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Theorem prdslmodd 16000
Description: The product of a family of left modules is a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdslmodd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdslmodd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
prdslmodd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
prdslmodd.rm  |-  ( ph  ->  R : I --> LMod )
prdslmodd.rs  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (Scalar `  ( R `  y
) )  =  S )
Assertion
Ref Expression
prdslmodd  |-  ( ph  ->  Y  e.  LMod )
Distinct variable groups:    y, I    ph, y    y, R    y, S    y, Y
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem prdslmodd
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2405 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  Y ) )
2 eqidd 2405 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  Y ) )
3 prdslmodd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
4 prdslmodd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
5 prdslmodd.rm . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> LMod )
6 prdslmodd.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
7 fex 5928 . . . 4  |-  ( ( R : I --> LMod  /\  I  e.  V )  ->  R  e.  _V )
85, 6, 7syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
93, 4, 8prdssca 13634 . 2  |-  ( ph  ->  S  =  (Scalar `  Y ) )
10 eqidd 2405 . 2  |-  ( ph  ->  ( .s `  Y
)  =  ( .s
`  Y ) )
11 eqidd 2405 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  S
)  =  ( Base `  S ) )
12 eqidd 2405 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  S
)  =  ( +g  `  S ) )
13 eqidd 2405 . 2  |-  ( ph  ->  ( .r `  S
)  =  ( .r
`  S ) )
14 eqidd 2405 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  =  ( 1r
`  S ) )
15 lmodgrp 15912 . . . . 5  |-  ( a  e.  LMod  ->  a  e. 
Grp )
1615ssriv 3312 . . . 4  |-  LMod  C_  Grp
17 fss 5558 . . . 4  |-  ( ( R : I --> LMod  /\  LMod  C_ 
Grp )  ->  R : I --> Grp )
185, 16, 17sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
193, 6, 4, 18prdsgrpd 14882 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
20 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
21 eqid 2404 . . . 4  |-  ( .s
`  Y )  =  ( .s `  Y
)
22 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
234adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  S  e.  Ring )
24 elex 2924 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
256, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
2625adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  I  e.  _V )
275adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  R : I --> LMod )
28 simprl 733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  a  e.  ( Base `  S
) )
29 simprr 734 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  b  e.  ( Base `  Y
) )
30 prdslmodd.rs . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (Scalar `  ( R `  y
) )  =  S )
3130adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
) ) )  /\  y  e.  I )  ->  (Scalar `  ( R `  y ) )  =  S )
323, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 28, 29, 31prdsvscacl 15999 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  (
a ( .s `  Y ) b )  e.  ( Base `  Y
) )
33323impb 1149 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  ( a ( .s `  Y ) b )  e.  (
Base `  Y )
)
345ffvelrnda 5829 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  LMod )
3534adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  LMod )
36 simplr1 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  S
) )
3730fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  (
Base `  S )
)
3837adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  (
Base `  S )
)
3936, 38eleqtrrd 2481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) )
404ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  Ring )
4125ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  _V )
42 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( R : I --> LMod  ->  R  Fn  I )
435, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
4443ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
45 simplr2 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  b  e.  ( Base `  Y
) )
46 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
473, 20, 40, 41, 44, 45, 46prdsbasprj 13649 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
b `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
48 simplr3 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  c  e.  ( Base `  Y
) )
493, 20, 40, 41, 44, 48, 46prdsbasprj 13649 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
50 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
51 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( R `  y
) )  =  ( +g  `  ( R `
 y ) )
52 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  ( R `  y ) )  =  (Scalar `  ( R `  y ) )
53 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  ( R `  y ) )  =  ( .s `  ( R `  y )
)
54 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y
) ) )
5550, 51, 52, 53, 54lmodvsdi 15928 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  LMod  /\  (
a  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  /\  ( b `  y )  e.  (
Base `  ( R `  y ) )  /\  ( c `  y
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) )  ->  ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `  y ) ) ( b `  y ) ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ) )
