Theorem prdsmulr 14730

Description: Multiplication in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbas.p	|- P = ( S X_s R )
prdsbas.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbas.r	|- ( ph -> R e. W )
prdsbas.b	|- B = ( Base ` P )
prdsbas.i	|- ( ph -> dom R = I )
prdsmulr.t	|- .x. = ( .r ` P )

Assertion

Ref	Expression
prdsmulr	|- ( ph -> .x. = ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, x, B   ph, f, g, x   f, I, g, x   P, f, g, x   R, f, g, x   S, f, g, x

Allowed substitution hints:   .x. ( x, f, g)   V( x, f, g)   W( x, f, g)

Proof of Theorem prdsmulr

Dummy variables a c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbas.p	. . 3 |- P = ( S X_s R )
2		eqid 2441	. . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3		prdsbas.i	. . 3 |- ( ph -> dom R = I )
4		prdsbas.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
5		prdsbas.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. W )
6		prdsbas.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
7	1, 4, 5, 6, 3	prdsbas 14728	. . 3 |- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )
8		eqid 2441	. . . 4 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
9	1, 4, 5, 6, 3, 8	prdsplusg 14729	. . 3 |- ( ph -> ( +g ` P ) = ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
10		eqidd 2442	. . 3 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
11		eqidd 2442	. . 3 |- ( ph -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` S ) , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
12		eqidd 2442	. . 3 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) )
13		eqidd 2442	. . 3 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
14		eqidd 2442	. . 3 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } )
15		eqidd 2442	. . 3 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) = ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) )
16		eqidd 2442	. . 3 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
17		eqidd 2442	. . 3 |- ( ph -> ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) = ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) )
18	1, 2, 3, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 4, 5	prdsval 14726	. 2 |- ( ph -> P = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
19		prdsmulr.t	. 2 |- .x. = ( .r ` P )
20		mulrid 14617	. 2 |- .r = Slot ( .r ` ndx )
21		ovssunirn 6307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran ( .r ` ( R ` x ) )
22	20	strfvss 14524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .r ` ( R ` x ) ) C_ U. ran ( R ` x )
23		fvssunirn 5876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R ` x ) C_ U. ran R
24		rnss 5218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R ` x ) C_ U. ran R -> ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R )
25		uniss 4252	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R -> U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R )
26	23, 24, 25	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R
27	22, 26	sstri 3496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R
28		rnss 5218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( .r ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R -> ran ( .r ` ( R ` x ) ) C_ ran U. ran U. ran R )
29		uniss 4252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran ( .r ` ( R ` x ) ) C_ ran U. ran U. ran R -> U. ran ( .r ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R )
30	27, 28, 29	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 |- U. ran ( .r ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R
31	21, 30	sstri 3496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R
32		ovex 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. _V
33	32	elpw 4000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P U. ran U. ran U. ran R <-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R )
34	31, 33	mpbir 209	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P U. ran U. ran U. ran R
35	34	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P U. ran U. ran U. ran R )
36		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
37	35, 36	fmptd 6037	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) : I --> ~P U. ran U. ran U. ran R )
38		rnexg 6714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. W -> ran R e. _V )
39		uniexg 6579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran R e. _V -> U. ran R e. _V )
40	5, 38, 39	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U. ran R e. _V )
41		rnexg 6714	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. ran R e. _V -> ran U. ran R e. _V )
42		uniexg 6579	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran U. ran R e. _V -> U. ran U. ran R e. _V )
43	40, 41, 42	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. ran U. ran R e. _V )
44		rnexg 6714	. . . . . . . . . 10 |- ( U. ran U. ran R e. _V -> ran U. ran U. ran R e. _V )
45		uniexg 6579	. . . . . . . . . 10 |- ( ran U. ran U. ran R e. _V -> U. ran U. ran U. ran R e. _V )
46	43, 44, 45	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U. ran U. ran U. ran R e. _V )
47		pwexg 4618	. . . . . . . . 9 |- ( U. ran U. ran U. ran R e. _V -> ~P U. ran U. ran U. ran R e. _V )
48	46, 47	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ~P U. ran U. ran U. ran R e. _V )
49		dmexg 6713	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. W -> dom R e. _V )
50	5, 49	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom R e. _V )
51	3, 50	eqeltrrd 2530	. . . . . . . 8 |- ( ph -> I e. _V )
52		elmapg 7432	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P U. ran U. ran U. ran R e. _V /\ I e. _V ) -> ( ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) <-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) : I --> ~P U. ran U. ran U. ran R ) )
53	48, 51, 52	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) <-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) : I --> ~P U. ran U. ran U. ran R ) )
54	37, 53	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
55	54	ralrimivw 2856	. . . . 5 |- ( ph -> A. g e. B ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
56	55	ralrimivw 2856	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. B A. g e. B ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
57		eqid 2441	. . . . 5 |- ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
58	57	fmpt2 6849	. . . 4 |- ( A. f e. B A. g e. B ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) <-> ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( B X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
59	56, 58	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( B X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
60		fvex 5863	. . . . . 6 |- ( Base ` P ) e. _V
61	6, 60	eqeltri 2525	. . . . 5 |- B e. _V
62	61, 61	xpex 6586	. . . 4 |- ( B X. B ) e. _V
63		ovex 6306	. . . 4 |- ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) e. _V
64		fex2 6737	. . . 4 |- ( ( ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( B X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) /\ ( B X. B ) e. _V /\ ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) e. _V ) -> ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
65	62, 63, 64	mp3an23 1315	. . 3 |- ( ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( B X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) -> ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
66	59, 65	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
67		snsstp3 4165	. . . 4 |- { <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. }
68		ssun1 3650	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
69	67, 68	sstri 3496	. . 3 |- { <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
70		ssun1 3650	. . 3 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
71	69, 70	sstri 3496	. 2 |- { <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
72	18, 19, 20, 66, 71	prdsvallem 14725	1 |- ( ph -> .x. = ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1381   e. wcel 1802   A.wral 2791   _Vcvv 3093   u. cun 3457   C_ wss 3459   ~Pcpw 3994   {csn 4011   {cpr 4013   {ctp 4015   <.cop 4017   U.cuni 4231   class class class wbr 4434   {copab 4491   |-> cmpt 4492   X. cxp 4984   dom cdm 4986   ran crn 4987   o. ccom 4990   -->wf 5571   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   |-> cmpt2 6280   1stc1st 6780   2ndc2nd 6781   ^m cmap 7419   X_cixp 7468   supcsup 7899   0cc0 9492   RR*cxr 9627   < clt 9628   ndxcnx 14503   Basecbs 14506   +g cplusg 14571   .rcmulr 14572  Scalarcsca 14574   .scvsca 14575   .icip 14576  TopSetcts 14577   lecple 14578   distcds 14580   Hom chom 14582  compcco 14583   TopOpenctopn 14693   Xt_cpt 14710   gsum_g cgsu 14712   X__scprds 14717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-oadd 7133  df-er 7310  df-map 7421  df-ixp 7469  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-sup 7900  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-uz 11088  df-fz 11679  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-hom 14595  df-cco 14596  df-prds 14719

This theorem is referenced by:  prdsvsca  14731  prdsle  14733  prdsds  14735  prdstset  14737  prdshom  14738  prdsco  14739  prdsmulrval  14746  prdsmgp  17130