Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmet Structured version   Unicode version

Theorem prdsmet 21165
 Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmet.y s
prdsmet.b
prdsmet.v
prdsmet.e
prdsmet.d
prdsmet.s
prdsmet.i
prdsmet.r
prdsmet.m
Assertion
Ref Expression
prdsmet
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdsmet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmet.y . . 3 s
2 prdsmet.b . . 3
3 prdsmet.v . . 3
4 prdsmet.e . . 3
5 prdsmet.d . . 3
6 prdsmet.s . . 3
7 prdsmet.i . . 3
8 prdsmet.r . . 3
9 prdsmet.m . . . 4
10 metxmet 21129 . . . 4
119, 10syl 17 . . 3
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsxmet 21164 . 2
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsdsf 21162 . . . 4
14 ffn 5714 . . . 4
1513, 14syl 17 . . 3
166adantr 463 . . . . . 6
177adantr 463 . . . . . 6
188ralrimiva 2818 . . . . . . 7
1918adantr 463 . . . . . 6
20 simprl 756 . . . . . 6
21 simprr 758 . . . . . 6
221, 2, 16, 17, 19, 20, 21, 3, 4, 5prdsdsval3 15099 . . . . 5
231, 2, 16, 17, 19, 3, 20prdsbascl 15097 . . . . . . . . . 10
241, 2, 16, 17, 19, 3, 21prdsbascl 15097 . . . . . . . . . 10
25 r19.26 2934 . . . . . . . . . . 11
26 metcl 21127 . . . . . . . . . . . . . . 15
27263expib 1200 . . . . . . . . . . . . . 14
289, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
2928ralimdva 2812 . . . . . . . . . . . 12
3029adantr 463 . . . . . . . . . . 11
3125, 30syl5bir 218 . . . . . . . . . 10
3223, 24, 31mp2and 677 . . . . . . . . 9
33 eqid 2402 . . . . . . . . . 10
3433fmpt 6030 . . . . . . . . 9
3532, 34sylib 196 . . . . . . . 8
36 frn 5720 . . . . . . . 8
3735, 36syl 17 . . . . . . 7
38 0red 9627 . . . . . . . 8
3938snssd 4117 . . . . . . 7
4037, 39unssd 3619 . . . . . 6
41 xrltso 11400 . . . . . . . 8
4241a1i 11 . . . . . . 7
43 mptfi 7853 . . . . . . . . 9
44 rnfi 7839 . . . . . . . . 9
4517, 43, 443syl 18 . . . . . . . 8
46 snfi 7634 . . . . . . . 8
47 unfi 7821 . . . . . . . 8
4845, 46, 47sylancl 660 . . . . . . 7
49 ssun2 3607 . . . . . . . . 9
50 c0ex 9620 . . . . . . . . . 10
5150snss 4096 . . . . . . . . 9
5249, 51mpbir 209 . . . . . . . 8
53 ne0i 3744 . . . . . . . 8
5452, 53mp1i 13 . . . . . . 7
55 ressxr 9667 . . . . . . . 8
5640, 55syl6ss 3454 . . . . . . 7
57 fisupcl 7961 . . . . . . 7
5842, 48, 54, 56, 57syl13anc 1232 . . . . . 6
5940, 58sseldd 3443 . . . . 5
6022, 59eqeltrd 2490 . . . 4
6160ralrimivva 2825 . . 3
62 ffnov 6387 . . 3
6315, 61, 62sylanbrc 662 . 2
64 ismet2 21128 . 2
6512, 63, 64sylanbrc 662 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wral 2754   cun 3412   wss 3414  c0 3738  csn 3972   cmpt 4453   wor 4743   cxp 4821   crn 4824   cres 4825   wfn 5564  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278  cfn 7554  csup 7934  cr 9521  cc0 9522   cpnf 9655  cxr 9657   clt 9658  cicc 11585  cbs 14841  cds 14918  scprds 15060  cxmt 18723  cme 18724 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-icc 11589  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-hom 14933  df-cco 14934  df-prds 15062  df-xmet 18732  df-met 18733 This theorem is referenced by:  xpsmet  21177  prdsmslem1  21322  prdsbnd  31571  prdstotbnd  31572  prdsbnd2  31573  repwsmet  31612
 Copyright terms: Public domain W3C validator