MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsinvgd2 Structured version   Unicode version

Theorem prdsinvgd2 18179
Description: Negation of a single coordinate in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsinvgd2.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsinvgd2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsinvgd2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsinvgd2.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
prdsinvgd2.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsinvgd2.n  |-  N  =  ( invg `  Y )
prdsinvgd2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
prdsinvgd2.j  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
Assertion
Ref Expression
prdsinvgd2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X ) `  J
)  =  ( ( invg `  ( R `  J )
) `  ( X `  J ) ) )

Proof of Theorem prdsinvgd2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsinvgd2.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsinvgd2.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 prdsinvgd2.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsinvgd2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
5 prdsinvgd2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
6 prdsinvgd2.n . . . 4  |-  N  =  ( invg `  Y )
7 prdsinvgd2.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7prdsinvgd 15677 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  x )
) `  ( X `  x ) ) ) )
98fveq1d 5705 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X ) `  J
)  =  ( ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  x ) ) `  ( X `
 x ) ) ) `  J ) )
10 prdsinvgd2.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
11 fveq2 5703 . . . . . 6  |-  ( x  =  J  ->  ( R `  x )  =  ( R `  J ) )
1211fveq2d 5707 . . . . 5  |-  ( x  =  J  ->  ( invg `  ( R `
 x ) )  =  ( invg `  ( R `  J
) ) )
13 fveq2 5703 . . . . 5  |-  ( x  =  J  ->  ( X `  x )  =  ( X `  J ) )
1412, 13fveq12d 5709 . . . 4  |-  ( x  =  J  ->  (
( invg `  ( R `  x ) ) `  ( X `
 x ) )  =  ( ( invg `  ( R `
 J ) ) `
 ( X `  J ) ) )
15 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  x )
) `  ( X `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) )
16 fvex 5713 . . . 4  |-  ( ( invg `  ( R `  J )
) `  ( X `  J ) )  e. 
_V
1714, 15, 16fvmpt 5786 . . 3  |-  ( J  e.  I  ->  (
( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  x
) ) `  ( X `  x )
) ) `  J
)  =  ( ( invg `  ( R `  J )
) `  ( X `  J ) ) )
1810, 17syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) ) `
 J )  =  ( ( invg `  ( R `  J
) ) `  ( X `  J )
) )
199, 18eqtrd 2475 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X ) `  J
)  =  ( ( invg `  ( R `  J )
) `  ( X `  J ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    e. cmpt 4362   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   X_scprds 14396   Grpcgrp 15422   invgcminusg 15423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-fz 11450  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-hom 14274  df-cco 14275  df-0g 14392  df-prds 14398  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-minusg 15558
This theorem is referenced by:  dsmmsubg  18180
  Copyright terms: Public domain W3C validator