MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsplusgval Structured version   Unicode version

Theorem prdsplusgval 14533
Description: Value of a componentwise sum in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbasmpt.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbasmpt.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbasmpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsbasmpt.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
prdsplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
prdsplusgval.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
Assertion
Ref Expression
prdsplusgval  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, G    ph, x    x, I    x, V    x, R    x, S    x, W    x, Y
Allowed substitution hint:    .+ ( x)

Proof of Theorem prdsplusgval
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsbasmpt.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
3 prdsbasmpt.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
4 prdsbasmpt.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 fnex 6056 . . . 4  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
63, 4, 5syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
7 prdsbasmpt.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Y
)
8 fndm 5621 . . . 4  |-  ( R  Fn  I  ->  dom  R  =  I )
93, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
10 prdsplusgval.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
111, 2, 6, 7, 9, 10prdsplusg 14518 . 2  |-  ( ph  ->  .+  =  ( y  e.  B ,  z  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( y `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( z `  x ) ) ) ) )
12 fveq1 5801 . . . . 5  |-  ( y  =  F  ->  (
y `  x )  =  ( F `  x ) )
13 fveq1 5801 . . . . 5  |-  ( z  =  G  ->  (
z `  x )  =  ( G `  x ) )
1412, 13oveqan12d 6222 . . . 4  |-  ( ( y  =  F  /\  z  =  G )  ->  ( ( y `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( z `
 x ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) ) )
1514adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  F  /\  z  =  G ) )  -> 
( ( y `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( z `
 x ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) ) )
1615mpteq2dv 4490 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  =  F  /\  z  =  G ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( y `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( z `
 x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) ) )
17 prdsplusgval.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
18 prdsplusgval.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
19 mptexg 6059 . . 3  |-  ( I  e.  W  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( F `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) )  e.  _V )
204, 19syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( G `
 x ) ) )  e.  _V )
2111, 16, 17, 18, 20ovmpt2d 6331 1  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    |-> cmpt 4461   dom cdm 4951    Fn wfn 5524   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   X_scprds 14506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-hom 14384  df-cco 14385  df-prds 14508
This theorem is referenced by:  prdsplusgfval  14534  pwsplusgval  14550  xpsadd  14636  prdsplusgcl  15574  prdsidlem  15575  prdsmndd  15576  prdsinvlem  15785  prdscmnd  16467  prdsrngd  16830  prdslmodd  17176  prdstmdd  19829
  Copyright terms: Public domain W3C validator