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Theorem prdsringd 17129
Description: A product of rings is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsringd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsringd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsringd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsringd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
Assertion
Ref Expression
prdsringd  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )

Proof of Theorem prdsringd
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsringd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsringd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 prdsringd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsringd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
5 ringgrp 17071 . . . . 5  |-  ( x  e.  Ring  ->  x  e. 
Grp )
65ssriv 3490 . . . 4  |-  Ring  C_  Grp
7 fss 5725 . . . 4  |-  ( ( R : I --> Ring  /\  Ring  C_ 
Grp )  ->  R : I --> Grp )
84, 6, 7sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
91, 2, 3, 8prdsgrpd 16048 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
10 eqid 2441 . . . 4  |-  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
)  =  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
)
11 mgpf 17078 . . . . 5  |-  (mulGrp  |`  Ring ) : Ring --> Mnd
12 fco2 5728 . . . . 5  |-  ( ( (mulGrp  |`  Ring ) : Ring --> Mnd 
/\  R : I -->
Ring )  ->  (mulGrp  o.  R ) : I --> Mnd )
1311, 4, 12sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  (mulGrp  o.  R ) : I --> Mnd )
1410, 2, 3, 13prdsmndd 15822 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
)  e.  Mnd )
15 eqidd 2442 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  (mulGrp `  Y ) ) )
16 eqid 2441 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
17 ffn 5717 . . . . . . 7  |-  ( R : I --> Ring  ->  R  Fn  I )
184, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
191, 16, 10, 2, 3, 18prdsmgp 17127 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) )  /\  ( +g  `  (mulGrp `  Y
) )  =  ( +g  `  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
) ) ) )
2019simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
2119simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( +g  `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( +g  `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
2221oveqdr 6301 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  /\  y  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y )
) ) )  -> 
( x ( +g  `  (mulGrp `  Y )
) y )  =  ( x ( +g  `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) y ) )
2315, 20, 22mndpropd 15815 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (mulGrp `  Y
)  e.  Mnd  <->  ( S X_s (mulGrp 
o.  R ) )  e.  Mnd ) )
2414, 23mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  Y )  e.  Mnd )
254adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R :
I --> Ring )
2625ffvelrnda 6012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  ( R `  w )  e.  Ring )
27 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
283adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  S  e.  V )
2928adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  S  e.  V )
302adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  I  e.  W )
3130adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  I  e.  W )
3218adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R  Fn  I )
3332adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  R  Fn  I )
34 simplr1 1037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  x  e.  ( Base `  Y
) )
35 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  w  e.  I )
361, 27, 29, 31, 33, 34, 35prdsbasprj 14741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
x `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
) )
37 simpr2 1002 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  Y )
)
3837adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  y  e.  ( Base `  Y
) )
391, 27, 29, 31, 33, 38, 35prdsbasprj 14741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
y `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
) )
40 simpr3 1003 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  Y )
)
4140adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  z  e.  ( Base `  Y
) )
421, 27, 29, 31, 33, 41, 35prdsbasprj 14741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
z `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
) )
43 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  ( R `  w
) )  =  (
Base `  ( R `  w ) )
44 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  ( R `  w
) )  =  ( +g  `  ( R `
 w ) )
45 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  ( R `  w ) )  =  ( .r `  ( R `  w )
)
4643, 44, 45ringdi 17085 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  w
)  e.  Ring  /\  (
( x `  w
)  e.  ( Base `  ( R `  w
) )  /\  (
y `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
)  /\  ( z `  w )  e.  (
Base `  ( R `  w ) ) ) )  ->  ( (
x `  w )
( .r `  ( R `  w )
) ( ( y `
 w ) ( +g  `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
4726, 36, 39, 42, 46syl13anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( ( y `
 w ) ( +g  `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
48 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
491, 27, 29, 31, 33, 38, 41, 48, 35prdsplusgfval 14743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( y ( +g  `  Y ) z ) `
 w )  =  ( ( y `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( z `
 w ) ) )
5049oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  w ) )  =  ( ( x `  w ) ( .r
`  ( R `  w ) ) ( ( y `  w
) ( +g  `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
51 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
521, 27, 29, 31, 33, 34, 38, 51, 35prdsmulrfval 14745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) y ) `  w )  =  ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) )
531, 27, 29, 31, 33, 34, 41, 51, 35prdsmulrfval 14745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) z ) `  w )  =  ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )
5452, 53oveq12d 6295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x ( .r `  Y ) y ) `  w
) ( +g  `  ( R `  w )
) ( ( x ( .r `  Y
) z ) `  w ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
5547, 50, 543eqtr4d 2492 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  w ) )  =  ( ( ( x ( .r `  Y
) y ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) )
5655mpteq2dva 4519 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( w  e.  I  |->  ( ( x `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( .r `  Y ) y ) `
 w ) ( +g  `  ( R `
 w ) ) ( ( x ( .r `  Y ) z ) `  w
) ) ) )
57 simpr1 1001 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  Y )
)
58 ringmnd 17075 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Ring  ->  x  e. 
