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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > prdsmulr | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Multiplication in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
prdsbas.p |
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prdsbas.s |
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prdsbas.r |
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prdsbas.b |
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prdsbas.i |
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prdsmulr.t |
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Ref | Expression |
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prdsmulr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | prdsbas.p |
. . 3
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2 | eqid 2461 |
. . 3
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3 | prdsbas.i |
. . 3
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4 | prdsbas.s |
. . . 4
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5 | prdsbas.r |
. . . 4
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6 | prdsbas.b |
. . . 4
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7 | 1, 4, 5, 6, 3 | prdsbas 15403 |
. . 3
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8 | eqid 2461 |
. . . 4
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9 | 1, 4, 5, 6, 3, 8 | prdsplusg 15404 |
. . 3
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10 | eqidd 2462 |
. . 3
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11 | eqidd 2462 |
. . 3
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12 | eqidd 2462 |
. . 3
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13 | eqidd 2462 |
. . 3
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14 | eqidd 2462 |
. . 3
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15 | eqidd 2462 |
. . 3
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16 | eqidd 2462 |
. . 3
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17 | eqidd 2462 |
. . 3
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18 | 1, 2, 3, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 4, 5 | prdsval 15401 |
. 2
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19 | prdsmulr.t |
. 2
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20 | mulrid 15291 |
. 2
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21 | ovssunirn 6343 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 20 | strfvss 15187 |
. . . . . . . . . . . . 13
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23 | fvssunirn 5910 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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24 | rnss 5081 |
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25 | uniss 4232 |
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26 | 23, 24, 25 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . 13
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27 | 22, 26 | sstri 3452 |
. . . . . . . . . . . 12
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28 | rnss 5081 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | uniss 4232 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 27, 28, 29 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 21, 30 | sstri 3452 |
. . . . . . . . . 10
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32 | ovex 6342 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 32 | elpw 3968 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 31, 33 | mpbir 214 |
. . . . . . . . 9
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35 | 34 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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36 | eqid 2461 |
. . . . . . . 8
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37 | 35, 36 | fmptd 6068 |
. . . . . . 7
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38 | rnexg 6751 |
. . . . . . . . . . . 12
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39 | uniexg 6614 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 5, 38, 39 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | rnexg 6751 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | uniexg 6614 |
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43 | 40, 41, 42 | 3syl 18 |
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44 | rnexg 6751 |
. . . . . . . . . 10
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45 | uniexg 6614 |
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46 | 43, 44, 45 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
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47 | pwexg 4600 |
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. . . . . . . 8
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49 | dmexg 6750 |
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50 | 5, 49 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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51 | 3, 50 | eqeltrrd 2540 |
. . . . . . . 8
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52 | 48, 51 | elmapd 7511 |
. . . . . . 7
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53 | 37, 52 | mpbird 240 |
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54 | 53 | ralrimivw 2814 |
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55 | 54 | ralrimivw 2814 |
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56 | eqid 2461 |
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59 | fvex 5897 |
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60 | 6, 59 | eqeltri 2535 |
. . . . 5
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61 | 60, 60 | xpex 6621 |
. . . 4
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62 | ovex 6342 |
. . . 4
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70 | 68, 69 | sstri 3452 |
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71 | 18, 19, 20, 65, 70 | prdsvallem 15400 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1679 ax-4 1692 ax-5 1768 ax-6 1815 ax-7 1861 ax-8 1899 ax-9 1906 ax-10 1925 ax-11 1930 ax-12 1943 ax-13 2101 ax-ext 2441 ax-sep 4538 ax-nul 4547 ax-pow 4594 ax-pr 4652 ax-un 6609 ax-cnex 9620 ax-resscn 9621 ax-1cn 9622 ax-icn 9623 ax-addcl 9624 ax-addrcl 9625 ax-mulcl 9626 ax-mulrcl 9627 ax-mulcom 9628 ax-addass 9629 ax-mulass 9630 ax-distr 9631 ax-i2m1 9632 ax-1ne0 9633 ax-1rid 9634 ax-rnegex 9635 ax-rrecex 9636 ax-cnre 9637 ax-pre-lttri 9638 ax-pre-lttrn 9639 ax-pre-ltadd 9640 ax-pre-mulgt0 9641 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1457 df-ex 1674 df-nf 1678 df-sb 1808 df-eu 2313 df-mo 2314 df-clab 2448 df-cleq 2454 df-clel 2457 df-nfc 2591 df-ne 2634 df-nel 2635 df-ral 2753 df-rex 2754 df-reu 2755 df-rab 2757 df-v 3058 df-sbc 3279 df-csb 3375 df-dif 3418 df-un 3420 df-in 3422 df-ss 3429 df-pss 3431 df-nul 3743 df-if 3893 df-pw 3964 df-sn 3980 df-pr 3982 df-tp 3984 df-op 3986 df-uni 4212 df-int 4248 df-iun 4293 df-br 4416 df-opab 4475 df-mpt 4476 df-tr 4511 df-eprel 4763 df-id 4767 df-po 4773 df-so 4774 df-fr 4811 df-we 4813 df-xp 4858 df-rel 4859 df-cnv 4860 df-co 4861 df-dm 4862 df-rn 4863 df-res 4864 df-ima 4865 df-pred 5398 df-ord 5444 df-on 5445 df-lim 5446 df-suc 5447 df-iota 5564 df-fun 5602 df-fn 5603 df-f 5604 df-f1 5605 df-fo 5606 df-f1o 5607 df-fv 5608 df-riota 6276 df-ov 6317 df-oprab 6318 df-mpt2 6319 df-om 6719 df-1st 6819 df-2nd 6820 df-wrecs 7053 df-recs 7115 df-rdg 7153 df-1o 7207 df-oadd 7211 df-er 7388 df-map 7499 df-ixp 7548 df-en 7595 df-dom 7596 df-sdom 7597 df-fin 7598 df-sup 7981 df-pnf 9702 df-mnf 9703 df-xr 9704 df-ltxr 9705 df-le 9706 df-sub 9887 df-neg 9888 df-nn 10637 df-2 10695 df-3 10696 df-4 10697 df-5 10698 df-6 10699 df-7 10700 df-8 10701 df-9 10702 df-10 10703 df-n0 10898 df-z 10966 df-dec 11080 df-uz 11188 df-fz 11813 df-struct 15171 df-ndx 15172 df-slot 15173 df-base 15174 df-plusg 15251 df-mulr 15252 df-sca 15254 df-vsca 15255 df-ip 15256 df-tset 15257 df-ple 15258 df-ds 15260 df-hom 15262 df-cco 15263 df-prds 15394 |
This theorem is referenced by: prdsvsca 15406 prdsle 15408 prdsds 15410 prdstset 15412 prdshom 15413 prdsco 15414 prdsmulrval 15421 prdsmgp 17886 |
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