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Theorem prdsmulr 14885
Description: Multiplication in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p  |-  P  =  ( S X_s R )
prdsbas.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbas.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
prdsbas.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
prdsbas.i  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
prdsmulr.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
Assertion
Ref Expression
prdsmulr  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, B    ph, f, g, x    f, I, g, x    P, f, g, x    R, f, g, x    S, f, g, x
Allowed substitution hints:    .x. ( x, f, g)    V( x, f, g)    W( x, f, g)

Proof of Theorem prdsmulr
Dummy variables  a 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3  |-  P  =  ( S X_s R )
2 eqid 2392 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 prdsbas.i . . 3  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
4 prdsbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
5 prdsbas.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
6 prdsbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 14883 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
8 eqid 2392 . . . 4  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
91, 4, 5, 6, 3, 8prdsplusg 14884 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +g  `  P
)  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
10 eqidd 2393 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
11 eqidd 2393 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  (
Base `  S ) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
12 eqidd 2393 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) ) )
13 eqidd 2393 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
14 eqidd 2393 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  B  /\  A. x  e.  I  (
f `  x )
( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) } )
15 eqidd 2393 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
16 eqidd 2393 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
17 eqidd 2393 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )  =  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) )
181, 2, 3, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 4, 5prdsval 14881 . 2  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .i
`  ndx ) ,  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  B  /\  A. x  e.  I  (
f `  x )
( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
19 prdsmulr.t . 2  |-  .x.  =  ( .r `  P )
20 mulrid 14771 . 2  |-  .r  = Slot  ( .r `  ndx )
21 ovssunirn 6243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  ( .r `  ( R `  x ) )
2220strfvss 14671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  ( R `  x ) )  C_  U.
ran  ( R `  x )
23 fvssunirn 5810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R `
 x )  C_  U.
ran  R
24 rnss 5157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R `  x ) 
C_  U. ran  R  ->  ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R )
25 uniss 4197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R  ->  U. ran  ( R `
 x )  C_  U.
ran  U. ran  R )
2623, 24, 25mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  ( R `  x ) 
C_  U. ran  U. ran  R
2722, 26sstri 3439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  ( R `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  R
28 rnss 5157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( .r `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  R  ->  ran  ( .r `  ( R `  x
) )  C_  ran  U.
ran  U. ran  R )
29 uniss 4197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( .r `  ( R `  x )
)  C_  ran  U. ran  U.
ran  R  ->  U. ran  ( .r `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  U.
ran  R )
3027, 28, 29mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ran  ( .r `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  U.
ran  R
3121, 30sstri 3439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  U. ran  R
32 ovex 6242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
_V
3332elpw 3946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R  <->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) )  C_  U. ran  U.
ran  U. ran  R )
3431, 33mpbir 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R
3534a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R )
36 eqid 2392 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) )
3735, 36fmptd 5970 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R )
38 rnexg 6649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  W  ->  ran  R  e.  _V )
39 uniexg 6514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
R  e.  _V  ->  U.
ran  R  e.  _V )
405, 38, 393syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ran  R  e. 
_V )
41 rnexg 6649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  R  e.  _V  ->  ran  U. ran  R  e.  _V )
42 uniexg 6514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
4340, 41, 423syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
44 rnexg 6649 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  U. ran  R  e. 
_V  ->  ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
45 uniexg 6514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V )
4643, 44, 453syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. ran  U. ran  U.
ran  R  e.  _V )
47 pwexg 4562 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V  ->  ~P U.
ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V )
49 dmexg 6648 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  W  ->  dom  R  e.  _V )
505, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  R  e.  _V )
513, 50eqeltrrd 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
5248, 51elmapd 7370 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) )  e.  ( ~P U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R ) )
5337, 52mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5453ralrimivw 2807 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. g  e.  B  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5554ralrimivw 2807 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
56 eqid 2392 . . . . 5  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )
5756fmpt2 6784 . . . 4  |-  ( A. f  e.  B  A. g  e.  B  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5855, 57sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) : ( B  X.  B
) --> ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
59 fvex 5797 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  e.  _V
606, 59eqeltri 2476 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
6160, 60xpex 6521 . . . 4  |-  ( B  X.  B )  e. 
_V
62 ovex 6242 . . . 4  |-  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e.  _V
63 fex2 6672 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) : ( B  X.  B
) --> ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  /\  ( B  X.  B
)  e.  _V  /\  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e.  _V )  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )  e.  _V )
6461, 62, 63mp3an23 1314 . . 3  |-  ( ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  ->  (
f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( .r `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  e.  _V )
6558, 64syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  e. 
_V )
66 snsstp3 4110 . . . 4  |-  { <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) ( .r `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }  C_  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P
) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }
67 ssun1 3594 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P
) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  C_  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P
) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. ,  <. ( .i
`  ndx ) ,  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )
6866, 67sstri 3439 . . 3  |-  { <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
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>. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
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>. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
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 x ) ) ( g `  x
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>. } )
69 ssun1 3594 . . 3  |-  ( {
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>. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
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 x ) ) ( g `  x
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( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P
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>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
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f `  x )
( Hom  `  ( R `
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(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) )
7068, 69sstri 3439 . 2  |-  { <. ( .r `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
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>. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  ( Base `  S
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f ,  g } 
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f `  x )
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x  e.  I  |->  ( ( f `  x
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f `  x )
( Hom  `  ( R `
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(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) )
7118, 19, 20, 65, 70prdsvallem 14880 1  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   A.wral 2742   _Vcvv 3047    u. cun 3400    C_ wss 3402   ~Pcpw 3940   {csn 3957   {cpr 3959   {ctp 3961   <.cop 3963   U.cuni 4176   class class class wbr 4380   {copab 4437    |-> cmpt 4438    X. cxp 4924   dom cdm 4926   ran crn 4927    o. ccom 4930   -->wf 5505   ` cfv 5509  (class class class)co 6214    |-> cmpt2 6216   1stc1st 6715   2ndc2nd 6716    ^m cmap 7356   X_cixp 7406   supcsup 7833   0cc0 9421   RR*cxr 9556    < clt 9557   ndxcnx 14650   Basecbs 14653   +g cplusg 14721   .rcmulr 14722  Scalarcsca 14724   .scvsca 14725   .icip 14726  TopSetcts 14727   lecple 14728   distcds 14730   Hom chom 14732  compcco 14733   TopOpenctopn 14848   Xt_cpt 14865    gsumg cgsu 14867   X_scprds 14872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-1o 7066  df-oadd 7070  df-er 7247  df-map 7358  df-ixp 7407  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-sup 7834  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-4 10531  df-5 10532  df-6 10533  df-7 10534  df-8 10535  df-9 10536  df-10 10537  df-n0 10731  df-z 10800  df-dec 10914  df-uz 11020  df-fz 11612  df-struct 14655  df-ndx 14656  df-slot 14657  df-base 14658  df-plusg 14734  df-mulr 14735  df-sca 14737  df-vsca 14738  df-ip 14739  df-tset 14740  df-ple 14741  df-ds 14743  df-hom 14745  df-cco 14746  df-prds 14874
This theorem is referenced by:  prdsvsca  14886  prdsle  14888  prdsds  14890  prdstset  14892  prdshom  14893  prdsco  14894  prdsmulrval  14901  prdsmgp  17391
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