Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmgp Structured version   Unicode version

Theorem prdsmgp 17238
 Description: The multiplicative monoid of a product is the product of the multiplicative monoids of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmgp.y s
prdsmgp.m mulGrp
prdsmgp.z smulGrp
prdsmgp.i
prdsmgp.s
prdsmgp.r
Assertion
Ref Expression
prdsmgp

Proof of Theorem prdsmgp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . . 6 mulGrp mulGrp
2 eqid 2443 . . . . . 6
31, 2mgpbas 17126 . . . . 5 mulGrp
4 prdsmgp.r . . . . . . . 8
5 fvco2 5933 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
64, 5sylan 471 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
76eqcomd 2451 . . . . . 6 mulGrp mulGrp
87fveq2d 5860 . . . . 5 mulGrp mulGrp
93, 8syl5eq 2496 . . . 4 mulGrp
109ixpeq2dva 7486 . . 3 mulGrp
11 prdsmgp.y . . . 4 s
12 prdsmgp.m . . . . . 6 mulGrp
13 eqid 2443 . . . . . 6
1412, 13mgpbas 17126 . . . . 5
1514eqcomi 2456 . . . 4
16 prdsmgp.s . . . 4
17 prdsmgp.i . . . 4
1811, 15, 16, 17, 4prdsbas2 14848 . . 3
19 prdsmgp.z . . . 4 smulGrp
20 eqid 2443 . . . 4
21 fnmgp 17122 . . . . . 6 mulGrp
2221a1i 11 . . . . 5 mulGrp
23 ssv 3509 . . . . . 6
2423a1i 11 . . . . 5
25 fnco 5679 . . . . 5 mulGrp mulGrp
2622, 4, 24, 25syl3anc 1229 . . . 4 mulGrp
2719, 20, 16, 17, 26prdsbas2 14848 . . 3 mulGrp
2810, 18, 273eqtr4d 2494 . 2
29 eqid 2443 . . . 4
3012, 29mgpplusg 17124 . . 3
31 eqid 2443 . . . . . . . . 9 mulGrp mulGrp
32 eqid 2443 . . . . . . . . 9
3331, 32mgpplusg 17124 . . . . . . . 8 mulGrp
34 fvco2 5933 . . . . . . . . . . 11 mulGrp mulGrp
354, 34sylan 471 . . . . . . . . . 10 mulGrp mulGrp
3635eqcomd 2451 . . . . . . . . 9 mulGrp mulGrp
3736fveq2d 5860 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
3833, 37syl5eq 2496 . . . . . . 7 mulGrp
3938oveqd 6298 . . . . . 6 mulGrp
4039mpteq2dva 4523 . . . . 5 mulGrp
4128, 28, 40mpt2eq123dv 6344 . . . 4 mulGrp
42 fnex 6124 . . . . . 6
434, 17, 42syl2anc 661 . . . . 5
44 fndm 5670 . . . . . 6
454, 44syl 16 . . . . 5
4611, 16, 43, 15, 45, 29prdsmulr 14838 . . . 4
47 fnex 6124 . . . . . 6 mulGrp mulGrp
4826, 17, 47syl2anc 661 . . . . 5 mulGrp
49 fndm 5670 . . . . . 6 mulGrp mulGrp
5026, 49syl 16 . . . . 5 mulGrp
51 eqid 2443 . . . . 5
5219, 16, 48, 20, 50, 51prdsplusg 14837 . . . 4 mulGrp
5341, 46, 523eqtr4d 2494 . . 3
5430, 53syl5eqr 2498 . 2
5528, 54jca 532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  cvv 3095   wss 3461   cmpt 4495   cdm 4989   crn 4990   ccom 4993   wfn 5573  cfv 5578  (class class class)co 6281   cmpt2 6283  cixp 7471  cbs 14614   cplusg 14679  cmulr 14680  scprds 14825  mulGrpcmgp 17120 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11684  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-hom 14703  df-cco 14704  df-prds 14827  df-mgp 17121 This theorem is referenced by:  prdsringd  17240  prdscrngd  17241  prds1  17242  pwsmgp  17246
 Copyright terms: Public domain W3C validator