MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsinvgd2 Structured version   Unicode version

Theorem prdsinvgd2 19247
Description: Negation of a single coordinate in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsinvgd2.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsinvgd2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsinvgd2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsinvgd2.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
prdsinvgd2.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsinvgd2.n  |-  N  =  ( invg `  Y )
prdsinvgd2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
prdsinvgd2.j  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
Assertion
Ref Expression
prdsinvgd2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X ) `  J
)  =  ( ( invg `  ( R `  J )
) `  ( X `  J ) ) )

Proof of Theorem prdsinvgd2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsinvgd2.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsinvgd2.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 prdsinvgd2.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsinvgd2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
5 prdsinvgd2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
6 prdsinvgd2.n . . . 4  |-  N  =  ( invg `  Y )
7 prdsinvgd2.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7prdsinvgd 16739 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  x )
) `  ( X `  x ) ) ) )
98fveq1d 5827 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X ) `  J
)  =  ( ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  x ) ) `  ( X `
 x ) ) ) `  J ) )
10 prdsinvgd2.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
11 fveq2 5825 . . . . . 6  |-  ( x  =  J  ->  ( R `  x )  =  ( R `  J ) )
1211fveq2d 5829 . . . . 5  |-  ( x  =  J  ->  ( invg `  ( R `
 x ) )  =  ( invg `  ( R `  J
) ) )
13 fveq2 5825 . . . . 5  |-  ( x  =  J  ->  ( X `  x )  =  ( X `  J ) )
1412, 13fveq12d 5831 . . . 4  |-  ( x  =  J  ->  (
( invg `  ( R `  x ) ) `  ( X `
 x ) )  =  ( ( invg `  ( R `
 J ) ) `
 ( X `  J ) ) )
15 eqid 2428 . . . 4  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  x )
) `  ( X `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) )
16 fvex 5835 . . . 4  |-  ( ( invg `  ( R `  J )
) `  ( X `  J ) )  e. 
_V
1714, 15, 16fvmpt 5908 . . 3  |-  ( J  e.  I  ->  (
( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  x
) ) `  ( X `  x )
) ) `  J
)  =  ( ( invg `  ( R `  J )
) `  ( X `  J ) ) )
1810, 17syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) ) `
 J )  =  ( ( invg `  ( R `  J
) ) `  ( X `  J )
) )
199, 18eqtrd 2462 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X ) `  J
)  =  ( ( invg `  ( R `  J )
) `  ( X `  J ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872    |-> cmpt 4425   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Basecbs 15064   X_scprds 15287   Grpcgrp 16612   invgcminusg 16613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-fz 11736  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-hom 15157  df-cco 15158  df-0g 15283  df-prds 15289  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-grp 16616  df-minusg 16617
This theorem is referenced by:  dsmmsubg  19248
  Copyright terms: Public domain W3C validator