MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsms Structured version   Unicode version

Theorem prdsms 20111
Description: The indexed product structure is a metric space when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prdsxms.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
Assertion
Ref Expression
prdsms  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> MetSp )  ->  Y  e.  MetSp )

Proof of Theorem prdsms
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 msxms 20034 . . . . 5  |-  ( x  e.  MetSp  ->  x  e.  *MetSp )
21ssriv 3365 . . . 4  |-  MetSp  C_  *MetSp
3 fss 5572 . . . 4  |-  ( ( R : I --> MetSp  /\  MetSp  C_ 
*MetSp )  ->  R : I --> *MetSp )
42, 3mpan2 671 . . 3  |-  ( R : I --> MetSp  ->  R : I --> *MetSp )
5 prdsxms.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s R )
65prdsxms 20110 . . 3  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> *MetSp )  ->  Y  e.  *MetSp )
74, 6syl3an3 1253 . 2  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> MetSp )  ->  Y  e.  *MetSp )
8 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> MetSp )  ->  S  e.  W )
9 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> MetSp )  ->  I  e.  Fin )
10 eqid 2443 . . . 4  |-  ( dist `  Y )  =  (
dist `  Y )
11 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
12 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> MetSp )  ->  R : I --> MetSp )
135, 8, 9, 10, 11, 12prdsmslem1 20107 . . 3  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> MetSp )  -> 
( dist `  Y )  e.  ( Met `  ( Base `  Y ) ) )
14 ssid 3380 . . 3  |-  ( Base `  Y )  C_  ( Base `  Y )
15 metres2 19943 . . 3  |-  ( ( ( dist `  Y
)  e.  ( Met `  ( Base `  Y
) )  /\  ( Base `  Y )  C_  ( Base `  Y )
)  ->  ( ( dist `  Y )  |`  ( ( Base `  Y
)  X.  ( Base `  Y ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  Y ) ) )
1613, 14, 15sylancl 662 . 2  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> MetSp )  -> 
( ( dist `  Y
)  |`  ( ( Base `  Y )  X.  ( Base `  Y ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  Y
) ) )
17 eqid 2443 . . 3  |-  ( TopOpen `  Y )  =  (
TopOpen `  Y )
18 eqid 2443 . . 3  |-  ( (
dist `  Y )  |`  ( ( Base `  Y
)  X.  ( Base `  Y ) ) )  =  ( ( dist `  Y )  |`  (
( Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) ) )
1917, 11, 18isms 20029 . 2  |-  ( Y  e.  MetSp 
<->  ( Y  e.  *MetSp  /\  ( ( dist `  Y )  |`  (
( Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  Y ) ) ) )
207, 16, 19sylanbrc 664 1  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> MetSp )  ->  Y  e.  MetSp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3333    X. cxp 4843    |` cres 4847   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   Basecbs 14179   distcds 14252   TopOpenctopn 14365   X_scprds 14389   Metcme 17807   *MetSpcxme 19897   MetSpcmt 19898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-icc 11312  df-fz 11443  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-xms 19900  df-ms 19901
This theorem is referenced by:  pwsms  20113  xpsms  20115
  Copyright terms: Public domain W3C validator