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Theorem prdsidlem 15564
Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsplusgcl.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsplusgcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
prdsplusgcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsplusgcl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsplusgcl.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
prdsidlem.z  |-  .0.  =  ( 0g  o.  R
)
Assertion
Ref Expression
prdsidlem  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  B  /\  A. x  e.  B  ( (  .0.  .+  x )  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x
) ) )
Distinct variable groups:    x,  .+    x, B    x, I    x, R    ph, x    x, S    x, V    x, W    x, Y
Allowed substitution hint:    .0. ( x)

Proof of Theorem prdsidlem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsidlem.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g  o.  R
)
2 fvex 5802 . . . . . 6  |-  ( R `
 y )  e. 
_V
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  _V )
4 prdsplusgcl.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
54feqmptd 5846 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  =  ( y  e.  I  |->  ( R `
 y ) ) )
6 fn0g 15544 . . . . . . 7  |-  0g  Fn  _V
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0g  Fn  _V )
8 dffn5 5839 . . . . . 6  |-  ( 0g  Fn  _V  <->  0g  =  ( x  e.  _V  |->  ( 0g `  x ) ) )
97, 8sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0g  =  ( x  e.  _V  |->  ( 0g
`  x ) ) )
10 fveq2 5792 . . . . 5  |-  ( x  =  ( R `  y )  ->  ( 0g `  x )  =  ( 0g `  ( R `  y )
) )
113, 5, 9, 10fmptco 5978 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( y  e.  I  |->  ( 0g
`  ( R `  y ) ) ) )
121, 11syl5eq 2504 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( y  e.  I  |->  ( 0g
`  ( R `  y ) ) ) )
134ffvelrnda 5945 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
14 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
15 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  ( R `  y ) )  =  ( 0g `  ( R `  y )
)
1614, 15mndidcl 15550 . . . . . 6  |-  ( ( R `  y )  e.  Mnd  ->  ( 0g `  ( R `  y ) )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
1713, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( 0g `  ( R `  y ) )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
1817ralrimiva 2825 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  I 
( 0g `  ( R `  y )
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) )
19 prdsplusgcl.y . . . . 5  |-  Y  =  ( S X_s R )
20 prdsplusgcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
21 prdsplusgcl.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
22 prdsplusgcl.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
23 ffn 5660 . . . . . 6  |-  ( R : I --> Mnd  ->  R  Fn  I )
244, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
2519, 20, 21, 22, 24prdsbasmpt 14519 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  I  |->  ( 0g `  ( R `  y ) ) )  e.  B  <->  A. y  e.  I  ( 0g `  ( R `
 y ) )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) ) )
2618, 25mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  I  |->  ( 0g `  ( R `  y )
) )  e.  B
)
2712, 26eqeltrd 2539 . 2  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
281fveq1i 5793 . . . . . . . . . 10  |-  (  .0.  `  y )  =  ( ( 0g  o.  R
) `  y )
29 fvco2 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Fn  I  /\  y  e.  I )  ->  ( ( 0g  o.  R ) `  y
)  =  ( 0g
`  ( R `  y ) ) )
3024, 29sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( 0g  o.  R
) `  y )  =  ( 0g `  ( R `  y ) ) )
3128, 30syl5eq 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (  .0.  `  y )  =  ( 0g `  ( R `  y )
) )
3231adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (  .0.  `  y )  =  ( 0g `  ( R `  y )
) )
3332oveq1d 6208 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
(  .0.  `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( ( 0g `  ( R `  y ) ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) ) )
344adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  R : I --> Mnd )
3534ffvelrnda 5945 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
3621ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  V )
3722ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  W )
3824ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
39 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  x  e.  B )
40 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
4119, 20, 36, 37, 38, 39, 40prdsbasprj 14521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
x `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
42 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  ( R `  y
) )  =  ( +g  `  ( R `
 y ) )
4314, 42, 15mndlid 15552 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  Mnd  /\  ( x `  y
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) )  -> 
( ( 0g `  ( R `  y ) ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( x `  y
) )
4435, 41, 43syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( 0g `  ( R `  y )
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( x `  y
) )
4533, 44eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
(  .0.  `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( x `  y
) )
4645mpteq2dva 4479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  I  |->  ( (  .0.  `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y ) ) )
4721adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  S  e.  V )
4822adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  I  e.  W )
4924adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  R  Fn  I )
5027adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .0.  e.  B )
51 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
52 prdsplusgcl.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
5319, 20, 47, 48, 49, 50, 51, 52prdsplusgval 14522 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  ( y  e.  I  |->  ( (  .0.  `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( x `
 y ) ) ) )
5419, 20, 47, 48, 49, 51prdsbasfn 14520 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  Fn  I )
55 dffn5 5839 . . . . . 6  |-  ( x  Fn  I  <->  x  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y
) ) )
5654, 55sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y ) ) )
5746, 53, 563eqtr4d 2502 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
5832oveq2d 6209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) (  .0.  `  y ) )  =  ( ( x `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( 0g
`  ( R `  y ) ) ) )
5914, 42, 15mndrid 15553 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  Mnd  /\  ( x `  y
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) )  -> 
( ( x `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( 0g
`  ( R `  y ) ) )  =  ( x `  y ) )
6035, 41, 59syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( 0g `  ( R `  y ) ) )  =  ( x `  y ) )
6158, 60eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) (  .0.  `  y ) )  =  ( x `  y
) )
6261mpteq2dva 4479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  I  |->  ( ( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) (  .0.  `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y ) ) )
6319, 20, 47, 48, 49, 51, 50, 52prdsplusgval 14522 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( x `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) (  .0.  `  y
) ) ) )
6462, 63, 563eqtr4d 2502 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  x )
6557, 64jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
(  .0.  .+  x
)  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x ) )
6665ralrimiva 2825 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( (  .0.  .+  x )  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x
) )
6727, 66jca 532 1  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  B  /\  A. x  e.  B  ( (  .0.  .+  x )  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3071    |-> cmpt 4451    o. ccom 4945    Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   +g cplusg 14349   0gc0g 14489   X_scprds 14495   Mndcmnd 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-hom 14373  df-cco 14374  df-0g 14491  df-prds 14497  df-mnd 15526
This theorem is referenced by:  prdsmndd  15565  prds0g  15566
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