Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsplusg Structured version   Unicode version

Theorem prdsplusg 14518
 Description: Addition in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p s
prdsbas.s
prdsbas.r
prdsbas.b
prdsbas.i
prdsplusg.b
Assertion
Ref Expression
prdsplusg
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem prdsplusg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3 s
2 eqid 2454 . . 3
3 prdsbas.i . . 3
4 prdsbas.s . . . 4
5 prdsbas.r . . . 4
6 prdsbas.b . . . 4
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 14517 . . 3
8 eqidd 2455 . . 3
9 eqidd 2455 . . 3
10 eqidd 2455 . . 3
11 eqidd 2455 . . 3 g g
12 eqidd 2455 . . 3
13 eqidd 2455 . . 3
14 eqidd 2455 . . 3
15 eqidd 2455 . . 3
16 eqidd 2455 . . 3 comp comp
171, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 4, 5prdsval 14515 . 2 Scalar g TopSet comp comp
18 prdsplusg.b . 2
19 plusgid 14395 . 2 Slot
20 ovssunirn 6229 . . . . . . . . . . 11
2119strfvss 14313 . . . . . . . . . . . . 13
22 fvssunirn 5825 . . . . . . . . . . . . . 14
23 rnss 5179 . . . . . . . . . . . . . 14
24 uniss 4223 . . . . . . . . . . . . . 14
2522, 23, 24mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13
2621, 25sstri 3476 . . . . . . . . . . . 12
27 rnss 5179 . . . . . . . . . . . 12
28 uniss 4223 . . . . . . . . . . . 12
2926, 27, 28mp2b 10 . . . . . . . . . . 11
3020, 29sstri 3476 . . . . . . . . . 10
31 ovex 6228 . . . . . . . . . . 11
3231elpw 3977 . . . . . . . . . 10
3330, 32mpbir 209 . . . . . . . . 9
3433a1i 11 . . . . . . . 8
35 eqid 2454 . . . . . . . 8
3634, 35fmptd 5979 . . . . . . 7
37 rnexg 6623 . . . . . . . . . . 11
38 uniexg 6490 . . . . . . . . . . 11
395, 37, 383syl 20 . . . . . . . . . 10
40 rnexg 6623 . . . . . . . . . 10
41 uniexg 6490 . . . . . . . . . 10
4239, 40, 413syl 20 . . . . . . . . 9
43 rnexg 6623 . . . . . . . . 9
44 uniexg 6490 . . . . . . . . 9
45 pwexg 4587 . . . . . . . . 9
4642, 43, 44, 454syl 21 . . . . . . . 8
47 dmexg 6622 . . . . . . . . . 10
485, 47syl 16 . . . . . . . . 9
493, 48eqeltrrd 2543 . . . . . . . 8
50 elmapg 7340 . . . . . . . 8
5146, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . 7
5236, 51mpbird 232 . . . . . 6
5352ralrimivw 2831 . . . . 5
5453ralrimivw 2831 . . . 4
55 eqid 2454 . . . . 5
5655fmpt2 6754 . . . 4
5754, 56sylib 196 . . 3
58 fvex 5812 . . . . . 6
596, 58eqeltri 2538 . . . . 5
6059, 59xpex 6621 . . . 4
61 ovex 6228 . . . 4
62 fex2 6645 . . . 4
6360, 61, 62mp3an23 1307 . . 3
6457, 63syl 16 . 2
65 snsstp2 4136 . . . 4
66 ssun1 3630 . . . 4 Scalar g
6765, 66sstri 3476 . . 3 Scalar g
68 ssun1 3630 . . 3 Scalar g Scalar g TopSet comp comp
6967, 68sstri 3476 . 2 Scalar g TopSet comp comp
7017, 18, 19, 64, 69prdsvallem 14514 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  wral 2799  cvv 3078   cun 3437   wss 3439  cpw 3971  csn 3988  cpr 3990  ctp 3992  cop 3994  cuni 4202   class class class wbr 4403  copab 4460   cmpt 4461   cxp 4949   cdm 4951   crn 4952   ccom 4955  wf 5525  cfv 5529  (class class class)co 6203   cmpt2 6205  c1st 6688  c2nd 6689   cmap 7327  cixp 7376  csup 7804  cc0 9396  cxr 9531   clt 9532  cnx 14292  cbs 14295   cplusg 14360  cmulr 14361  Scalarcsca 14363  cvsca 14364  cip 14365  TopSetcts 14366  cple 14367  cds 14369   chom 14371  compcco 14372  ctopn 14482  cpt 14499   g cgsu 14501  scprds 14506 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-hom 14384  df-cco 14385  df-prds 14508 This theorem is referenced by:  prdsmulr  14519  prdsvsca  14520  prdsip  14521  prdsle  14522  prdsds  14524  prdstset  14526  prdshom  14527  prdsco  14528  prdsplusgval  14533  prdsmgp  16828
 Copyright terms: Public domain W3C validator