .r `  Y
) z )  =  ( ( x ( .r `  Y ) z ) ( +g  `  Y ) ( y ( .r `  Y
) z ) ) ) )
8427, 16, 48, 51isring 17315 . 2  |-  ( Y  e.  Ring  <->  ( Y  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  Y
)  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  Y ) A. y  e.  ( Base `  Y
) A. z  e.  ( Base `  Y
) ( ( x ( .r `  Y
) ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( x ( .r `  Y ) y ) ( +g  `  Y ) ( x ( .r `  Y
) z ) )  /\  ( ( x ( +g  `  Y
) y ) ( .r `  Y ) z )  =  ( ( x ( .r
`  Y ) z ) ( +g  `  Y
) ( y ( .r `  Y ) z ) ) ) ) )
859, 24, 83, 84syl3anbrc 1178 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732    C_ wss 3389    |-> cmpt 4425    |` cres 4915    o. ccom 4917    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   .rcmulr 14703   X_scprds 14853   Mndcmnd 16036   Grpcgrp 16170  mulGrpcmgp 17254   Ringcrg 17311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-hom 14726  df-cco 14727  df-0g 14849  df-prds 14855  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-mgp 17255  df-ring 17313
This theorem is referenced by:  prdscrngd  17375  pwsring  17377
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