5635, 39, 47, 49, 55syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( .s `  ( R `  y ) ) ( ( b `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( b `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( a ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
57 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
583, 20, 40, 41, 44, 45, 48, 57, 46prdsplusgfval 13651 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( b ( +g  `  Y ) c ) `
 y )  =  ( ( b `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( c `
 y ) ) )
5958oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( .s `  ( R `  y ) ) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( ( b `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
603, 20, 21, 22, 40, 41, 44, 36, 45, 46prdsvscafval 13657 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .s
`  Y ) b ) `  y )  =  ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( b `  y
) ) )
613, 20, 21, 22, 40, 41, 44, 36, 48, 46prdsvscafval 13657 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .s
`  Y ) c ) `  y )  =  ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )
6260, 61oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a ( .s `  Y ) b ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( ( a ( .s `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( b `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( a ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
6356, 59, 623eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  Y
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( .s `  ( R `  y ) ) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( ( ( a ( .s `  Y
) b ) `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( a ( .s `  Y ) c ) `
 y ) ) )
6463mpteq2dva 4255 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( a ( .s `  ( R `  y )
) ( ( b ( +g  `  Y
) c ) `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( .s `  Y ) b ) `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( ( a ( .s `  Y ) c ) `  y
) ) ) )
654adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  S  e.  Ring )
6625adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  I  e.  _V )
6743adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R  Fn  I )
68 simpr1 963 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  a  e.  ( Base `  S )
)
6919adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  Y  e.  Grp )
70 simpr2 964 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  b  e.  ( Base `  Y )
)
71 simpr3 965 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  c  e.  ( Base `  Y )
)
7220, 57grpcl 14773 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y
) )  ->  (
b ( +g  `  Y
) c )  e.  ( Base `  Y
) )
7369, 70, 71, 72syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( b
( +g  `  Y ) c )  e.  (
Base `  Y )
)
743, 20, 21, 22, 65, 66, 67, 68, 73prdsvscaval 13656 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) ( b ( +g  `  Y ) c ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( ( b ( +g  `  Y ) c ) `
 y ) ) ) )
75323adantr3 1118 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) b )  e.  ( Base `  Y
) )
764adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  S  e.  Ring )
7725adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  I  e.  _V )
785adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  R : I --> LMod )
79 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  a  e.  ( Base `  S
) )
80 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  c  e.  ( Base `  Y
) )
8130adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y
) ) )  /\  y  e.  I )  ->  (Scalar `  ( R `  y ) )  =  S )
823, 20, 21, 22, 76, 77, 78, 79, 80, 81prdsvscacl 15999 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  (
a ( .s `  Y ) c )  e.  ( Base `  Y
) )
83823adantr2 1117 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) c )  e.  ( Base `  Y
) )
843, 20, 65, 66, 67, 75, 83, 57prdsplusgval 13650 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( .s `  Y ) b ) ( +g  `  Y
) ( a ( .s `  Y ) c ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( .s `  Y
) b ) `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( a ( .s `  Y ) c ) `
 y ) ) ) )
8564, 74, 843eqtr4d 2446 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) ( b ( +g  `  Y ) c ) )  =  ( ( a ( .s `  Y ) b ) ( +g  `  Y ) ( a ( .s `  Y
) c ) ) )
864ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  Ring )
8725ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  _V )
8843ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
89 simplr1 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  S
) )
90 simplr3 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  c  e.  ( Base `  Y
) )
91 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
923, 20, 21, 22, 86, 87, 88, 89, 90, 91prdsvscafval 13657 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .s
`  Y ) c ) `  y )  =  ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )
93 simplr2 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  b  e.  ( Base `  S
) )
943, 20, 21, 22, 86, 87, 88, 93, 90, 91prdsvscafval 13657 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( b ( .s
`  Y ) c ) `  y )  =  ( b ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )
9592, 94oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( ( a ( .s `  Y ) c ) `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( ( b ( .s `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( b ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
