Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmulr Structured version   Unicode version

Theorem prdsmulr 14714
 Description: Multiplication in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p s
prdsbas.s
prdsbas.r
prdsbas.b
prdsbas.i
prdsmulr.t
Assertion
Ref Expression
prdsmulr
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem prdsmulr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3 s
2 eqid 2467 . . 3
3 prdsbas.i . . 3
4 prdsbas.s . . . 4
5 prdsbas.r . . . 4
6 prdsbas.b . . . 4
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 14712 . . 3
8 eqid 2467 . . . 4
91, 4, 5, 6, 3, 8prdsplusg 14713 . . 3
10 eqidd 2468 . . 3
11 eqidd 2468 . . 3
12 eqidd 2468 . . 3 g g
13 eqidd 2468 . . 3
14 eqidd 2468 . . 3
15 eqidd 2468 . . 3
16 eqidd 2468 . . 3
17 eqidd 2468 . . 3 comp comp
181, 2, 3, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 4, 5prdsval 14710 . 2 Scalar g TopSet comp comp
19 prdsmulr.t . 2
20 mulrid 14601 . 2 Slot
21 ovssunirn 6310 . . . . . . . . . . 11
2220strfvss 14508 . . . . . . . . . . . . 13
23 fvssunirn 5889 . . . . . . . . . . . . . 14
24 rnss 5231 . . . . . . . . . . . . . 14
25 uniss 4266 . . . . . . . . . . . . . 14
2623, 24, 25mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13
2722, 26sstri 3513 . . . . . . . . . . . 12
28 rnss 5231 . . . . . . . . . . . 12
29 uniss 4266 . . . . . . . . . . . 12
3027, 28, 29mp2b 10 . . . . . . . . . . 11
3121, 30sstri 3513 . . . . . . . . . 10
32 ovex 6309 . . . . . . . . . . 11
3332elpw 4016 . . . . . . . . . 10
3431, 33mpbir 209 . . . . . . . . 9
3534a1i 11 . . . . . . . 8
36 eqid 2467 . . . . . . . 8
3735, 36fmptd 6045 . . . . . . 7
38 rnexg 6716 . . . . . . . . . . . 12
39 uniexg 6581 . . . . . . . . . . . 12
405, 38, 393syl 20 . . . . . . . . . . 11
41 rnexg 6716 . . . . . . . . . . 11
42 uniexg 6581 . . . . . . . . . . 11
4340, 41, 423syl 20 . . . . . . . . . 10
44 rnexg 6716 . . . . . . . . . 10
45 uniexg 6581 . . . . . . . . . 10
4643, 44, 453syl 20 . . . . . . . . 9
47 pwexg 4631 . . . . . . . . 9
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8
49 dmexg 6715 . . . . . . . . . 10
505, 49syl 16 . . . . . . . . 9
513, 50eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8
52 elmapg 7433 . . . . . . . 8
5348, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . 7
5437, 53mpbird 232 . . . . . 6
5554ralrimivw 2879 . . . . 5
5655ralrimivw 2879 . . . 4
57 eqid 2467 . . . . 5
5857fmpt2 6851 . . . 4
5956, 58sylib 196 . . 3
60 fvex 5876 . . . . . 6
616, 60eqeltri 2551 . . . . 5
6261, 61xpex 6588 . . . 4
63 ovex 6309 . . . 4
64 fex2 6739 . . . 4
6562, 63, 64mp3an23 1316 . . 3
6659, 65syl 16 . 2
67 snsstp3 4180 . . . 4
68 ssun1 3667 . . . 4 Scalar g
6967, 68sstri 3513 . . 3 Scalar g
70 ssun1 3667 . . 3 Scalar g Scalar g TopSet comp comp
7169, 70sstri 3513 . 2 Scalar g TopSet comp comp
7218, 19, 20, 66, 71prdsvallem 14709 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  cvv 3113   cun 3474   wss 3476  cpw 4010  csn 4027  cpr 4029  ctp 4031  cop 4033  cuni 4245   class class class wbr 4447  copab 4504   cmpt 4505   cxp 4997   cdm 4999   crn 5000   ccom 5003  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6284   cmpt2 6286  c1st 6782  c2nd 6783   cmap 7420  cixp 7469  csup 7900  cc0 9492  cxr 9627   clt 9628  cnx 14487  cbs 14490   cplusg 14555  cmulr 14556  Scalarcsca 14558  cvsca 14559  cip 14560  TopSetcts 14561  cple 14562  cds 14564   chom 14566  compcco 14567  ctopn 14677  cpt 14694   g cgsu 14696  scprds 14701 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-hom 14579  df-cco 14580  df-prds 14703 This theorem is referenced by:  prdsvsca  14715  prdsle  14717  prdsds  14719  prdstset  14721  prdshom  14722  prdsco  14723  prdsmulrval  14730  prdsmgp  17060
 Copyright terms: Public domain W3C validator