Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmndd Structured version   Unicode version

Theorem prdsmndd 16169
 Description: The product of a family of monoids is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmndd.y s
prdsmndd.i
prdsmndd.s
prdsmndd.r
Assertion
Ref Expression
prdsmndd

Proof of Theorem prdsmndd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2403 . 2
2 eqidd 2403 . 2
3 prdsmndd.y . . . 4 s
4 eqid 2402 . . . 4
5 eqid 2402 . . . 4
6 prdsmndd.s . . . . . 6
7 elex 3067 . . . . . 6
86, 7syl 17 . . . . 5
98adantr 463 . . . 4
10 prdsmndd.i . . . . . 6
11 elex 3067 . . . . . 6
1210, 11syl 17 . . . . 5
1312adantr 463 . . . 4
14 prdsmndd.r . . . . 5
1514adantr 463 . . . 4
16 simprl 756 . . . 4
17 simprr 758 . . . 4
183, 4, 5, 9, 13, 15, 16, 17prdsplusgcl 16167 . . 3
19183impb 1193 . 2
2014ffvelrnda 5965 . . . . . . 7
2120adantlr 713 . . . . . 6
228ad2antrr 724 . . . . . . 7
2312ad2antrr 724 . . . . . . 7
24 ffn 5670 . . . . . . . . 9
2514, 24syl 17 . . . . . . . 8
2625ad2antrr 724 . . . . . . 7
27 simplr1 1039 . . . . . . 7
28 simpr 459 . . . . . . 7
293, 4, 22, 23, 26, 27, 28prdsbasprj 14978 . . . . . 6
30 simplr2 1040 . . . . . . 7
313, 4, 22, 23, 26, 30, 28prdsbasprj 14978 . . . . . 6
32 simplr3 1041 . . . . . . 7
333, 4, 22, 23, 26, 32, 28prdsbasprj 14978 . . . . . 6
34 eqid 2402 . . . . . . 7
35 eqid 2402 . . . . . . 7
3634, 35mndass 16146 . . . . . 6
3721, 29, 31, 33, 36syl13anc 1232 . . . . 5
383, 4, 22, 23, 26, 27, 30, 5, 28prdsplusgfval 14980 . . . . . 6
3938oveq1d 6249 . . . . 5
403, 4, 22, 23, 26, 30, 32, 5, 28prdsplusgfval 14980 . . . . . 6
4140oveq2d 6250 . . . . 5
4237, 39, 413eqtr4d 2453 . . . 4
4342mpteq2dva 4480 . . 3
448adantr 463 . . . 4
4512adantr 463 . . . 4
4625adantr 463 . . . 4
47183adantr3 1158 . . . 4
48 simpr3 1005 . . . 4
493, 4, 44, 45, 46, 47, 48, 5prdsplusgval 14979 . . 3
50 simpr1 1003 . . . 4
5114adantr 463 . . . . 5
52 simpr2 1004 . . . . 5
533, 4, 5, 44, 45, 51, 52, 48prdsplusgcl 16167 . . . 4
543, 4, 44, 45, 46, 50, 53, 5prdsplusgval 14979 . . 3
5543, 49, 543eqtr4d 2453 . 2
56 eqid 2402 . . . 4
573, 4, 5, 8, 12, 14, 56prdsidlem 16168 . . 3
5857simpld 457 . 2
5957simprd 461 . . . 4
6059r19.21bi 2772 . . 3
6160simpld 457 . 2
6260simprd 461 . 2
631, 2, 19, 55, 58, 61, 62ismndd 16159 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  wral 2753  cvv 3058   cmpt 4452   ccom 4946   wfn 5520  wf 5521  cfv 5525  (class class class)co 6234  cbs 14733   cplusg 14801  c0g 14946  scprds 14952  cmnd 16135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-fz 11644  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-hom 14825  df-cco 14826  df-0g 14948  df-prds 14954  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137 This theorem is referenced by:  prds0g  16170  pwsmnd  16171  xpsmnd  16176  prdspjmhm  16214  prdsgrpd  16395  prdscmnd  17083  prdsringd  17473  dsmm0cl  18961  prdstmdd  20806
 Copyright terms: Public domain W3C validator