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Theorem prdshom 14711
Description: Structure product hom-sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p  |-  P  =  ( S X_s R )
prdsbas.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbas.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
prdsbas.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
prdsbas.i  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
prdshom.h  |-  H  =  ( Hom  `  P
)
Assertion
Ref Expression
prdshom  |-  ( ph  ->  H  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, B    ph, f, g, x    f, I, g, x    P, f, g, x    R, f, g, x    S, f, g, x
Allowed substitution hints:    H( x, f, g)    V( x, f, g)    W( x, f, g)

Proof of Theorem prdshom
Dummy variables  a 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3  |-  P  =  ( S X_s R )
2 eqid 2460 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 prdsbas.i . . 3  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
4 prdsbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
5 prdsbas.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
6 prdsbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 14701 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
8 eqid 2460 . . . 4  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
91, 4, 5, 6, 3, 8prdsplusg 14702 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +g  `  P
)  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
10 eqid 2460 . . . 4  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
111, 4, 5, 6, 3, 10prdsmulr 14703 . . 3  |-  ( ph  ->  ( .r `  P
)  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
12 eqid 2460 . . . 4  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
131, 4, 5, 6, 3, 2, 12prdsvsca 14704 . . 3  |-  ( ph  ->  ( .s `  P
)  =  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) ) )
14 eqidd 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) ) )
15 eqid 2460 . . . 4  |-  (TopSet `  P )  =  (TopSet `  P )
161, 4, 5, 6, 3, 15prdstset 14710 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  P )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
17 eqid 2460 . . . 4  |-  ( le
`  P )  =  ( le `  P
)
181, 4, 5, 6, 3, 17prdsle 14706 . . 3  |-  ( ph  ->  ( le `  P
)  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) } )
19 eqid 2460 . . . 4  |-  ( dist `  P )  =  (
dist `  P )
201, 4, 5, 6, 3, 19prdsds 14708 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dist `  P
)  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
21 eqidd 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
22 eqidd 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )  =  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) )
231, 2, 3, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 4, 5prdsval 14699 . 2  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( .r `  P ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  P
) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  (TopSet `  P
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  P
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( dist `  P
) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
24 prdshom.h . 2  |-  H  =  ( Hom  `  P
)
25 homid 14660 . 2  |-  Hom  = Slot  ( Hom  `  ndx )
26 ovssunirn 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  ( Hom  `  ( R `  x )
)
2725strfvss 14497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Hom  `  ( R `  x
) )  C_  U. ran  ( R `  x )
28 fvssunirn 5880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R `
 x )  C_  U.
ran  R
29 rnss 5222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R `  x ) 
C_  U. ran  R  ->  ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R )
30 uniss 4259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R  ->  U. ran  ( R `
 x )  C_  U.
ran  U. ran  R )
3128, 29, 30mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  ( R `  x ) 
C_  U. ran  U. ran  R
3227, 31sstri 3506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Hom  `  ( R `  x
) )  C_  U. ran  U.
ran  R
33 rnss 5222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Hom  `  ( R `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  R  ->  ran  ( Hom  `  ( R `  x )
)  C_  ran  U. ran  U.
ran  R )
34 uniss 4259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( Hom  `  ( R `  x )
)  C_  ran  U. ran  U.
ran  R  ->  U. ran  ( Hom  `  ( R `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  U. ran  R )
3532, 33, 34mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ran  ( Hom  `  ( R `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  U. ran  R
3626, 35sstri 3506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  U. ran  R
3736rgenw 2818 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) )  C_  U. ran  U.
ran  U. ran  R
38 ss2ixp 7472 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
) ( Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  U. ran  R  ->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) 
C_  X_ x  e.  I  U. ran  U. ran  U. ran  R )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) )  C_  X_ x  e.  I  U. ran  U. ran  U. ran  R
40 dmexg 6705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  W  ->  dom  R  e.  _V )
415, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  R  e.  _V )
423, 41eqeltrrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
43 rnexg 6706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  W  ->  ran  R  e.  _V )
44 uniexg 6572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
R  e.  _V  ->  U.
ran  R  e.  _V )
455, 43, 443syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ran  R  e. 
