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Theorem prdsidlem 16276
Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsplusgcl.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsplusgcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
prdsplusgcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsplusgcl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsplusgcl.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
prdsidlem.z  |-  .0.  =  ( 0g  o.  R
)
Assertion
Ref Expression
prdsidlem  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  B  /\  A. x  e.  B  ( (  .0.  .+  x )  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x
) ) )
Distinct variable groups:    x,  .+    x, B    x, I    x, R    ph, x    x, S    x, V    x, W    x, Y
Allowed substitution hint:    .0. ( x)

Proof of Theorem prdsidlem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsidlem.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g  o.  R
)
2 fvex 5859 . . . . . 6  |-  ( R `
 y )  e. 
_V
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  _V )
4 prdsplusgcl.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
54feqmptd 5902 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  =  ( y  e.  I  |->  ( R `
 y ) ) )
6 fn0g 16213 . . . . . . 7  |-  0g  Fn  _V
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0g  Fn  _V )
8 dffn5 5894 . . . . . 6  |-  ( 0g  Fn  _V  <->  0g  =  ( x  e.  _V  |->  ( 0g `  x ) ) )
97, 8sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0g  =  ( x  e.  _V  |->  ( 0g
`  x ) ) )
10 fveq2 5849 . . . . 5  |-  ( x  =  ( R `  y )  ->  ( 0g `  x )  =  ( 0g `  ( R `  y )
) )
113, 5, 9, 10fmptco 6043 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( y  e.  I  |->  ( 0g
`  ( R `  y ) ) ) )
121, 11syl5eq 2455 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( y  e.  I  |->  ( 0g
`  ( R `  y ) ) ) )
134ffvelrnda 6009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
14 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
15 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  ( R `  y ) )  =  ( 0g `  ( R `  y )
)
1614, 15mndidcl 16262 . . . . . 6  |-  ( ( R `  y )  e.  Mnd  ->  ( 0g `  ( R `  y ) )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
1713, 16syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( 0g `  ( R `  y ) )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
1817ralrimiva 2818 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  I 
( 0g `  ( R `  y )
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) )
19 prdsplusgcl.y . . . . 5  |-  Y  =  ( S X_s R )
20 prdsplusgcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
21 prdsplusgcl.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
22 prdsplusgcl.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
23 ffn 5714 . . . . . 6  |-  ( R : I --> Mnd  ->  R  Fn  I )
244, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
2519, 20, 21, 22, 24prdsbasmpt 15084 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  I  |->  ( 0g `  ( R `  y ) ) )  e.  B  <->  A. y  e.  I  ( 0g `  ( R `
 y ) )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) ) )
2618, 25mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  I  |->  ( 0g `  ( R `  y )
) )  e.  B
)
2712, 26eqeltrd 2490 . 2  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
281fveq1i 5850 . . . . . . . . . 10  |-  (  .0.  `  y )  =  ( ( 0g  o.  R
) `  y )
29 fvco2 5924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Fn  I  /\  y  e.  I )  ->  ( ( 0g  o.  R ) `  y
)  =  ( 0g
`  ( R `  y ) ) )
3024, 29sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( 0g  o.  R
) `  y )  =  ( 0g `  ( R `  y ) ) )
3128, 30syl5eq 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (  .0.  `  y )  =  ( 0g `  ( R `  y )
) )
3231adantlr 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (  .0.  `  y )  =  ( 0g `  ( R `  y )
) )
3332oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
(  .0.  `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( ( 0g `  ( R `  y ) ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) ) )
344adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  R : I --> Mnd )
3534ffvelrnda 6009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
3621ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  V )
3722ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  W )
3824ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
39 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  x  e.  B )
40 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
4119, 20, 36, 37, 38, 39, 40prdsbasprj 15086 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
x `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
42 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  ( R `  y
) )  =  ( +g  `  ( R `
 y ) )
4314, 42, 15mndlid 16265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  Mnd  /\  ( x `  y
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) )  -> 
( ( 0g `  ( R `  y ) ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( x `  y
) )
4435, 41, 43syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( 0g `  ( R `  y )
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( x `  y
) )
4533, 44eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
(  .0.  `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( x `  y
) )
4645mpteq2dva 4481 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  I  |->  ( (  .0.  `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y ) ) )
4721adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  S  e.  V )
4822adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  I  e.  W )
4924adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  R  Fn  I )
5027adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .0.  e.  B )
51 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
52 prdsplusgcl.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
5319, 20, 47, 48, 49, 50, 51, 52prdsplusgval 15087 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  ( y  e.  I  |->  ( (  .0.  `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( x `
 y ) ) ) )
5419, 20, 47, 48, 49, 51prdsbasfn 15085 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  Fn  I )
55 dffn5 5894 . . . . . 6  |-  ( x  Fn  I  <->  x  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y
) ) )
5654, 55sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y ) ) )
5746, 53, 563eqtr4d 2453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
5832oveq2d 6294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) (  .0.  `  y ) )  =  ( ( x `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( 0g
`  ( R `  y ) ) ) )
5914, 42, 15mndrid 16266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  Mnd  /\  ( x `  y
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) )  -> 
( ( x `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( 0g
`  ( R `  y ) ) )  =  ( x `  y ) )
6035, 41, 59syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( 0g `  ( R `  y ) ) )  =  ( x `  y ) )
6158, 60eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) (  .0.  `  y ) )  =  ( x `  y
) )
6261mpteq2dva 4481 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  I  |->  ( ( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) (  .0.  `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y ) ) )
6319, 20, 47, 48, 49, 51, 50, 52prdsplusgval 15087 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( x `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) (  .0.  `  y
) ) ) )
6462, 63, 563eqtr4d 2453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  x )
6557, 64jca 530 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
(  .0.  .+  x
)  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x ) )
6665ralrimiva 2818 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( (  .0.  .+  x )  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x
) )
6727, 66jca 530 1  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  B  /\  A. x  e.  B  ( (  .0.  .+  x )  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059    |-> cmpt 4453    o. ccom 4827    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   0gc0g 15054   X_scprds 15060   Mndcmnd 16243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-hom 14933  df-cco 14934  df-0g 15056  df-prds 15062  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245
This theorem is referenced by:  prdsmndd  16277  prds0g  16278
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