MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmet Structured version   Unicode version

Theorem prdsmet 20601
Description: The product metric is a metric when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmet.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsmet.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsmet.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsmet.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsmet.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsmet.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsmet.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsmet.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsmet.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
Assertion
Ref Expression
prdsmet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
Distinct variable groups:    x, I    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsmet
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmet.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 prdsmet.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 prdsmet.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  R
)
4 prdsmet.e . . 3  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
5 prdsmet.d . . 3  |-  D  =  ( dist `  Y
)
6 prdsmet.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
7 prdsmet.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
8 prdsmet.r . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
9 prdsmet.m . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
10 metxmet 20565 . . . 4  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  E  e.  ( *Met `  V
) )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsxmet 20600 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11prdsdsf 20598 . . . 4  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo )
)
14 ffn 5722 . . . 4  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo )  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
166adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  W )
177adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  Fin )
188ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
1918adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
20 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
21 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
221, 2, 16, 17, 19, 20, 21, 3, 4, 5prdsdsval3 14729 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
231, 2, 16, 17, 19, 3, 20prdsbascl 14727 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
241, 2, 16, 17, 19, 3, 21prdsbascl 14727 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
25 r19.26 2982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
)  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  <-> 
( A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  V  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V ) )
26 metcl 20563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E  e.  ( Met `  V )  /\  (
f `  x )  e.  V  /\  (
g `  x )  e.  V )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
27263expib 1194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  ( (
( f `  x
)  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR ) )
289, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( f `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR ) )
2928ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  I  ( ( f `
 x )  e.  V  /\  ( g `
 x )  e.  V )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( A. x  e.  I  ( ( f `
 x )  e.  V  /\  ( g `
 x )  e.  V )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR ) )
3125, 30syl5bir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ( A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  V  /\  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )  ->  A. x  e.  I 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR ) )
3223, 24, 31mp2and 679 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR )
33 eqid 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )
3433fmpt 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR  <->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I --> RR )
3532, 34sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I --> RR )
36 frn 5728 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) ) : I --> RR  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR )
3735, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR )
38 0red 9586 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR )
3938snssd 4165 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  { 0 }  C_  RR )
4037, 39unssd 3673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR )
41 xrltso 11336 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR*
4241a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  <  Or  RR* )
43 mptfi 7808 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  e.  Fin )
44 rnfi 7794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  e.  Fin )
4517, 43, 443syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  e.  Fin )
46 snfi 7586 . . . . . . . 8  |-  { 0 }  e.  Fin
47 unfi 7776 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  e. 
Fin  /\  { 0 }  e.  Fin )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin )
4845, 46, 47sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin )
49 ssun2 3661 . . . . . . . . 9  |-  { 0 }  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )
50 c0ex 9579 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
5150snss 4144 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
5249, 51mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )
53 ne0i 3784 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  =/=  (/) )
5452, 53mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
55 ressxr 9626 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
5640, 55syl6ss 3509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
57 fisupcl 7916 . . . . . . 7  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } )  =/=  (/)  /\  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
5842, 48, 54, 56, 57syl13anc 1225 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
5940, 58sseldd 3498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
6022, 59eqeltrd 2548 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  e.  RR )
6160ralrimivva 2878 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f D g )  e.  RR )
62 ffnov 6381 . . 3  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> RR  <->  ( D  Fn  ( B  X.  B
)  /\  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f D g )  e.  RR ) )
6315, 61, 62sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> RR )
64 ismet2 20564 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  D : ( B  X.  B ) --> RR ) )
6512, 63, 64sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807    u. cun 3467    C_ wss 3469   (/)c0 3778   {csn 4020    |-> cmpt 4498    Or wor 4792    X. cxp 4990   ran crn 4993    |` cres 4994    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Fincfn 7506   supcsup 7889   RRcr 9480   0cc0 9481   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    < clt 9617   [,]cicc 11521   Basecbs 14479   distcds 14553   X_scprds 14690   *Metcxmt 18167   Metcme 18168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-icc 11525  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-hom 14568  df-cco 14569  df-prds 14692  df-xmet 18176  df-met 18177
This theorem is referenced by:  xpsmet  20613  prdsmslem1  20758  prdsbnd  29743  prdstotbnd  29744  prdsbnd2  29745  repwsmet  29784
  Copyright terms: Public domain W3C validator