MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgsum Structured version   Unicode version

Theorem prdsgsum 16573
Description: Finite commutative sums in a product structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgsum.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsgsum.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
prdsgsum.z  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
prdsgsum.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
prdsgsum.j  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
prdsgsum.s  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
prdsgsum.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e. CMnd )
prdsgsum.f  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  J ) )  ->  U  e.  B )
prdsgsum.w  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
prdsgsum  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, I    x, J, y    x, Y, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    R( x, y)    S( x, y)    U( x, y)    V( x, y)    W( x, y)    X( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem prdsgsum
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgsum.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 eqid 2451 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
3 prdsgsum.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
4 prdsgsum.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
5 prdsgsum.r . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e. CMnd )
6 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( x  e.  I  |->  R )
75, 6fmptd 5963 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R ) : I -->CMnd )
8 ffn 5654 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  I  |->  R ) : I -->CMnd  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I
)
10 prdsgsum.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
111, 4, 3, 7prdscmnd 16444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e. CMnd )
12 prdsgsum.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
13 prdsgsum.f . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  J ) )  ->  U  e.  B )
1413anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  U  e.  B )
1514an32s 802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  I )  ->  U  e.  B )
1615ralrimiva 2820 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  A. x  e.  I  U  e.  B )
175ralrimiva 2820 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e. CMnd )
18 prdsgsum.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  R
)
191, 2, 3, 4, 17, 18prdsbasmpt2 14519 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  U )  e.  ( Base `  Y
)  <->  A. x  e.  I  U  e.  B )
)
2019adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  (
( x  e.  I  |->  U )  e.  (
Base `  Y )  <->  A. x  e.  I  U  e.  B ) )
2116, 20mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  (
x  e.  I  |->  U )  e.  ( Base `  Y ) )
22 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) )  =  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) )
2321, 22fmptd 5963 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) : J --> ( Base `  Y
) )
24 prdsgsum.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) finSupp  .0.  )
252, 10, 11, 12, 23, 24gsumcl 16498 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
261, 2, 3, 4, 9, 25prdsbasfn 14508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  Fn  I )
27 nfcv 2611 . . . . 5  |-  F/_ x Y
28 nfcv 2611 . . . . 5  |-  F/_ x  gsumg
29 nfcv 2611 . . . . . 6  |-  F/_ x J
30 nfmpt1 4476 . . . . . 6  |-  F/_ x
( x  e.  I  |->  U )
3129, 30nfmpt 4475 . . . . 5  |-  F/_ x
( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) )
3227, 28, 31nfov 6210 . . . 4  |-  F/_ x
( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )
3332dffn5f 5842 . . 3  |-  ( ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  Fn  I  <->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) ) `  x
) ) )
3426, 33sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( Y 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) ) `
 x ) ) )
35 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
3635adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  x  e.  I )
37 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  U )  =  ( x  e.  I  |->  U )
3837fvmpt2 5877 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  I  /\  U  e.  B )  ->  ( ( x  e.  I  |->  U ) `  x )  =  U )
3936, 14, 38syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  (
( x  e.  I  |->  U ) `  x
)  =  U )
4039mpteq2dva 4473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
y  e.  J  |->  ( ( x  e.  I  |->  U ) `  x
) )  =  ( y  e.  J  |->  U ) )
4140oveq2d 6203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( x  e.  I  |->  U ) `  x ) ) )  =  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) ) )
4211adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  Y  e. CMnd )
43 cmnmnd 16393 . . . . . 6  |-  ( R  e. CMnd  ->  R  e.  Mnd )
445, 43syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Mnd )
4512adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  J  e.  W )
464adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  V )
473adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  X )
4844, 6fmptd 5963 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R ) : I --> Mnd )
4948adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
x  e.  I  |->  R ) : I --> Mnd )
501, 2, 46, 47, 49, 35prdspjmhm 15594 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
a  e.  ( Base `  Y )  |->  ( a `
 x ) )  e.  ( Y MndHom  (
( x  e.  I  |->  R ) `  x
) ) )
516fvmpt2 5877 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  /\  R  e. CMnd )  ->  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x
)  =  R )
5235, 5, 51syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( x  e.  I  |->  R ) `  x
)  =  R )
5352oveq2d 6203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( Y MndHom  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x ) )  =  ( Y MndHom  R ) )
5450, 53eleqtrd 2539 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
a  e.  ( Base `  Y )  |->  ( a `
 x ) )  e.  ( Y MndHom  R
) )
5521adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  (
x  e.  I  |->  U )  e.  ( Base `  Y ) )
5624adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) finSupp  .0.  )
57 fveq1 5785 . . . . 5  |-  ( a  =  ( x  e.  I  |->  U )  -> 
( a `  x
)  =  ( ( x  e.  I  |->  U ) `  x ) )
58 fveq1 5785 . . . . 5  |-  ( a  =  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  ->  (
a `  x )  =  ( ( Y 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) ) `
 x ) )
592, 10, 42, 44, 45, 54, 55, 56, 57, 58gsummhm2 16536 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( x  e.  I  |->  U ) `  x ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) ) `
 x ) )
6041, 59eqtr3d 2493 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) )  =  ( ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) ) `  x
) )
6160mpteq2dva 4473 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( Y 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) ) `
 x ) ) )
6234, 61eqtr4d 2494 1  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2793   class class class wbr 4387    |-> cmpt 4445    Fn wfn 5508   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   finSupp cfsupp 7718   Basecbs 14273   0gc0g 14477    gsumg cgsu 14478   X_scprds 14483   Mndcmnd 15508   MndHom cmhm 15561  CMndccmn 16378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-supp 6788  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-ixp 7361  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-fsupp 7719  df-sup 7789  df-oi 7822  df-card 8207  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-10 10486  df-n0 10678  df-z 10745  df-dec 10854  df-uz 10960  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-seq 11905  df-hash 12202  df-struct 14275  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-sca 14353  df-vsca 14354  df-ip 14355  df-tset 14356  df-ple 14357  df-ds 14359  df-hom 14361  df-cco 14362  df-0g 14479  df-gsum 14480  df-prds 14485  df-mnd 15514  df-mhm 15563  df-cntz 15934  df-cmn 16380
This theorem is referenced by:  pwsgsum  16575
  Copyright terms: Public domain W3C validator