Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdslmodd Unicode version

Theorem prdslmodd 16000
 Description: The product of a family of left modules is a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdslmodd.y s
prdslmodd.s
prdslmodd.i
prdslmodd.rm
prdslmodd.rs Scalar
Assertion
Ref Expression
prdslmodd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem prdslmodd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2405 . 2
2 eqidd 2405 . 2
3 prdslmodd.y . . 3 s
4 prdslmodd.s . . 3
5 prdslmodd.rm . . . 4
6 prdslmodd.i . . . 4
7 fex 5928 . . . 4
85, 6, 7syl2anc 643 . . 3
93, 4, 8prdssca 13634 . 2 Scalar
10 eqidd 2405 . 2
11 eqidd 2405 . 2
12 eqidd 2405 . 2
13 eqidd 2405 . 2
14 eqidd 2405 . 2
15 lmodgrp 15912 . . . . 5
1615ssriv 3312 . . . 4
17 fss 5558 . . . 4
185, 16, 17sylancl 644 . . 3
193, 6, 4, 18prdsgrpd 14882 . 2
20 eqid 2404 . . . 4
21 eqid 2404 . . . 4
22 eqid 2404 . . . 4
234adantr 452 . . . 4
24 elex 2924 . . . . . 6
256, 24syl 16 . . . . 5
2625adantr 452 . . . 4
275adantr 452 . . . 4
28 simprl 733 . . . 4
29 simprr 734 . . . 4
30 prdslmodd.rs . . . . 5 Scalar
3130adantlr 696 . . . 4 Scalar
323, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 28, 29, 31prdsvscacl 15999 . . 3
33323impb 1149 . 2
345ffvelrnda 5829 . . . . . . 7
3534adantlr 696 . . . . . 6
36 simplr1 999 . . . . . . 7
3730fveq2d 5691 . . . . . . . 8 Scalar
3837adantlr 696 . . . . . . 7 Scalar
3936, 38eleqtrrd 2481 . . . . . 6 Scalar
404ad2antrr 707 . . . . . . 7
4125ad2antrr 707 . . . . . . 7
42 ffn 5550 . . . . . . . . 9
435, 42syl 16 . . . . . . . 8
4443ad2antrr 707 . . . . . . 7
45 simplr2 1000 . . . . . . 7
46 simpr 448 . . . . . . 7
473, 20, 40, 41, 44, 45, 46prdsbasprj 13649 . . . . . 6
48 simplr3 1001 . . . . . . 7
493, 20, 40, 41, 44, 48, 46prdsbasprj 13649 . . . . . 6
50 eqid 2404 . . . . . . 7
51 eqid 2404 . . . . . . 7
52 eqid 2404 . . . . . . 7 Scalar Scalar
53 eqid 2404 . . . . . . 7
54 eqid 2404 . . . . . . 7 Scalar Scalar
5550, 51, 52, 53, 54lmodvsdi 15928 . . . . . 6 Scalar
5635, 39, 47, 49, 55syl13anc 1186 . . . . 5
57 eqid 2404 . . . . . . 7
583, 20, 40, 41, 44, 45, 48, 57, 46prdsplusgfval 13651 . . . . . 6
5958oveq2d 6056 . . . . 5
603, 20, 21, 22, 40, 41, 44, 36, 45, 46prdsvscafval 13657 . . . . . 6
613, 20, 21, 22, 40, 41, 44, 36, 48, 46prdsvscafval 13657 . . . . . 6
6260, 61oveq12d 6058 . . . . 5
6356, 59, 623eqtr4d 2446 . . . 4
6463mpteq2dva 4255 . . 3
654adantr 452 . . . 4
6625adantr 452 . . . 4
6743adantr 452 . . . 4
68 simpr1 963 . . . 4
6919adantr 452 . . . . 5
70 simpr2 964 . . . . 5
71 simpr3 965 . . . . 5
7220, 57grpcl 14773 . . . . 5
7369, 70, 71, 72syl3anc 1184 . . . 4
743, 20, 21, 22, 65, 66, 67, 68, 73prdsvscaval 13656 . . 3
75323adantr3 1118 . . . 4
764adantr 452 . . . . . 6
7725adantr 452 . . . . . 6
785adantr 452 . . . . . 6
79 simprl 733 . . . . . 6
80 simprr 734 . . . . . 6
8130adantlr 696 . . . . . 6 Scalar
823, 20, 21, 22, 76, 77, 78, 79, 80, 81prdsvscacl 15999 . . . . 5
83823adantr2 1117 . . . 4
843, 20, 65, 66, 67, 75, 83, 57prdsplusgval 13650 . . 3
8564, 74, 843eqtr4d 2446 . 2
864ad2antrr 707 . . . . . . 7
8725ad2antrr 707 . . . . . . 7
8843ad2antrr 707 . . . . . . 7
89 simplr1 999 . . . . . . 7
90 simplr3 1001 . . . . . . 7
91 simpr 448 . . . . . . 7
923, 20, 21, 22, 86, 87, 88, 89, 90, 91prdsvscafval 13657 . . . . . 6
93 simplr2 1000 . . . . . . 7
943, 20, 21, 22, 86, 87, 88, 93, 90, 91prdsvscafval 13657 . . . . . 6