Mnd )
5958ssriv 3490 . . . . . . . . 9  |-  Ring  C_  Mnd
60 fss 5725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R : I --> Ring  /\  Ring  C_ 
Mnd )  ->  R : I --> Mnd )
614, 59, 60sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
6261adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R :
I --> Mnd )
631, 27, 48, 28, 30, 62, 37, 40prdsplusgcl 15820 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y
( +g  `  Y ) z )  e.  (
Base `  Y )
)
641, 27, 28, 30, 32, 57, 63, 51prdsmulrval 14744 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( .r `  Y
) ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( x `  w ) ( .r
`  ( R `  w ) ) ( ( y ( +g  `  Y ) z ) `
 w ) ) ) )
651, 27, 51, 28, 30, 25, 57, 37prdsmulrcl 17128 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( .r `  Y
) y )  e.  ( Base `  Y
) )
661, 27, 51, 28, 30, 25, 57, 40prdsmulrcl 17128 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( .r `  Y
) z )  e.  ( Base `  Y
) )
671, 27, 28, 30, 32, 65, 66, 48prdsplusgval 14742 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  Y ) y ) ( +g  `  Y
) ( x ( .r `  Y ) z ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( .r `  Y
) y ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( x ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) ) )
6856, 64, 673eqtr4d 2492 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( .r `  Y
) ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( x ( .r `  Y ) y ) ( +g  `  Y ) ( x ( .r `  Y
) z ) ) )
6943, 44, 45ringdir 17086 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  w
)  e.  Ring  /\  (
( x `  w
)  e.  ( Base `  ( R `  w
) )  /\  (
y `  w )  e.  ( Base `  ( R `  w )
)  /\  ( z `  w )  e.  (
Base `  ( R `  w ) ) ) )  ->  ( (
( x `  w
) ( +g  `  ( R `  w )
) ( y `  w ) ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) )  =  ( ( ( x `  w ) ( .r
`  ( R `  w ) ) ( z `  w ) ) ( +g  `  ( R `  w )
) ( ( y `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) ) )
7026, 36, 39, 42, 69syl13anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( y `
 w ) ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
711, 27, 29, 31, 33, 34, 38, 48, 35prdsplusgfval 14743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( x ( +g  `  Y ) y ) `
 w )  =  ( ( x `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( y `
 w ) ) )
7271oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x ( +g  `  Y ) y ) `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( z `  w ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( +g  `  ( R `
 w ) ) ( y `  w
) ) ( .r
`  ( R `  w ) ) ( z `  w ) ) )
731, 27, 29, 31, 33, 38, 41, 51, 35prdsmulrfval 14745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( y ( .r
`  Y ) z ) `  w )  =  ( ( y `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )
7453, 73oveq12d 6295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x ( .r `  Y ) z ) `  w
) ( +g  `  ( R `  w )
) ( ( y ( .r `  Y
) z ) `  w ) )  =  ( ( ( x `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y `  w ) ( .r `  ( R `  w )
) ( z `  w ) ) ) )
7570, 72, 743eqtr4d 2492 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
)  /\  z  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  w  e.  I )  ->  (