9634adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  LMod )
9737adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  (
Base `  S )
)
9889, 97eleqtrrd 2481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) )
9993, 97eleqtrrd 2481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  b  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) )
1003, 20, 86, 87, 88, 90, 91prdsbasprj 13649 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
101 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  =  ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y
) ) )
10250, 51, 52, 53, 54, 101lmodvsdir 15929 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  LMod  /\  (
a  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  /\  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) ) )  -> 
( ( a ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( b ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
10396, 98, 99, 100, 102syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) )  =  ( ( a ( .s `  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) ( b ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ) )
10430adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (Scalar `  ( R `  y
) )  =  S )
105104fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  ( +g  `  S ) )
106105oveqd 6057 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) b )  =  ( a ( +g  `  S
) b ) )
107106oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( +g  `  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) )  =  ( ( a ( +g  `  S
) b ) ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )
10895, 103, 1073eqtr2rd 2443 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( +g  `  S ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( ( ( a ( .s `  Y
) c ) `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b ( .s `  Y ) c ) `
 y ) ) )
109108mpteq2dva 4255 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( ( a ( +g  `  S
) b ) ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( .s `  Y
) c ) `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b ( .s `  Y ) c ) `
 y ) ) ) )
1104adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  S  e.  Ring )
11125adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  I  e.  _V )
11243adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R  Fn  I )
113 simpr1 963 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  a  e.  ( Base `  S )
)
114 simpr2 964 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  b  e.  ( Base `  S )
)
115 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
11622, 115rngacl 15646 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( a
( +g  `  S ) b )  e.  (
Base `  S )
)
117110, 113, 114, 116syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( +g  `  S ) b )  e.  (
Base `  S )
)
118 simpr3 965 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  c  e.  ( Base `  Y )
)
1193, 20, 21, 22, 110, 111, 112, 117, 118prdsvscaval 13656 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( +g  `  S
) b ) ( .s `  Y ) c )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( a ( +g  `  S ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) ) )
120823adantr2 1117 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) c )  e.  ( Base `  Y
) )
1215adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  R :
I --> LMod )
1223, 20, 21, 22, 110, 111, 121, 114, 118, 104prdsvscacl 15999 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( b
( .s `  Y
) c )  e.  ( Base `  Y
) )
1233, 20, 110, 111, 112, 120, 122, 57prdsplusgval 13650 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( .s `  Y ) c ) ( +g  `  Y
) ( b ( .s `  Y ) c ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( ( a ( .s `  Y
) c ) `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( ( b ( .s `  Y ) c ) `
 y ) ) ) )
124109, 119, 1233eqtr4d 2446 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( +g  `  S
) b ) ( .s `  Y ) c )  =  ( ( a ( .s
`  Y ) c ) ( +g  `  Y
) ( b ( .s `  Y ) c ) ) )
12594oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( .s `  ( R `  y ) ) ( ( b ( .s `  Y
) c ) `  y ) )  =  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( b ( .s `  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ) )
126 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  =  ( .r `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )
12750, 52, 53, 54, 126lmodvsass 15930 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  LMod  /\  (
a  e.  ( Base `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  /\  b  e.  (
Base `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  /\  (
c `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) ) )  -> 
( ( a ( .r `  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) )  =  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( b ( .s `  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ) )
12896, 98, 99, 100, 127syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .r
`  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) )  =  ( a ( .s `  ( R `  y )
) ( b ( .s `  ( R `
 y ) ) ( c `  y
) ) ) )
129104fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( .r `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  ( .r `  S ) )
130129oveqd 6057 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a ( .r `  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b )  =  ( a ( .r `  S ) b ) )
131130oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .r
