MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsplusgval Structured version   Unicode version

Theorem prdsplusgval 14977
Description: Value of a componentwise sum in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbasmpt.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbasmpt.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbasmpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsbasmpt.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
prdsplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
prdsplusgval.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
Assertion
Ref Expression
prdsplusgval  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, G    ph, x    x, I    x, V    x, R    x, S    x, W    x, Y
Allowed substitution hint:    .+ ( x)

Proof of Theorem prdsplusgval
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsbasmpt.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
3 prdsbasmpt.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
4 prdsbasmpt.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 fnex 6074 . . . 4  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
63, 4, 5syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
7 prdsbasmpt.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Y
)
8 fndm 5615 . . . 4  |-  ( R  Fn  I  ->  dom  R  =  I )
93, 8syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
10 prdsplusgval.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
111, 2, 6, 7, 9, 10prdsplusg 14962 . 2  |-  ( ph  ->  .+  =  ( y  e.  B ,  z  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( y `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( z `  x ) ) ) ) )
12 fveq1 5802 . . . . 5  |-  ( y  =  F  ->  (
y `  x )  =  ( F `  x ) )
13 fveq1 5802 . . . . 5  |-  ( z  =  G  ->  (
z `  x )  =  ( G `  x ) )
1412, 13oveqan12d 6251 . . . 4  |-  ( ( y  =  F  /\  z  =  G )  ->  ( ( y `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( z `
 x ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) ) )
1514adantl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  F  /\  z  =  G ) )  -> 
( ( y `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( z `
 x ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) ) )
1615mpteq2dv 4479 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  F  /\  z  =  G ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( y `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( z `
 x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) ) )
17 prdsplusgval.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
18 prdsplusgval.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
19 mptexg 6077 . . 3  |-  ( I  e.  W  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) )  e.  _V )
204, 19syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( G `
 x ) ) )  e.  _V )
2111, 16, 17, 18, 20ovmpt2d 6365 1  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   _Vcvv 3056    |-> cmpt 4450   dom cdm 4940    Fn wfn 5518   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Basecbs 14731   +g cplusg 14799   X_scprds 14950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-ixp 7426  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-fz 11642  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-hom 14823  df-cco 14824  df-prds 14952
This theorem is referenced by:  prdsplusgfval  14978  pwsplusgval  14994  xpsadd  15080  prdsplusgcl  16165  prdsidlem  16166  prdsmndd  16167  prdsinvlem  16392  prdscmnd  17081  prdsringd  17471  prdslmodd  17825  prdstmdd  20804
  Copyright terms: Public domain W3C validator