( ( x ( +g  `  Y ) y ) `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( z `  w ) )  =  ( ( ( x ( .r `  Y
) z ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) )
7675mpteq2dva 4519 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( +g  `  Y ) y ) `
 w ) ( .r `  ( R `
 w ) ) ( z `  w
) ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( .r `  Y
) z ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) ) )
771, 27, 48, 28, 30, 62, 57, 37prdsplusgcl 15820 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( x
( +g  `  Y ) y )  e.  (
Base `  Y )
)
781, 27, 28, 30, 32, 77, 40, 51prdsmulrval 14744 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  Y
) y ) ( .r `  Y ) z )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( +g  `  Y ) y ) `  w
) ( .r `  ( R `  w ) ) ( z `  w ) ) ) )
791, 27, 51, 28, 30, 25, 37, 40prdsmulrcl 17128 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y
( .r `  Y
) z )  e.  ( Base `  Y
) )
801, 27, 28, 30, 32, 66, 79, 48prdsplusgval 14742 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  Y ) z ) ( +g  `  Y
) ( y ( .r `  Y ) z ) )  =  ( w  e.  I  |->  ( ( ( x ( .r `  Y
) z ) `  w ) ( +g  `  ( R `  w
) ) ( ( y ( .r `  Y ) z ) `
 w ) ) ) )
8176, 78, 803eqtr4d 2492 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  Y
) y ) ( .r `  Y ) z )  =  ( ( x ( .r
`  Y ) z ) ( +g  `  Y
) ( y ( .r `  Y ) z ) ) )
8268, 81jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Y
)  /\  y  e.  ( Base `  Y )  /\  z  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
x ( .r `  Y ) ( y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  Y
) y ) ( +g  `  Y ) ( x ( .r
`  Y ) z ) )  /\  (
( x ( +g  `  Y ) y ) ( .r `  Y
) z )  =  ( ( x ( .r `  Y ) z ) ( +g  `  Y ) ( y ( .r `  Y
) z ) ) ) )
8382ralrimivvva 2863 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  Y ) A. y  e.  ( Base `  Y ) A. z  e.  ( Base `  Y ) ( ( x ( .r `  Y ) ( y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  Y
) y ) ( +g  `  Y ) ( x ( .r
`  Y ) z ) )  /\  (
( x ( +g  `  Y ) y ) ( .r `  Y
) z )  =  ( ( x ( .r `  Y ) z ) ( +g  `  Y ) ( y ( .r `  Y
) z ) ) ) )
8427, 16, 48, 51isring 17070 . 2  |-  ( Y  e.  Ring  <->  ( Y  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  Y
)  e.  Mnd  /\  A. x  e.  ( Base `  Y ) A. y  e.  ( Base `  Y
) A. z  e.  ( Base `  Y
) ( ( x ( .r `  Y
) ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( x ( .r `  Y ) y ) ( +g  `  Y ) ( x ( .r `  Y
) z ) )  /\  ( ( x ( +g  `  Y
) y ) ( .r `  Y ) z )  =  ( ( x ( .r
`  Y ) z ) ( +g  `  Y
) ( y ( .r `  Y ) z ) ) ) ) )
859, 24, 83, 84syl3anbrc 1179 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791    C_ wss 3458    |-> cmpt 4491    |` cres 4987    o. ccom 4989    Fn wfn 5569   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   +g cplusg 14569   .rcmulr 14570   X_scprds 14715   Mndcmnd 15788   Grpcgrp 15922  mulGrpcmgp 17009   Ringcrg 17066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-hom 14593  df-cco 14594  df-0g 14711  df-prds 14717  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-mgp 17010  df-ring 17068
This theorem is referenced by:  prdscrngd  17130  pwsring  17132
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