MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsplusgcl Structured version   Unicode version

Theorem prdsplusgcl 16068
Description: Structure product pointwise sums are closed when the factors are monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsplusgcl.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsplusgcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
prdsplusgcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsplusgcl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsplusgcl.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
prdsplusgcl.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
prdsplusgcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
prdsplusgcl  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  e.  B )

Proof of Theorem prdsplusgcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsplusgcl.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsplusgcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 prdsplusgcl.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsplusgcl.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 prdsplusgcl.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
6 ffn 5639 . . . 4  |-  ( R : I --> Mnd  ->  R  Fn  I )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
8 prdsplusgcl.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
9 prdsplusgcl.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
10 prdsplusgcl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
111, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10prdsplusgval 14880 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) ) )
125ffvelrnda 5933 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  Mnd )
133adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  V )
144adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  W )
157adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  Fn  I )
168adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  B )
17 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
181, 2, 13, 14, 15, 16, 17prdsbasprj 14879 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
199adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G  e.  B )
201, 2, 13, 14, 15, 19, 17prdsbasprj 14879 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
21 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( R `  x
) )  =  (
Base `  ( R `  x ) )
22 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( R `  x
) )  =  ( +g  `  ( R `
 x ) )
2321, 22mndcl 16046 . . . . 5  |-  ( ( ( R `  x
)  e.  Mnd  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  ( R `  x )
)  /\  ( G `  x )  e.  (
Base `  ( R `  x ) ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) )  e.  (
Base `  ( R `  x ) ) )
2412, 18, 20, 23syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
2524ralrimiva 2796 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( G `
 x ) )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
261, 2, 3, 4, 7prdsbasmpt 14877 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) ) )  e.  B  <->  A. x  e.  I 
( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( G `
 x ) )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) ) )
2725, 26mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( G `
 x ) ) )  e.  B )
2811, 27eqeltrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732    |-> cmpt 4425    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   X_scprds 14853   Mndcmnd 16036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-hom 14726  df-cco 14727  df-prds 14855  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038
This theorem is referenced by:  prdsmndd  16070  prdsringd  17374  dsmmacl  18863
  Copyright terms: Public domain W3C validator