Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgsumOLD Structured version   Unicode version

Theorem prdsgsumOLD 16879
 Description: Finite commutative sums in a product structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) Obsolete version of prdsgsum 16878 as of 9-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgsumOLD.y s
prdsgsumOLD.b
prdsgsumOLD.z
prdsgsumOLD.i
prdsgsumOLD.j
prdsgsumOLD.s
prdsgsumOLD.r CMnd
prdsgsumOLD.f
prdsgsumOLD.w
Assertion
Ref Expression
prdsgsumOLD g g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem prdsgsumOLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgsumOLD.y . . . 4 s
2 eqid 2467 . . . 4
3 prdsgsumOLD.s . . . 4
4 prdsgsumOLD.i . . . 4
5 prdsgsumOLD.r . . . . . 6 CMnd
6 eqid 2467 . . . . . 6
75, 6fmptd 6056 . . . . 5 CMnd
8 ffn 5737 . . . . 5 CMnd
97, 8syl 16 . . . 4
10 prdsgsumOLD.z . . . . 5
111, 4, 3, 7prdscmnd 16738 . . . . 5 CMnd
12 prdsgsumOLD.j . . . . 5
13 prdsgsumOLD.f . . . . . . . . . 10
1413anassrs 648 . . . . . . . . 9
1514an32s 802 . . . . . . . 8
1615ralrimiva 2881 . . . . . . 7
175ralrimiva 2881 . . . . . . . . 9 CMnd
18 prdsgsumOLD.b . . . . . . . . 9
191, 2, 3, 4, 17, 18prdsbasmpt2 14753 . . . . . . . 8
2019adantr 465 . . . . . . 7
2116, 20mpbird 232 . . . . . 6
22 eqid 2467 . . . . . 6
2321, 22fmptd 6056 . . . . 5
24 prdsgsumOLD.w . . . . 5
252, 10, 11, 12, 23, 24gsumclOLD 16797 . . . 4 g
261, 2, 3, 4, 9, 25prdsbasfn 14742 . . 3 g
27 nfcv 2629 . . . . 5
28 nfcv 2629 . . . . 5 g
29 nfcv 2629 . . . . . 6
30 nfmpt1 4542 . . . . . 6
3129, 30nfmpt 4541 . . . . 5
3227, 28, 31nfov 6318 . . . 4 g
3332dffn5f 5929 . . 3 g g g
3426, 33sylib 196 . 2 g g
35 simpr 461 . . . . . . . 8
3635adantr 465 . . . . . . 7
37 eqid 2467 . . . . . . . 8
3837fvmpt2 5964 . . . . . . 7
3936, 14, 38syl2anc 661 . . . . . 6
4039mpteq2dva 4539 . . . . 5
4140oveq2d 6311 . . . 4 g g
4211adantr 465 . . . . 5 CMnd
43 cmnmnd 16684 . . . . . 6 CMnd
445, 43syl 16 . . . . 5
4512adantr 465 . . . . 5
464adantr 465 . . . . . . 7
473adantr 465 . . . . . . 7
4844, 6fmptd 6056 . . . . . . . 8
4948adantr 465 . . . . . . 7
501, 2, 46, 47, 49, 35prdspjmhm 15869 . . . . . 6 MndHom
516fvmpt2 5964 . . . . . . . 8 CMnd
5235, 5, 51syl2anc 661 . . . . . . 7
5352oveq2d 6311 . . . . . 6 MndHom MndHom
5450, 53eleqtrd 2557 . . . . 5 MndHom
5521adantlr 714 . . . . 5
5624adantr 465 . . . . 5
57 fveq1 5871 . . . . 5
58 fveq1 5871 . . . . 5 g g
592, 10, 42, 44, 45, 54, 55, 56, 57, 58gsummhm2OLD 16833 . . . 4 g g
6041, 59eqtr3d 2510 . . 3 g g
6160mpteq2dva 4539 . 2 g g
6234, 61eqtr4d 2511 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  cvv 3118   cdif 3478  csn 4033   cmpt 4511  ccnv 5004  cima 5008   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cfn 7528  cbs 14506  c0g 14711   g cgsu 14712  scprds 14717  cmnd 15792   MndHom cmhm 15836  CMndccmn 16669 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-hom 14595  df-cco 14596  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-prds 14719  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-mhm 15838  df-cntz 16226  df-cmn 16671 This theorem is referenced by:  pwsgsumOLD  16881
 Copyright terms: Public domain W3C validator