MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsplusgcl Structured version   Unicode version

Theorem prdsplusgcl 15572
Description: Structure product pointwise sums are closed when the factors are monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsplusgcl.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsplusgcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
prdsplusgcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsplusgcl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsplusgcl.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
prdsplusgcl.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
prdsplusgcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
prdsplusgcl  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  e.  B )

Proof of Theorem prdsplusgcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsplusgcl.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsplusgcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 prdsplusgcl.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsplusgcl.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 prdsplusgcl.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
6 ffn 5668 . . . 4  |-  ( R : I --> Mnd  ->  R  Fn  I )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
8 prdsplusgcl.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
9 prdsplusgcl.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
10 prdsplusgcl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
111, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10prdsplusgval 14531 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) ) )
125ffvelrnda 5953 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  Mnd )
133adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  V )
144adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  W )
157adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  Fn  I )
168adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  B )
17 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
181, 2, 13, 14, 15, 16, 17prdsbasprj 14530 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
199adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G  e.  B )
201, 2, 13, 14, 15, 19, 17prdsbasprj 14530 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
21 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( R `  x
) )  =  (
Base `  ( R `  x ) )
22 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( R `  x
) )  =  ( +g  `  ( R `
 x ) )
2321, 22mndcl 15540 . . . . 5  |-  ( ( ( R `  x
)  e.  Mnd  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  ( R `  x )
)  /\  ( G `  x )  e.  (
Base `  ( R `  x ) ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) )  e.  (
Base `  ( R `  x ) ) )
2412, 18, 20, 23syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( G `  x ) )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
2524ralrimiva 2830 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( G `
 x ) )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
261, 2, 3, 4, 7prdsbasmpt 14528 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) ) )  e.  B  <->  A. x  e.  I 
( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( G `
 x ) )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) ) )
2725, 26mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( G `
 x ) ) )  e.  B )
2811, 27eqeltrd 2542 1  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799    |-> cmpt 4459    Fn wfn 5522   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   X_scprds 14504   Mndcmnd 15529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-hom 14382  df-cco 14383  df-prds 14506  df-mnd 15535
This theorem is referenced by:  prdsmndd  15574  prdsrngd  16828  dsmmacl  18292
  Copyright terms: Public domain W3C validator