9592, 94oveq12d 6058 . . . . 5
9634adantlr 696 . . . . . 6
9737adantlr 696 . . . . . . 7 Scalar
9889, 97eleqtrrd 2481 . . . . . 6 Scalar
9993, 97eleqtrrd 2481 . . . . . 6 Scalar
1003, 20, 86, 87, 88, 90, 91prdsbasprj 13649 . . . . . 6
101 eqid 2404 . . . . . . 7 Scalar Scalar
10250, 51, 52, 53, 54, 101lmodvsdir 15929 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar
10396, 98, 99, 100, 102syl13anc 1186 . . . . 5 Scalar
10430adantlr 696 . . . . . . . 8 Scalar
105104fveq2d 5691 . . . . . . 7 Scalar
106105oveqd 6057 . . . . . 6 Scalar
107106oveq1d 6055 . . . . 5 Scalar
10895, 103, 1073eqtr2rd 2443 . . . 4
109108mpteq2dva 4255 . . 3
1104adantr 452 . . . 4
11125adantr 452 . . . 4
11243adantr 452 . . . 4
113 simpr1 963 . . . . 5
114 simpr2 964 . . . . 5
115 eqid 2404 . . . . . 6
11622, 115rngacl 15646 . . . . 5
117110, 113, 114, 116syl3anc 1184 . . . 4
118 simpr3 965 . . . 4
1193, 20, 21, 22, 110, 111, 112, 117, 118prdsvscaval 13656 . . 3
120823adantr2 1117 . . . 4
1215adantr 452 . . . . 5
1223, 20, 21, 22, 110, 111, 121, 114, 118, 104prdsvscacl 15999 . . . 4
1233, 20, 110, 111, 112, 120, 122, 57prdsplusgval 13650 . . 3
124109, 119, 1233eqtr4d 2446 . 2
12594oveq2d 6056 . . . . 5
126 eqid 2404 . . . . . . 7 Scalar Scalar
12750, 52, 53, 54, 126lmodvsass 15930 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar
12896, 98, 99, 100, 127syl13anc 1186 . . . . 5 Scalar
129104fveq2d 5691 . . . . . . 7 Scalar
130129oveqd 6057 . . . . . 6 Scalar
131130oveq1d 6055 . . . . 5 Scalar
132125, 128, 1313eqtr2rd 2443 . . . 4
133132mpteq2dva 4255 . . 3
134 eqid 2404 . . . . . 6
13522, 134rngcl 15632 . . . . 5
136110, 113, 114, 135syl3anc 1184 . . . 4
1373, 20, 21, 22, 110, 111, 112, 136, 118prdsvscaval 13656 . . 3
1383, 20, 21, 22, 110, 111, 112, 113, 122prdsvscaval 13656 . . 3
139133, 137, 1383eqtr4d 2446 . 2
14030fveq2d 5691 . . . . . . 7 Scalar
141140adantlr 696 . . . . . 6 Scalar
142141oveq1d 6055 . . . . 5 Scalar
14334adantlr 696 . . . . . 6
1444ad2antrr 707 . . . . . . 7
14525ad2antrr 707 . . . . . . 7
14643ad2antrr 707 . . . . . . 7
147 simplr 732 . . . . . . 7
148 simpr 448 . . . . . . 7
1493, 20, 144, 145, 146, 147, 148prdsbasprj 13649 . . . . . 6
150 eqid 2404 . . . . . . 7 Scalar Scalar
15150, 52, 53, 150lmodvs1 15933 . . . . . 6 Scalar
152143, 149, 151syl2anc 643 . . . . 5 Scalar
153142, 152eqtr3d 2438 . . . 4
154153mpteq2dva 4255 . . 3
1554adantr 452 . . . 4
15625adantr 452 . . . 4
15743adantr 452 . . . 4
158 eqid 2404 . . . . . . 7
15922, 158rngidcl 15639 . . . . . 6
1604, 159syl 16 . . . . 5
161160adantr 452 . . . 4
162 simpr 448 . . . 4
1633, 20, 21, 22, 155, 156, 157, 161, 162prdsvscaval 13656 . . 3
1643, 20, 155, 156, 157, 162prdsbasfn 13648 . . . 4
165 dffn5 5731 . . . 4
166164, 165sylib 189 . . 3
167154, 163, 1663eqtr4d 2446 . 2
1681, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 4, 19, 33, 85, 124, 139, 167islmodd 15911 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  cvv 2916   wss 3280   cmpt 4226   wfn 5408  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cbs 13424   cplusg 13484  cmulr 13485  Scalarcsca 13487  cvsca 13488  scprds 13624  cgrp 14640  crg 15615  cur 15617  clmod 15905 This theorem is referenced by:  pwslmod  16001  dsmmlss  27078  dsmmlmod  27079 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-lmod 15907
 Copyright terms: Public domain W3C validator