Theorem prdsplusg 15405

Description: Addition in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbas.p	|- P = ( S X_s R )
prdsbas.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbas.r	|- ( ph -> R e. W )
prdsbas.b	|- B = ( Base ` P )
prdsbas.i	|- ( ph -> dom R = I )
prdsplusg.b	|- .+ = ( +g ` P )

Assertion

Ref	Expression
prdsplusg	|- ( ph -> .+ = ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, x, B   ph, f, g, x   f, I, g, x   P, f, g, x   R, f, g, x   S, f, g, x

Allowed substitution hints:   .+ ( x, f, g)   V( x, f, g)   W( x, f, g)

Proof of Theorem prdsplusg

Dummy variables a c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbas.p	. . 3 |- P = ( S X_s R )
2		eqid 2462	. . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3		prdsbas.i	. . 3 |- ( ph -> dom R = I )
4		prdsbas.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
5		prdsbas.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. W )
6		prdsbas.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
7	1, 4, 5, 6, 3	prdsbas 15404	. . 3 |- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )
8		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
9		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
10		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` S ) , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
11		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) )
12		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
13		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } )
14		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) = ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) )
15		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
16		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) = ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) )
17	1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 4, 5	prdsval 15402	. 2 |- ( ph -> P = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
18		prdsplusg.b	. 2 |- .+ = ( +g ` P )
19		plusgid 15274	. 2 |- +g = Slot ( +g ` ndx )
20		ovssunirn 6344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran ( +g ` ( R ` x ) )
21	19	strfvss 15188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` ( R ` x ) ) C_ U. ran ( R ` x )
22		fvssunirn 5911	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R ` x ) C_ U. ran R
23		rnss 5082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R ` x ) C_ U. ran R -> ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R )
24		uniss 4233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R -> U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R )
25	22, 23, 24	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R
26	21, 25	sstri 3453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R
27		rnss 5082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( +g ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R -> ran ( +g ` ( R ` x ) ) C_ ran U. ran U. ran R )
28		uniss 4233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran ( +g ` ( R ` x ) ) C_ ran U. ran U. ran R -> U. ran ( +g ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R )
29	26, 27, 28	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 |- U. ran ( +g ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R
30	20, 29	sstri 3453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R
31		ovex 6343	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. _V
32	31	elpw 3969	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P U. ran U. ran U. ran R <-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R )
33	30, 32	mpbir 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P U. ran U. ran U. ran R
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P U. ran U. ran U. ran R )
35		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
36	34, 35	fmptd 6069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) : I --> ~P U. ran U. ran U. ran R )
37		rnexg 6752	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. W -> ran R e. _V )
38		uniexg 6615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran R e. _V -> U. ran R e. _V )
39	5, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. ran R e. _V )
40		rnexg 6752	. . . . . . . . . 10 |- ( U. ran R e. _V -> ran U. ran R e. _V )
41		uniexg 6615	. . . . . . . . . 10 |- ( ran U. ran R e. _V -> U. ran U. ran R e. _V )
42	39, 40, 41	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U. ran U. ran R e. _V )
43		rnexg 6752	. . . . . . . . 9 |- ( U. ran U. ran R e. _V -> ran U. ran U. ran R e. _V )
44		uniexg 6615	. . . . . . . . 9 |- ( ran U. ran U. ran R e. _V -> U. ran U. ran U. ran R e. _V )
45		pwexg 4601	. . . . . . . . 9 |- ( U. ran U. ran U. ran R e. _V -> ~P U. ran U. ran U. ran R e. _V )
46	42, 43, 44, 45	4syl 19	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ~P U. ran U. ran U. ran R e. _V )
47		dmexg 6751	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. W -> dom R e. _V )
48	5, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom R e. _V )
49	3, 48	eqeltrrd 2541	. . . . . . . 8 |- ( ph -> I e. _V )
50	46, 49	elmapd 7512	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) <-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) : I --> ~P U. ran U. ran U. ran R ) )
51	36, 50	mpbird 240	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
52	51	ralrimivw 2815	. . . . 5 |- ( ph -> A. g e. B ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
53	52	ralrimivw 2815	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. B A. g e. B ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
54		eqid 2462	. . . . 5 |- ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
55	54	fmpt2 6887	. . . 4 |- ( A. f e. B A. g e. B ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) <-> ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( B X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
56	53, 55	sylib 201	. . 3 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( B X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
57		fvex 5898	. . . . . 6 |- ( Base ` P ) e. _V
58	6, 57	eqeltri 2536	. . . . 5 |- B e. _V
59	58, 58	xpex 6622	. . . 4 |- ( B X. B ) e. _V
60		ovex 6343	. . . 4 |- ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) e. _V
61		fex2 6775	. . . 4 |- ( ( ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( B X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) /\ ( B X. B ) e. _V /\ ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) e. _V ) -> ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
62	59, 60, 61	mp3an23 1365	. . 3 |- ( ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( B X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) -> ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
63	56, 62	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
64		snsstp2 4137	. . . 4 |- { <. ( +g ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. }
65		ssun1 3609	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
66	64, 65	sstri 3453	. . 3 |- { <. ( +g ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
67		ssun1 3609	. . 3 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
68	66, 67	sstri 3453	. 2 |- { <. ( +g ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
69	17, 18, 19, 63, 68	prdsvallem 15401	1 |- ( ph -> .+ = ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   _Vcvv 3057   u. cun 3414   C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   {csn 3980   {cpr 3982   {ctp 3984   <.cop 3986   U.cuni 4212   class class class wbr 4416   {copab 4474   |-> cmpt 4475   X. cxp 4851   dom cdm 4853   ran crn 4854   o. ccom 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   |-> cmpt2 6317   1stc1st 6818   2ndc2nd 6819   ^m cmap 7498   X_cixp 7548   supcsup 7980   0cc0 9565   RR*cxr 9700   < clt 9701   ndxcnx 15167   Basecbs 15170   +g cplusg 15239   .rcmulr 15240  Scalarcsca 15242   .scvsca 15243   .icip 15244  TopSetcts 15245   lecple 15246   distcds 15248   Hom chom 15250  compcco 15251   TopOpenctopn 15369   Xt_cpt 15386   gsum_g cgsu 15388   X__scprds 15393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-sup 7982  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-fz 11814  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-ip 15257  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-hom 15263  df-cco 15264  df-prds 15395

This theorem is referenced by:  prdsmulr  15406  prdsvsca  15407  prdsip  15408  prdsle  15409  prdsds  15411  prdstset  15413  prdshom  15414  prdsco  15415  prdsplusgval  15420  prdsmgp  17887