Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsidlem Structured version   Unicode version

Theorem prdsidlem 16276
 Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y s
prdsplusgcl.b
prdsplusgcl.p
prdsplusgcl.s
prdsplusgcl.i
prdsplusgcl.r
prdsidlem.z
Assertion
Ref Expression
prdsidlem
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem prdsidlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsidlem.z . . . 4
2 fvex 5859 . . . . . 6
32a1i 11 . . . . 5
4 prdsplusgcl.r . . . . . 6
54feqmptd 5902 . . . . 5
6 fn0g 16213 . . . . . . 7
76a1i 11 . . . . . 6
8 dffn5 5894 . . . . . 6
97, 8sylib 196 . . . . 5
10 fveq2 5849 . . . . 5
113, 5, 9, 10fmptco 6043 . . . 4
121, 11syl5eq 2455 . . 3
134ffvelrnda 6009 . . . . . 6
14 eqid 2402 . . . . . . 7
15 eqid 2402 . . . . . . 7
1614, 15mndidcl 16262 . . . . . 6
1713, 16syl 17 . . . . 5
1817ralrimiva 2818 . . . 4
19 prdsplusgcl.y . . . . 5 s
20 prdsplusgcl.b . . . . 5
21 prdsplusgcl.s . . . . 5
22 prdsplusgcl.i . . . . 5
23 ffn 5714 . . . . . 6
244, 23syl 17 . . . . 5
2519, 20, 21, 22, 24prdsbasmpt 15084 . . . 4
2618, 25mpbird 232 . . 3
2712, 26eqeltrd 2490 . 2
281fveq1i 5850 . . . . . . . . . 10
29 fvco2 5924 . . . . . . . . . . 11
3024, 29sylan 469 . . . . . . . . . 10
3128, 30syl5eq 2455 . . . . . . . . 9
3231adantlr 713 . . . . . . . 8
3332oveq1d 6293 . . . . . . 7
344adantr 463 . . . . . . . . 9
3534ffvelrnda 6009 . . . . . . . 8
3621ad2antrr 724 . . . . . . . . 9
3722ad2antrr 724 . . . . . . . . 9
3824ad2antrr 724 . . . . . . . . 9
39 simplr 754 . . . . . . . . 9
40 simpr 459 . . . . . . . . 9
4119, 20, 36, 37, 38, 39, 40prdsbasprj 15086 . . . . . . . 8
42 eqid 2402 . . . . . . . . 9
4314, 42, 15mndlid 16265 . . . . . . . 8
4435, 41, 43syl2anc 659 . . . . . . 7
4533, 44eqtrd 2443 . . . . . 6
4645mpteq2dva 4481 . . . . 5
4721adantr 463 . . . . . 6
4822adantr 463 . . . . . 6
4924adantr 463 . . . . . 6
5027adantr 463 . . . . . 6
51 simpr 459 . . . . . 6
52 prdsplusgcl.p . . . . . 6
5319, 20, 47, 48, 49, 50, 51, 52prdsplusgval 15087 . . . . 5
5419, 20, 47, 48, 49, 51prdsbasfn 15085 . . . . . 6
55 dffn5 5894 . . . . . 6
5654, 55sylib 196 . . . . 5
5746, 53, 563eqtr4d 2453 . . . 4
5832oveq2d 6294 . . . . . . 7
5914, 42, 15mndrid 16266 . . . . . . . 8
6035, 41, 59syl2anc 659 . . . . . . 7
6158, 60eqtrd 2443 . . . . . 6
6261mpteq2dva 4481 . . . . 5
6319, 20, 47, 48, 49, 51, 50, 52prdsplusgval 15087 . . . . 5
6462, 63, 563eqtr4d 2453 . . . 4
6557, 64jca 530 . . 3
6665ralrimiva 2818 . 2
6727, 66jca 530 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754  cvv 3059   cmpt 4453   ccom 4827   wfn 5564  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278  cbs 14841   cplusg 14909  c0g 15054  scprds 15060  cmnd 16243 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-hom 14933  df-cco 14934  df-0g 15056  df-prds 15062  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245 This theorem is referenced by:  prdsmndd  16277  prds0g  16278
 Copyright terms: Public domain W3C validator