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Theorem prdsmndd 16169
Description: The product of a family of monoids is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmndd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsmndd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsmndd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsmndd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
Assertion
Ref Expression
prdsmndd  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )

Proof of Theorem prdsmndd
Dummy variables  a 
b  y  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2403 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  Y ) )
2 eqidd 2403 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  Y ) )
3 prdsmndd.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s R )
4 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
5 eqid 2402 . . . 4  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
6 prdsmndd.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
7 elex 3067 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
86, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
98adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  S  e.  _V )
10 prdsmndd.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
11 elex 3067 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  I  e.  _V )
1210, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
1312adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  I  e.  _V )
14 prdsmndd.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
1514adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  R : I --> Mnd )
16 simprl 756 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  a  e.  ( Base `  Y
) )
17 simprr 758 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  b  e.  ( Base `  Y
) )
183, 4, 5, 9, 13, 15, 16, 17prdsplusgcl 16167 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  (
a ( +g  `  Y
) b )  e.  ( Base `  Y
) )
19183impb 1193 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  ( a ( +g  `  Y ) b )  e.  (
Base `  Y )
)
2014ffvelrnda 5965 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
2120adantlr 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
228ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  _V )
2312ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  _V )
24 ffn 5670 . . . . . . . . 9  |-  ( R : I --> Mnd  ->  R  Fn  I )
2514, 24syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
2625ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
27 simplr1 1039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  Y
) )
28 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
293, 4, 22, 23, 26, 27, 28prdsbasprj 14978 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
30 simplr2 1040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  b  e.  ( Base `  Y
) )
313, 4, 22, 23, 26, 30, 28prdsbasprj 14978 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
b `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
32 simplr3 1041 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  c  e.  ( Base `  Y
) )
333, 4, 22, 23, 26, 32, 28prdsbasprj 14978 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
34 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
35 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( R `  y
) )  =  ( +g  `  ( R `
 y ) )
3634, 35mndass 16146 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  Mnd  /\  ( ( a `  y )  e.  (
Base `  ( R `  y ) )  /\  ( b `  y
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) )  /\  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) ) )  -> 
( ( ( a `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( b `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) )  =  ( ( a `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) ) )
3721, 29, 31, 33, 36syl13anc 1232 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( b `
 y ) ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
383, 4, 22, 23, 26, 27, 30, 5, 28prdsplusgfval 14980 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( +g  `  Y ) b ) `
 y )  =  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( b `
 y ) ) )
3938oveq1d 6249 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a ( +g  `  Y ) b ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( ( a `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( b `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) )
403, 4, 22, 23, 26, 30, 32, 5, 28prdsplusgfval 14980 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( b ( +g  `  Y ) c ) `
 y )  =  ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) )
4140oveq2d 6250 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
4237, 39, 413eqtr4d 2453 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a ( +g  `  Y ) b ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) ) )
4342mpteq2dva 4480 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( +g  `  Y ) b ) `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) ) ) )
448adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  S  e.  _V )
4512adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  I  e.  _V )
4625adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R  Fn  I )
47183adantr3 1158 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( +g  `  Y ) b )  e.  (
Base `  Y )
)
48 simpr3 1005 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  c  e.  ( Base `  Y )
)
493, 4, 44, 45, 46, 47, 48, 5prdsplusgval 14979 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( +g  `  Y
) b ) ( +g  `  Y ) c )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( +g  `  Y ) b ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
50 simpr1 1003 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  a  e.  ( Base `  Y )
)
5114adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R :
I --> Mnd )
52 simpr2 1004 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  b  e.  ( Base `  Y )
)
533, 4, 5, 44, 45, 51, 52, 48prdsplusgcl 16167 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( b
( +g  `  Y ) c )  e.  (
Base `  Y )
)
543, 4, 44, 45, 46, 50, 53, 5prdsplusgval 14979 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( +g  `  Y ) ( b ( +g  `  Y ) c ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( a `  y ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) ) ) )
5543, 49, 543eqtr4d 2453 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( +g  `  Y
) b ) ( +g  `  Y ) c )  =  ( a ( +g  `  Y
) ( b ( +g  `  Y ) c ) ) )
56 eqid 2402 . . . 4  |-  ( 0g  o.  R )  =  ( 0g  o.  R
)
573, 4, 5, 8, 12, 14, 56prdsidlem 16168 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 0g  o.  R )  e.  (
Base `  Y )  /\  A. a  e.  (
Base `  Y )
( ( ( 0g  o.  R ) ( +g  `  Y ) a )  =  a  /\  ( a ( +g  `  Y ) ( 0g  o.  R
) )  =  a ) ) )
5857simpld 457 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  e.  ( Base `  Y ) )
5957simprd 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  (
Base `  Y )
( ( ( 0g  o.  R ) ( +g  `  Y ) a )  =  a  /\  ( a ( +g  `  Y ) ( 0g  o.  R
) )  =  a ) )
6059r19.21bi 2772 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( (
( 0g  o.  R
) ( +g  `  Y
) a )  =  a  /\  ( a ( +g  `  Y
) ( 0g  o.  R ) )  =  a ) )
6160simpld 457 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( ( 0g  o.  R ) ( +g  `  Y ) a )  =  a )
6260simprd 461 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( a
( +g  `  Y ) ( 0g  o.  R
) )  =  a )
631, 2, 19, 55, 58, 61, 62ismndd 16159 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   _Vcvv 3058    |-> cmpt 4452    o. ccom 4946    Fn wfn 5520   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Basecbs 14733   +g cplusg 14801   0gc0g 14946   X_scprds 14952   Mndcmnd 16135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-fz 11644  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-hom 14825  df-cco 14826  df-0g 14948  df-prds 14954  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137
This theorem is referenced by:  prds0g  16170  pwsmnd  16171  xpsmnd  16176  prdspjmhm  16214  prdsgrpd  16395  prdscmnd  17083  prdsringd  17473  dsmm0cl  18961  prdstmdd  20806
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