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Theorem prdspjmhm 15609
Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdspjmhm.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdspjmhm.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdspjmhm.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
prdspjmhm.s  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
prdspjmhm.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
prdspjmhm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  I )
Assertion
Ref Expression
prdspjmhm  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  ( R `  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x    x, R    x, Y
Allowed substitution hints:    S( x)    I( x)    V( x)    X( x)

Proof of Theorem prdspjmhm
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdspjmhm.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdspjmhm.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
3 prdspjmhm.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
4 prdspjmhm.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
51, 2, 3, 4prdsmndd 15568 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
6 prdspjmhm.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  I )
74, 6ffvelrnd 5948 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R `  A
)  e.  Mnd )
85, 7jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  Mnd  /\  ( R `  A
)  e.  Mnd )
)
9 prdspjmhm.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
103adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  S  e.  X )
112adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  I  e.  V )
12 ffn 5662 . . . . . . 7  |-  ( R : I --> Mnd  ->  R  Fn  I )
134, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
1413adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  R  Fn  I )
15 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
166adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A  e.  I )
171, 9, 10, 11, 14, 15, 16prdsbasprj 14524 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x `  A )  e.  ( Base `  ( R `  A )
) )
18 eqid 2452 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) )
1917, 18fmptd 5971 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) : B --> ( Base `  ( R `  A ) ) )
203adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  S  e.  X )
212adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  I  e.  V )
2213adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  R  Fn  I )
23 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
24 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
z  e.  B )
25 eqid 2452 . . . . . 6  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
266adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  ->  A  e.  I )
271, 9, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26prdsplusgfval 14526 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( y ( +g  `  Y ) z ) `  A
)  =  ( ( y `  A ) ( +g  `  ( R `  A )
) ( z `  A ) ) )
289, 25mndcl 15534 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  Y ) z )  e.  B )
29283expb 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
y ( +g  `  Y
) z )  e.  B )
305, 29sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y ( +g  `  Y ) z )  e.  B )
31 fveq1 5793 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  Y ) z )  ->  (
x `  A )  =  ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  A ) )
32 fvex 5804 . . . . . . 7  |-  ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  A )  e.  _V
3331, 18, 32fvmpt 5878 . . . . . 6  |-  ( ( y ( +g  `  Y
) z )  e.  B  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  A ) )
3430, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( y ( +g  `  Y
) z ) `  A ) )
35 fveq1 5793 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x `  A )  =  ( y `  A ) )
36 fvex 5804 . . . . . . . 8  |-  ( y `
 A )  e. 
_V
3735, 18, 36fvmpt 5878 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  y
)  =  ( y `
 A ) )
38 fveq1 5793 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x `  A )  =  ( z `  A ) )
39 fvex 5804 . . . . . . . 8  |-  ( z `
 A )  e. 
_V
4038, 18, 39fvmpt 5878 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  z
)  =  ( z `
 A ) )
4137, 40oveqan12d 6214 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 y ) ( +g  `  ( R `
 A ) ) ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  z ) )  =  ( ( y `  A ) ( +g  `  ( R `  A
) ) ( z `
 A ) ) )
4241adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 y ) ( +g  `  ( R `
 A ) ) ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  z ) )  =  ( ( y `  A ) ( +g  `  ( R `  A
) ) ( z `
 A ) ) )
4327, 34, 423eqtr4d 2503 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  y
) ( +g  `  ( R `  A )
) ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 z ) ) )
4443ralrimivva 2908 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y ) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  y
) ( +g  `  ( R `  A )
) ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 z ) ) )
45 eqid 2452 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
469, 45mndidcl 15553 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Mnd  ->  ( 0g `  Y )  e.  B )
47 fveq1 5793 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  Y )  ->  (
x `  A )  =  ( ( 0g
`  Y ) `  A ) )
48 fvex 5804 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  Y ) `
 A )  e. 
_V
4947, 18, 48fvmpt 5878 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  Y )  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( ( 0g
`  Y ) `  A ) )
505, 46, 493syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( ( 0g `  Y ) `
 A ) )
511, 2, 3, 4prds0g 15569 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( 0g
`  Y ) )
5251fveq1d 5796 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0g  o.  R ) `  A
)  =  ( ( 0g `  Y ) `
 A ) )
53 fvco3 5872 . . . . 5  |-  ( ( R : I --> Mnd  /\  A  e.  I )  ->  ( ( 0g  o.  R ) `  A
)  =  ( 0g
`  ( R `  A ) ) )
544, 6, 53syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0g  o.  R ) `  A
)  =  ( 0g
`  ( R `  A ) ) )
5550, 52, 543eqtr2d 2499 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g
`  ( R `  A ) ) )
5619, 44, 553jca 1168 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) : B --> ( Base `  ( R `  A )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  y ) ( +g  `  ( R `  A )
) ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 z ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g `  ( R `  A )
) ) )
57 eqid 2452 . . 3  |-  ( Base `  ( R `  A
) )  =  (
Base `  ( R `  A ) )
58 eqid 2452 . . 3  |-  ( +g  `  ( R `  A
) )  =  ( +g  `  ( R `
 A ) )
59 eqid 2452 . . 3  |-  ( 0g
`  ( R `  A ) )  =  ( 0g `  ( R `  A )
)
609, 57, 25, 58, 45, 59ismhm 15580 . 2  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) )  e.  ( Y MndHom 
( R `  A
) )  <->  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( R `  A )  e.  Mnd )  /\  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) : B --> ( Base `  ( R `  A ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  (
y ( +g  `  Y
) z ) )  =  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  y ) ( +g  `  ( R `  A )
) ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 z ) )  /\  ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g `  ( R `  A )
) ) ) )
618, 56, 60sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  ( R `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796    |-> cmpt 4453    o. ccom 4947    Fn wfn 5516   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Basecbs 14287   +g cplusg 14352   0gc0g 14492   X_scprds 14498   Mndcmnd 15523   MndHom cmhm 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-hom 14376  df-cco 14377  df-0g 14494  df-prds 14500  df-mnd 15529  df-mhm 15578
This theorem is referenced by:  pwspjmhm  15610  prdsgsum  16588  prdsgsumOLD  16589
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