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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > prdsplusg | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Addition in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
prdsbas.p |
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prdsbas.s |
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prdsbas.r |
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prdsbas.b |
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prdsbas.i |
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prdsplusg.b |
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Ref | Expression |
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prdsplusg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | prdsbas.p |
. . 3
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2 | eqid 2462 |
. . 3
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3 | prdsbas.i |
. . 3
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4 | prdsbas.s |
. . . 4
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5 | prdsbas.r |
. . . 4
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6 | prdsbas.b |
. . . 4
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7 | 1, 4, 5, 6, 3 | prdsbas 15404 |
. . 3
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8 | eqidd 2463 |
. . 3
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9 | eqidd 2463 |
. . 3
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10 | eqidd 2463 |
. . 3
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11 | eqidd 2463 |
. . 3
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12 | eqidd 2463 |
. . 3
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13 | eqidd 2463 |
. . 3
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14 | eqidd 2463 |
. . 3
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15 | eqidd 2463 |
. . 3
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16 | eqidd 2463 |
. . 3
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17 | 1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 4, 5 | prdsval 15402 |
. 2
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18 | prdsplusg.b |
. 2
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19 | plusgid 15274 |
. 2
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20 | ovssunirn 6344 |
. . . . . . . . . . 11
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21 | 19 | strfvss 15188 |
. . . . . . . . . . . . 13
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22 | fvssunirn 5911 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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23 | rnss 5082 |
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24 | uniss 4233 |
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25 | 22, 23, 24 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . 13
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26 | 21, 25 | sstri 3453 |
. . . . . . . . . . . 12
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27 | rnss 5082 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | uniss 4233 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | 26, 27, 28 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 20, 29 | sstri 3453 |
. . . . . . . . . 10
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31 | ovex 6343 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 31 | elpw 3969 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 30, 32 | mpbir 214 |
. . . . . . . . 9
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34 | 33 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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35 | eqid 2462 |
. . . . . . . 8
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36 | 34, 35 | fmptd 6069 |
. . . . . . 7
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37 | rnexg 6752 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | uniexg 6615 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 5, 37, 38 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . 10
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40 | rnexg 6752 |
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41 | uniexg 6615 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 39, 40, 41 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
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43 | rnexg 6752 |
. . . . . . . . 9
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44 | uniexg 6615 |
. . . . . . . . 9
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45 | pwexg 4601 |
. . . . . . . . 9
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46 | 42, 43, 44, 45 | 4syl 19 |
. . . . . . . 8
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47 | dmexg 6751 |
. . . . . . . . . 10
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48 | 5, 47 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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49 | 3, 48 | eqeltrrd 2541 |
. . . . . . . 8
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50 | 46, 49 | elmapd 7512 |
. . . . . . 7
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51 | 36, 50 | mpbird 240 |
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52 | 51 | ralrimivw 2815 |
. . . . 5
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53 | 52 | ralrimivw 2815 |
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54 | eqid 2462 |
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55 | 54 | fmpt2 6887 |
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56 | 53, 55 | sylib 201 |
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57 | fvex 5898 |
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58 | 6, 57 | eqeltri 2536 |
. . . . 5
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59 | 58, 58 | xpex 6622 |
. . . 4
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60 | ovex 6343 |
. . . 4
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61 | fex2 6775 |
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62 | 59, 60, 61 | mp3an23 1365 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1680 ax-4 1693 ax-5 1769 ax-6 1816 ax-7 1862 ax-8 1900 ax-9 1907 ax-10 1926 ax-11 1931 ax-12 1944 ax-13 2102 ax-ext 2442 ax-sep 4539 ax-nul 4548 ax-pow 4595 ax-pr 4653 ax-un 6610 ax-cnex 9621 ax-resscn 9622 ax-1cn 9623 ax-icn 9624 ax-addcl 9625 ax-addrcl 9626 ax-mulcl 9627 ax-mulrcl 9628 ax-mulcom 9629 ax-addass 9630 ax-mulass 9631 ax-distr 9632 ax-i2m1 9633 ax-1ne0 9634 ax-1rid 9635 ax-rnegex 9636 ax-rrecex 9637 ax-cnre 9638 ax-pre-lttri 9639 ax-pre-lttrn 9640 ax-pre-ltadd 9641 ax-pre-mulgt0 9642 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1458 df-ex 1675 df-nf 1679 df-sb 1809 df-eu 2314 df-mo 2315 df-clab 2449 df-cleq 2455 df-clel 2458 df-nfc 2592 df-ne 2635 df-nel 2636 df-ral 2754 df-rex 2755 df-reu 2756 df-rab 2758 df-v 3059 df-sbc 3280 df-csb 3376 df-dif 3419 df-un 3421 df-in 3423 df-ss 3430 df-pss 3432 df-nul 3744 df-if 3894 df-pw 3965 df-sn 3981 df-pr 3983 df-tp 3985 df-op 3987 df-uni 4213 df-int 4249 df-iun 4294 df-br 4417 df-opab 4476 df-mpt 4477 df-tr 4512 df-eprel 4764 df-id 4768 df-po 4774 df-so 4775 df-fr 4812 df-we 4814 df-xp 4859 df-rel 4860 df-cnv 4861 df-co 4862 df-dm 4863 df-rn 4864 df-res 4865 df-ima 4866 df-pred 5399 df-ord 5445 df-on 5446 df-lim 5447 df-suc 5448 df-iota 5565 df-fun 5603 df-fn 5604 df-f 5605 df-f1 5606 df-fo 5607 df-f1o 5608 df-fv 5609 df-riota 6277 df-ov 6318 df-oprab 6319 df-mpt2 6320 df-om 6720 df-1st 6820 df-2nd 6821 df-wrecs 7054 df-recs 7116 df-rdg 7154 df-1o 7208 df-oadd 7212 df-er 7389 df-map 7500 df-ixp 7549 df-en 7596 df-dom 7597 df-sdom 7598 df-fin 7599 df-sup 7982 df-pnf 9703 df-mnf 9704 df-xr 9705 df-ltxr 9706 df-le 9707 df-sub 9888 df-neg 9889 df-nn 10638 df-2 10696 df-3 10697 df-4 10698 df-5 10699 df-6 10700 df-7 10701 df-8 10702 df-9 10703 df-10 10704 df-n0 10899 df-z 10967 df-dec 11081 df-uz 11189 df-fz 11814 df-struct 15172 df-ndx 15173 df-slot 15174 df-base 15175 df-plusg 15252 df-mulr 15253 df-sca 15255 df-vsca 15256 df-ip 15257 df-tset 15258 df-ple 15259 df-ds 15261 df-hom 15263 df-cco 15264 df-prds 15395 |
This theorem is referenced by: prdsmulr 15406 prdsvsca 15407 prdsip 15408 prdsle 15409 prdsds 15411 prdstset 15413 prdshom 15414 prdsco 15415 prdsplusgval 15420 prdsmgp 17887 |
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