`  (Scalar `  ( R `  y ) ) ) b ) ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) )  =  ( ( a ( .r `  S ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) )
132125, 128, 1313eqtr2rd 2443 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( Base `  S )  /\  b  e.  ( Base `  S
)  /\  c  e.  ( Base `  Y )
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( a ( .r
`  S ) b ) ( .s `  ( R `  y ) ) ( c `  y ) )  =  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( ( b ( .s
`  Y ) c ) `  y ) ) )
133132mpteq2dva 4255 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( y  e.  I  |->  ( ( a ( .r `  S ) b ) ( .s `  ( R `  y )
) ( c `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( a ( .s `  ( R `
 y ) ) ( ( b ( .s `  Y ) c ) `  y
) ) ) )
134 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
13522, 134rngcl 15632 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )
)  ->  ( a
( .r `  S
) b )  e.  ( Base `  S
) )
136110, 113, 114, 135syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .r `  S
) b )  e.  ( Base `  S
) )
1373, 20, 21, 22, 110, 111, 112, 136, 118prdsvscaval 13656 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( .r `  S ) b ) ( .s `  Y
) c )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( a ( .r `  S ) b ) ( .s
`  ( R `  y ) ) ( c `  y ) ) ) )
1383, 20, 21, 22, 110, 111, 112, 113, 122prdsvscaval 13656 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( a
( .s `  Y
) ( b ( .s `  Y ) c ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( a ( .s
`  ( R `  y ) ) ( ( b ( .s
`  Y ) c ) `  y ) ) ) )
139133, 137, 1383eqtr4d 2446 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  S
)  /\  b  e.  ( Base `  S )  /\  c  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( (
a ( .r `  S ) b ) ( .s `  Y
) c )  =  ( a ( .s
`  Y ) ( b ( .s `  Y ) c ) ) )
14030fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( 1r `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  ( 1r `  S ) )
141140adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( 1r `  (Scalar `  ( R `  y )
) )  =  ( 1r `  S ) )
142141oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) ( .s `  ( R `
 y ) ) ( a `  y
) )  =  ( ( 1r `  S
) ( .s `  ( R `  y ) ) ( a `  y ) ) )
14334adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  LMod )
1444ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  Ring )
14525ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  _V )
14643ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
147 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  a  e.  ( Base `  Y
) )
148 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
1493, 20, 144, 145, 146, 147, 148prdsbasprj 13649 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
a `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
150 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  (Scalar `  ( R `  y ) ) )  =  ( 1r `  (Scalar `  ( R `  y ) ) )
15150, 52, 53, 150lmodvs1 15933 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  LMod  /\  (
a `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) ( .s `  ( R `
 y ) ) ( a `  y
) )  =  ( a `  y ) )
152143, 149, 151syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  ( R `  y
) ) ) ( .s `  ( R `
 y ) ) ( a `  y
) )  =  ( a `  y ) )
153142, 152eqtr3d 2438 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( Base `  Y
) )  /\  y  e.  I )  ->  (
( 1r `  S
) ( .s `  ( R `  y ) ) ( a `  y ) )  =  ( a `  y
) )
154153mpteq2dva 4255 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( y  e.  I  |->  ( ( 1r `  S ) ( .s `  ( R `  y )
) ( a `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( a `  y ) ) )
1554adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  S  e.  Ring )
15625adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  I  e.  _V )
15743adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  R  Fn  I )
158 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  S )  =  ( 1r `  S
)
15922, 158rngidcl 15639 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Ring  ->  ( 1r
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
1604, 159syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  S
)  e.  ( Base `  S ) )
161160adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( 1r `  S )  e.  (
Base `  S )
)
162 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  a  e.  ( Base `  Y )
)
1633, 20, 21, 22, 155, 156, 157, 161, 162prdsvscaval 13656 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( ( 1r `  S ) ( .s `  Y ) a )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( 1r `  S
) ( .s `  ( R `  y ) ) ( a `  y ) ) ) )
1643, 20, 155, 156, 157, 162prdsbasfn 13648 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  a  Fn  I )
165 dffn5 5731 . . . 4  |-  ( a  Fn  I  <->  a  =  ( y  e.  I  |->  ( a `  y
) ) )
166164, 165sylib 189 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  a  =  ( y  e.  I  |->  ( a `  y
) ) )
167154, 163, 1663eqtr4d 2446 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( ( 1r `  S ) ( .s `  Y ) a )  =  a )
1681, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 4, 19, 33, 85, 124, 139, 167islmodd 15911 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    C_ wss 3280    e. cmpt 4226    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   X_scprds 13624   Grpcgrp 14640   Ringcrg 15615   1rcur 15617   LModclmod 15905
This theorem is referenced by:  pwslmod  16001  dsmmlss  27078  dsmmlmod  27079
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-lmod 15907
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