MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsplusgval Structured version   Unicode version

Theorem prdsplusgval 14403
Description: Value of a componentwise sum in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbasmpt.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbasmpt.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbasmpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsbasmpt.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
prdsplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
prdsplusgval.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
Assertion
Ref Expression
prdsplusgval  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, G    ph, x    x, I    x, V    x, R    x, S    x, W    x, Y
Allowed substitution hint:    .+ ( x)

Proof of Theorem prdsplusgval
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsbasmpt.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
3 prdsbasmpt.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
4 prdsbasmpt.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 fnex 5939 . . . 4  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
63, 4, 5syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
7 prdsbasmpt.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Y
)
8 fndm 5505 . . . 4  |-  ( R  Fn  I  ->  dom  R  =  I )
93, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
10 prdsplusgval.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
111, 2, 6, 7, 9, 10prdsplusg 14388 . 2  |-  ( ph  ->  .+  =  ( y  e.  B ,  z  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( y `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( z `  x ) ) ) ) )
12 fveq1 5685 . . . . 5  |-  ( y  =  F  ->  (
y `  x )  =  ( F `  x ) )
13 fveq1 5685 . . . . 5  |-  ( z  =  G  ->  (
z `  x )  =  ( G `  x ) )
1412, 13oveqan12d 6105 . . . 4  |-  ( ( y  =  F  /\  z  =  G )  ->  ( ( y `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( z `
 x ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) ) )
1514adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  F  /\  z  =  G ) )  -> 
( ( y `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( z `
 x ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) ) )
1615mpteq2dv 4374 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  F  /\  z  =  G ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( y `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( z `
 x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) ) )
17 prdsplusgval.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
18 prdsplusgval.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
19 mptexg 5942 . . 3  |-  ( I  e.  W  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) )  e.  _V )
204, 19syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( G `
 x ) ) )  e.  _V )
2111, 16, 17, 18, 20ovmpt2d 6213 1  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    e. cmpt 4345   dom cdm 4835    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   X_scprds 14376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-hom 14254  df-cco 14255  df-prds 14378
This theorem is referenced by:  prdsplusgfval  14404  pwsplusgval  14420  xpsadd  14506  prdsplusgcl  15444  prdsidlem  15445  prdsmndd  15446  prdsinvlem  15654  prdscmnd  16334  prdsrngd  16692  prdslmodd  17027  prdstmdd  19669
  Copyright terms: Public domain W3C validator