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Theorem prdsplusg 14388
Description: Addition in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p  |-  P  =  ( S X_s R )
prdsbas.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbas.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
prdsbas.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
prdsbas.i  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
prdsplusg.b  |-  .+  =  ( +g  `  P )
Assertion
Ref Expression
prdsplusg  |-  ( ph  ->  .+  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, B    ph, f, g, x    f, I, g, x    P, f, g, x    R, f, g, x    S, f, g, x
Allowed substitution hints:    .+ ( x, f, g)    V( x, f, g)    W( x, f, g)

Proof of Theorem prdsplusg
Dummy variables  a 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3  |-  P  =  ( S X_s R )
2 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 prdsbas.i . . 3  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
4 prdsbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
5 prdsbas.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
6 prdsbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 14387 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
8 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) )  =  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
9 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
10 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
11 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) ) )
12 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
13 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  B  /\  A. x  e.  I  (
f `  x )
( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) } )
14 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
15 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
16 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )  =  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) )
171, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 4, 5prdsval 14385 . 2  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  B  /\  A. x  e.  I  (
f `  x )
( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
18 prdsplusg.b . 2  |-  .+  =  ( +g  `  P )
19 plusgid 14265 . 2  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
20 ovssunirn 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  ( +g  `  ( R `  x )
)
2119strfvss 14184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  ( R `  x
) )  C_  U. ran  ( R `  x )
22 fvssunirn 5708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R `
 x )  C_  U.
ran  R
23 rnss 5063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R `  x ) 
C_  U. ran  R  ->  ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R )
24 uniss 4107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R  ->  U. ran  ( R `
 x )  C_  U.
ran  U. ran  R )
2522, 23, 24mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  ( R `  x ) 
C_  U. ran  U. ran  R
2621, 25sstri 3360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  ( R `  x
) )  C_  U. ran  U.
ran  R
27 rnss 5063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( +g  `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  R  ->  ran  ( +g  `  ( R `  x
) )  C_  ran  U.
ran  U. ran  R )
28 uniss 4107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( +g  `  ( R `  x )
)  C_  ran  U. ran  U.
ran  R  ->  U. ran  ( +g  `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  U.
ran  R )
2926, 27, 28mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ran  ( +g  `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  U.
ran  R
3020, 29sstri 3360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  U. ran  R
31 ovex 6111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
_V
3231elpw 3861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R  <->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) )  C_  U. ran  U.
ran  U. ran  R )
3330, 32mpbir 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R
3433a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R )
35 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) )
3634, 35fmptd 5862 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R )
37 rnexg 6505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  W  ->  ran  R  e.  _V )
38 uniexg 6372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran 
R  e.  _V  ->  U.
ran  R  e.  _V )
395, 37, 383syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ran  R  e. 
_V )
40 rnexg 6505 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  R  e.  _V  ->  ran  U. ran  R  e.  _V )
41 uniexg 6372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
4239, 40, 413syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
43 rnexg 6505 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  U. ran  R  e. 
_V  ->  ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
44 uniexg 6372 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V )
45 pwexg 4471 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V  ->  ~P U.
ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
4642, 43, 44, 454syl 21 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V )
47 dmexg 6504 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  W  ->  dom  R  e.  _V )
485, 47syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  R  e.  _V )
493, 48eqeltrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
50 elmapg 7219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V  /\  I  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R ) )
5146, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) )  e.  ( ~P U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R ) )
5236, 51mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  e.  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5352ralrimivw 2795 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. g  e.  B  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  e.  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5453ralrimivw 2795 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  e.  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
55 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )
5655fmpt2 6636 . . . 4  |-  ( A. f  e.  B  A. g  e.  B  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5754, 56sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I ) )
58 fvex 5696 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  e.  _V
596, 58eqeltri 2508 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
6059, 59xpex 6503 . . . 4  |-  ( B  X.  B )  e. 
_V
61 ovex 6111 . . . 4  |-  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e.  _V
62 fex2 6527 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I )  /\  ( B  X.  B )  e. 
_V  /\  ( ~P U.
ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e. 
_V )  ->  (
f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  e.  _V )
6360, 61, 62mp3an23 1306 . . 3  |-  ( ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  ->  (
f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  e.  _V )
6457, 63syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) )  e.  _V )
65 snsstp2 4020 . . . 4  |-  { <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( +g  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }  C_  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }
66 ssun1 3514 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
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g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
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Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
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6967, 68sstri 3360 . 2  |-  { <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
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<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
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f ,  g } 
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x  e.  I  |->  ( ( f `  x
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f `  x )
( Hom  `  ( R `
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(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) )
7017, 18, 19, 64, 69prdsvallem 14384 1  |-  ( ph  ->  .+  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   _Vcvv 2967    u. cun 3321    C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   {csn 3872   {cpr 3874   {ctp 3876   <.cop 3878   U.cuni 4086   class class class wbr 4287   {copab 4344    e. cmpt 4345    X. cxp 4833   dom cdm 4835   ran crn 4836    o. ccom 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   1stc1st 6570   2ndc2nd 6571    ^m cmap 7206   X_cixp 7255   supcsup 7682   0cc0 9274   RR*cxr 9409    < clt 9410   ndxcnx 14163   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   .rcmulr 14231  Scalarcsca 14233   .scvsca 14234   .icip 14235  TopSetcts 14236   lecple 14237   distcds 14239   Hom chom 14241  compcco 14242   TopOpenctopn 14352   Xt_cpt 14369    gsumg cgsu 14371   X_scprds 14376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-hom 14254  df-cco 14255  df-prds 14378
This theorem is referenced by:  prdsmulr  14389  prdsvsca  14390  prdsip  14391  prdsle  14392  prdsds  14394  prdstset  14396  prdshom  14397  prdsco  14398  prdsplusgval  14403  prdsmgp  16690
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