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Theorem prdsmet 21165
Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmet.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsmet.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsmet.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsmet.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsmet.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsmet.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsmet.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsmet.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsmet.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
Assertion
Ref Expression
prdsmet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
Distinct variable groups:    x, I    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsmet
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmet.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 prdsmet.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 prdsmet.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  R
)
4 prdsmet.e . . 3  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
5 prdsmet.d . . 3  |-  D  =  ( dist `  Y
)
6 prdsmet.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
7 prdsmet.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
8 prdsmet.r . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
9 prdsmet.m . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
10 metxmet 21129 . . . 4  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  E  e.  ( *Met `  V
) )
119, 10syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsxmet 21164 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsdsf 21162 . . . 4  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo )
)
14 ffn 5714 . . . 4  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo )  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
1513, 14syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
166adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  W )
177adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  Fin )
188ralrimiva 2818 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
1918adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
20 simprl 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
21 simprr 758 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
221, 2, 16, 17, 19, 20, 21, 3, 4, 5prdsdsval3 15099 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
231, 2, 16, 17, 19, 3, 20prdsbascl 15097 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
241, 2, 16, 17, 19, 3, 21prdsbascl 15097 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
25 r19.26 2934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  <-> 
( A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  V  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V ) )
26 metcl 21127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E  e.  ( Met `  V )  /\  (
f `  x )  e.  V  /\  (
g `  x )  e.  V )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
27263expib 1200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  ( (
( f `  x
)  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR ) )
289, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( f `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR ) )
2928ralimdva 2812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  I  ( ( f `
 x )  e.  V  /\  ( g `
 x )  e.  V )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR ) )
3029adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( A. x  e.  I  ( ( f `
 x )  e.  V  /\  ( g `
 x )  e.  V )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR ) )
3125, 30syl5bir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ( A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  V  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )  ->  A. x  e.  I 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR ) )
3223, 24, 31mp2and 677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR )
33 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )
3433fmpt 6030 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR  <->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I --> RR )
3532, 34sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I --> RR )
36 frn 5720 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) ) : I --> RR  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR )
3735, 36syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR )
38 0red 9627 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR )
3938snssd 4117 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  { 0 }  C_  RR )
4037, 39unssd 3619 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR )
41 xrltso 11400 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR*
4241a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  <  Or  RR* )
43 mptfi 7853 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  e.  Fin )
44 rnfi 7839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  e.  Fin )
4517, 43, 443syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  e.  Fin )
46 snfi 7634 . . . . . . . 8  |-  { 0 }  e.  Fin
47 unfi 7821 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  e. 
Fin  /\  { 0 }  e.  Fin )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin )
4845, 46, 47sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin )
49 ssun2 3607 . . . . . . . . 9  |-  { 0 }  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )
50 c0ex 9620 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
5150snss 4096 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
5249, 51mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )
53 ne0i 3744 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  =/=  (/) )
5452, 53mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
55 ressxr 9667 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
5640, 55syl6ss 3454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
57 fisupcl 7961 . . . . . . 7  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } )  =/=  (/)  /\  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
5842, 48, 54, 56, 57syl13anc 1232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
5940, 58sseldd 3443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
6022, 59eqeltrd 2490 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  e.  RR )
6160ralrimivva 2825 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f D g )  e.  RR )
62 ffnov 6387 . . 3  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> RR  <->  ( D  Fn  ( B  X.  B
)  /\  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f D g )  e.  RR ) )
6315, 61, 62sylanbrc 662 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> RR )
64 ismet2 21128 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  D : ( B  X.  B ) --> RR ) )
6512, 63, 64sylanbrc 662 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754    u. cun 3412    C_ wss 3414   (/)c0 3738   {csn 3972    |-> cmpt 4453    Or wor 4743    X. cxp 4821   ran crn 4824    |` cres 4825    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Fincfn 7554   supcsup 7934   RRcr 9521   0cc0 9522   +oocpnf 9655   RR*cxr 9657    < clt 9658   [,]cicc 11585   Basecbs 14841   distcds 14918   X_scprds 15060   *Metcxmt 18723   Metcme 18724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-icc 11589  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-hom 14933  df-cco 14934  df-prds 15062  df-xmet 18732  df-met 18733
This theorem is referenced by:  xpsmet  21177  prdsmslem1  21322  prdsbnd  31571  prdstotbnd  31572  prdsbnd2  31573  repwsmet  31612
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