MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsinvgd Structured version   Unicode version

Theorem prdsinvgd 15753
Description: Negation in a product of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgrpd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsgrpd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsgrpd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsgrpd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
prdsinvgd.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsinvgd.n  |-  N  =  ( invg `  Y )
prdsinvgd.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
prdsinvgd  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  x )
) `  ( X `  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, I    ph, x    x, R    x, S    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    N( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem prdsinvgd
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgrpd.y . . . . 5  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsinvgd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
4 prdsgrpd.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
5 elex 3063 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
7 prdsgrpd.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
8 elex 3063 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  I  e.  _V )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
10 prdsgrpd.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
11 prdsinvgd.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
12 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( 0g  o.  R )  =  ( 0g  o.  R
)
13 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  x )
) `  ( X `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) )
141, 2, 3, 6, 9, 10, 11, 12, 13prdsinvlem 15751 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) )  e.  B  /\  (
( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  x
) ) `  ( X `  x )
) ) ( +g  `  Y ) X )  =  ( 0g  o.  R ) ) )
1514simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) ) ( +g  `  Y
) X )  =  ( 0g  o.  R
) )
16 grpmnd 15638 . . . . . 6  |-  ( a  e.  Grp  ->  a  e.  Mnd )
1716ssriv 3444 . . . . 5  |-  Grp  C_  Mnd
18 fss 5651 . . . . 5  |-  ( ( R : I --> Grp  /\  Grp  C_  Mnd )  ->  R : I --> Mnd )
1910, 17, 18sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
201, 7, 4, 19prds0g 15543 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( 0g
`  Y ) )
2115, 20eqtrd 2490 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) ) ( +g  `  Y
) X )  =  ( 0g `  Y
) )
221, 7, 4, 10prdsgrpd 15752 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
2314simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  x
) ) `  ( X `  x )
) )  e.  B
)
24 eqid 2450 . . . 4  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
25 prdsinvgd.n . . . 4  |-  N  =  ( invg `  Y )
262, 3, 24, 25grpinvid2 15675 . . 3  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  x
) ) `  ( X `  x )
) )  e.  B
)  ->  ( ( N `  X )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) )  <-> 
( ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) ) ( +g  `  Y
) X )  =  ( 0g `  Y
) ) )
2722, 11, 23, 26syl3anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  x ) ) `  ( X `
 x ) ) )  <->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  x )
) `  ( X `  x ) ) ) ( +g  `  Y
) X )  =  ( 0g `  Y
) ) )
2821, 27mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  x )
) `  ( X `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1757   _Vcvv 3054    C_ wss 3412    |-> cmpt 4434    o. ccom 4928   -->wf 5498   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   Basecbs 14262   +g cplusg 14326   0gc0g 14466   X_scprds 14472   Mndcmnd 15497   Grpcgrp 15498   invgcminusg 15499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-ixp 7350  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-sup 7778  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-fz 11525  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-sca 14342  df-vsca 14343  df-ip 14344  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-hom 14350  df-cco 14351  df-0g 14468  df-prds 14474  df-mnd 15503  df-grp 15633  df-minusg 15634
This theorem is referenced by:  pwsinvg  15755  prdsinvgd2  18262  prdstgpd  19797
  Copyright terms: Public domain W3C validator