MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmulrcl Structured version   Unicode version

Theorem prdsmulrcl 17580
Description: A structure product of rings has closed binary operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmulrcl.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsmulrcl.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsmulrcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
prdsmulrcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsmulrcl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsmulrcl.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
prdsmulrcl.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
prdsmulrcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
prdsmulrcl  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  e.  B )

Proof of Theorem prdsmulrcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmulrcl.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsmulrcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 prdsmulrcl.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsmulrcl.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 prdsmulrcl.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
6 ffn 5714 . . . 4  |-  ( R : I --> Ring  ->  R  Fn  I )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
8 prdsmulrcl.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
9 prdsmulrcl.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
10 prdsmulrcl.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
111, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10prdsmulrval 15089 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( G `  x ) ) ) )
125ffvelrnda 6009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  Ring )
133adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  V )
144adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  W )
157adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  Fn  I )
168adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  F  e.  B )
17 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
181, 2, 13, 14, 15, 16, 17prdsbasprj 15086 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
199adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  G  e.  B )
201, 2, 13, 14, 15, 19, 17prdsbasprj 15086 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
21 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( R `  x
) )  =  (
Base `  ( R `  x ) )
22 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( .r
`  ( R `  x ) )  =  ( .r `  ( R `  x )
)
2321, 22ringcl 17532 . . . . 5  |-  ( ( ( R `  x
)  e.  Ring  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  ( R `  x )
)  /\  ( G `  x )  e.  (
Base `  ( R `  x ) ) )  ->  ( ( F `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) )  e.  (
Base `  ( R `  x ) ) )
2412, 18, 20, 23syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( G `  x ) )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )
2524ralrimiva 2818 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( ( F `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) )  e.  ( Base `  ( R `  x
) ) )
261, 2, 3, 4, 7prdsbasmpt 15084 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( G `  x
) ) )  e.  B  <->  A. x  e.  I 
( ( F `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) )  e.  ( Base `  ( R `  x
) ) ) )
2725, 26mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )  e.  B
)
2811, 27eqeltrd 2490 1  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754    |-> cmpt 4453    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   .rcmulr 14910   X_scprds 15060   Ringcrg 17518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-hom 14933  df-cco 14934  df-prds 15062  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mgp 17462  df-ring 17520
This theorem is referenced by:  prdsringd  17581
  Copyright terms: Public domain W3C validator