Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsinvlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem prdsinvlem 16872
 Description: Characterization of inverses in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsinvlem.y s
prdsinvlem.b
prdsinvlem.p
prdsinvlem.s
prdsinvlem.i
prdsinvlem.r
prdsinvlem.f
prdsinvlem.z
prdsinvlem.n
Assertion
Ref Expression
prdsinvlem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdsinvlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsinvlem.n . . 3
2 prdsinvlem.r . . . . . . 7
32ffvelrnda 6037 . . . . . 6
4 prdsinvlem.y . . . . . . 7 s
5 prdsinvlem.b . . . . . . 7
6 prdsinvlem.s . . . . . . . 8
76adantr 472 . . . . . . 7
8 prdsinvlem.i . . . . . . . 8
98adantr 472 . . . . . . 7
10 ffn 5739 . . . . . . . . 9
112, 10syl 17 . . . . . . . 8
1211adantr 472 . . . . . . 7
13 prdsinvlem.f . . . . . . . 8
1413adantr 472 . . . . . . 7
15 simpr 468 . . . . . . 7
164, 5, 7, 9, 12, 14, 15prdsbasprj 15448 . . . . . 6
17 eqid 2471 . . . . . . 7
18 eqid 2471 . . . . . . 7
1917, 18grpinvcl 16789 . . . . . 6
203, 16, 19syl2anc 673 . . . . 5
2120ralrimiva 2809 . . . 4
224, 5, 6, 8, 11prdsbasmpt 15446 . . . 4
2321, 22mpbird 240 . . 3
241, 23syl5eqel 2553 . 2
252ffvelrnda 6037 . . . . . 6
266adantr 472 . . . . . . 7
278adantr 472 . . . . . . 7
2811adantr 472 . . . . . . 7
2913adantr 472 . . . . . . 7
30 simpr 468 . . . . . . 7
314, 5, 26, 27, 28, 29, 30prdsbasprj 15448 . . . . . 6
32 eqid 2471 . . . . . . 7
33 eqid 2471 . . . . . . 7
34 eqid 2471 . . . . . . 7
35 eqid 2471 . . . . . . 7
3632, 33, 34, 35grplinv 16790 . . . . . 6
3725, 31, 36syl2anc 673 . . . . 5
38 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
3938fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
40 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
4139, 40fveq12d 5885 . . . . . . . 8
42 fvex 5889 . . . . . . . 8
4341, 1, 42fvmpt 5963 . . . . . . 7
4443adantl 473 . . . . . 6
4544oveq1d 6323 . . . . 5
46 prdsinvlem.z . . . . . . 7
4746fveq1i 5880 . . . . . 6
48 fvco2 5955 . . . . . . 7
4911, 48sylan 479 . . . . . 6
5047, 49syl5eq 2517 . . . . 5
5137, 45, 503eqtr4d 2515 . . . 4
5251mpteq2dva 4482 . . 3
53 prdsinvlem.p . . . 4
544, 5, 6, 8, 11, 24, 13, 53prdsplusgval 15449 . . 3
55 fn0g 16583 . . . . . . 7
5655a1i 11 . . . . . 6
57 ssv 3438 . . . . . . 7
5857a1i 11 . . . . . 6
59 fnco 5694 . . . . . 6
6056, 11, 58, 59syl3anc 1292 . . . . 5
6146fneq1i 5680 . . . . 5
6260, 61sylibr 217 . . . 4
63 dffn5 5924 . . . 4
6462, 63sylib 201 . . 3
6552, 54, 643eqtr4d 2515 . 2
6624, 65jca 541 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   wss 3390   cmpt 4454   crn 4840   ccom 4843   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cbs 15199   cplusg 15268  c0g 15416  scprds 15422  cgrp 16747  cminusg 16748 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-prds 15424  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752 This theorem is referenced by:  prdsgrpd  16873  prdsinvgd  16874
 Copyright terms: Public domain W3C validator