MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsleval Structured version   Unicode version

Theorem prdsleval 14746
Description: Value of the product ordering in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbasmpt.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbasmpt.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbasmpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsbasmpt.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
prdsplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
prdsleval.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
Assertion
Ref Expression
prdsleval  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, G    ph, x    x, I    x, V    x, R    x, S    x, W    x, Y
Allowed substitution hint:    .<_ ( x)

Proof of Theorem prdsleval
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4434 . . 3  |-  ( F 
.<_  G  <->  <. F ,  G >.  e.  .<_  )
2 prdsbasmpt.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
3 prdsbasmpt.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsbasmpt.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
5 prdsbasmpt.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 fnex 6120 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
74, 5, 6syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
8 prdsbasmpt.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
9 fndm 5666 . . . . . . 7  |-  ( R  Fn  I  ->  dom  R  =  I )
104, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
11 prdsleval.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  Y )
122, 3, 7, 8, 10, 11prdsle 14731 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) } )
13 vex 3096 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
14 vex 3096 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
1513, 14prss 4165 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B )  <->  { f ,  g } 
C_  B )
1615anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) )  <->  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )
1716opabbii 4497 . . . . 5  |-  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }
1812, 17syl6eqr 2500 . . . 4  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) } )
1918eleq2d 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  e.  .<_ 
<-> 
<. F ,  G >.  e. 
{ <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  B  /\  g  e.  B )  /\  A. x  e.  I 
( f `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) } ) )
201, 19syl5bb 257 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  <. F ,  G >.  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) } ) )
21 prdsplusgval.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
22 prdsplusgval.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
23 fveq1 5851 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
24 fveq1 5851 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  x )  =  ( G `  x ) )
2523, 24breqan12d 4448 . . . . 5  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x )  <-> 
( F `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2625ralbidv 2880 . . . 4  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x )  <->  A. x  e.  I 
( F `  x
) ( le `  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2726opelopab2a 4748 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( <. F ,  G >.  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2821, 22, 27syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. F ,  G >.  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  B  /\  g  e.  B
)  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) }  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
2920, 28bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) ( le
`  ( R `  x ) ) ( G `  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   _Vcvv 3093    C_ wss 3458   {cpr 4012   <.cop 4016   class class class wbr 4433   {copab 4490   dom cdm 4985    Fn wfn 5569   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   lecple 14576   X_scprds 14715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-hom 14593  df-cco 14594  df-prds 14717
This theorem is referenced by:  xpsle  14850
  Copyright terms: Public domain W3C validator