Theorem prdsless 14732

Description: Closure of the order relation on a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbas.p	|- P = ( S X_s R )
prdsbas.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbas.r	|- ( ph -> R e. W )
prdsbas.b	|- B = ( Base ` P )
prdsbas.i	|- ( ph -> dom R = I )
prdsle.l	|- .<_ = ( le ` P )

Assertion

Ref	Expression
prdsless	|- ( ph -> .<_ C_ ( B X. B ) )

Proof of Theorem prdsless

Dummy variables f g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbas.p	. . 3 |- P = ( S X_s R )
2		prdsbas.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
3		prdsbas.r	. . 3 |- ( ph -> R e. W )
4		prdsbas.b	. . 3 |- B = ( Base ` P )
5		prdsbas.i	. . 3 |- ( ph -> dom R = I )
6		prdsle.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` P )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	prdsle 14731	. 2 |- ( ph -> .<_ = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } )
8		vex 3096	. . . . . 6 |- f e. _V
9		vex 3096	. . . . . 6 |- g e. _V
10	8, 9	prss 4165	. . . . 5 |- ( ( f e. B /\ g e. B ) <-> { f , g } C_ B )
11	10	anbi1i 695	. . . 4 |- ( ( ( f e. B /\ g e. B ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) <-> ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
12	11	opabbii 4497	. . 3 |- { <. f , g >. | ( ( f e. B /\ g e. B ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) }
13		opabssxp 5060	. . 3 |- { <. f , g >. | ( ( f e. B /\ g e. B ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } C_ ( B X. B )
14	12, 13	eqsstr3i 3517	. 2 |- { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } C_ ( B X. B )
15	7, 14	syl6eqss 3536	1 |- ( ph -> .<_ C_ ( B X. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1381   e. wcel 1802   A.wral 2791   C_ wss 3458   {cpr 4012   class class class wbr 4433   {copab 4490   X. cxp 4983   dom cdm 4985   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   lecple 14576   X__scprds 14715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-hom 14593  df-cco 14594  df-prds 14717

This theorem is referenced by: (None)