_V )
46 rnexg 6706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  R  e.  _V  ->  ran  U. ran  R  e.  _V )
47 uniexg 6572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
4845, 46, 473syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
49 rnexg 6706 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  U. ran  R  e. 
_V  ->  ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
50 uniexg 6572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V )
5148, 49, 503syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. ran  U. ran  U.
ran  R  e.  _V )
52 ixpconstg 7468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  _V  /\  U.
ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )  ->  X_ x  e.  I  U. ran  U. ran  U. ran  R  =  ( U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5342, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  U. ran  U. ran  U. ran  R  =  ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5439, 53syl5sseq 3545 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) 
C_  ( U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I ) )
55 ovex 6300 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e. 
_V
5655elpw2 4604 . . . . . . 7  |-  ( X_ x  e.  I  (
( f `  x
) ( Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P ( U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  X_ x  e.  I  ( ( f `
 x ) ( Hom  `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) )  C_  ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5754, 56sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) )  e.  ~P ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5857ralrimivw 2872 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. g  e.  B  X_ x  e.  I  ( ( f `  x
) ( Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P ( U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5958ralrimivw 2872 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  X_ x  e.  I  ( ( f `  x
) ( Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P ( U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I ) )
60 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )
6160fmpt2 6841 . . . 4  |-  ( A. f  e.  B  A. g  e.  B  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) )  e.  ~P ( U. ran  U. ran  U.
ran  R  ^m  I )  <-> 
( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ~P ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
6259, 61sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ~P ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
63 fvex 5867 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  e.  _V
646, 63eqeltri 2544 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
6564, 64xpex 6704 . . . 4  |-  ( B  X.  B )  e. 
_V
6665a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  X.  B
)  e.  _V )
6755pwex 4623 . . . 4  |-  ~P ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e.  _V
6867a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ~P ( U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I )  e.  _V )
69 fex2 6729 . . 3  |-  ( ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ~P ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  /\  ( B  X.  B )  e. 
_V  /\  ~P ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e.  _V )  -> 
( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  e.  _V )
7062, 66, 68, 69syl3anc 1223 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  e.  _V )
71 snsspr1 4169 . . . 4  |-  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. }  C_  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. }
72 ssun2 3661 . . . 4  |-  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. }  C_  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  (TopSet `  P
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  P
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( dist `  P
) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } )
7371, 72sstri 3506 . . 3  |-  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. }  C_  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  (TopSet `  P
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  P
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( dist `  P
) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } )
74 ssun2 3661 . . 3  |-  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  (TopSet `  P ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le
`  P ) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( dist `  P ) >. }  u.  {
<. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) 
C_  ( ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( .r `  P ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  P
) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  (TopSet `  P
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  P
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( dist `  P
) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) )
7573, 74sstri 3506 . 2  |-  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. }  C_  (
( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P
) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( .r `  P
) >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  P
) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  (TopSet `  P
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  P
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( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) )
7623, 24, 25, 70, 75prdsvallem 14698 1  |-  ( ph  ->  H  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106    u. cun 3467    C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   {csn 4020   {cpr 4022   {ctp 4024   <.cop 4026   U.cuni 4238    |-> cmpt 4498    X. cxp 4990   dom cdm 4992   ran crn 4993   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   1stc1st 6772   2ndc2nd 6773    ^m cmap 7410   X_cixp 7459   ndxcnx 14476   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   .rcmulr 14545  Scalarcsca 14547   .scvsca 14548   .icip 14549  TopSetcts 14550   lecple 14551   distcds 14553   Hom chom 14555  compcco 14556    gsumg cgsu 14685   X_scprds 14690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-hom 14568  df-cco 14569  df-prds 14692
This theorem is referenced by:  prdsco  14712
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