MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgrpd Structured version   Unicode version

Theorem prdsgrpd 15787
Description: The product of a family of groups is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgrpd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsgrpd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsgrpd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsgrpd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
Assertion
Ref Expression
prdsgrpd  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )

Proof of Theorem prdsgrpd
Dummy variables  b 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2455 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  Y ) )
2 eqidd 2455 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  Y ) )
3 prdsgrpd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
4 prdsgrpd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 prdsgrpd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
6 prdsgrpd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
7 grpmnd 15673 . . . . 5  |-  ( a  e.  Grp  ->  a  e.  Mnd )
87ssriv 3471 . . . 4  |-  Grp  C_  Mnd
9 fss 5678 . . . 4  |-  ( ( R : I --> Grp  /\  Grp  C_  Mnd )  ->  R : I --> Mnd )
106, 8, 9sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
113, 4, 5, 10prds0g 15578 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( 0g
`  Y ) )
123, 4, 5, 10prdsmndd 15577 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
13 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
14 eqid 2454 . . . 4  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
15 elex 3087 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
165, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
1716adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  S  e.  _V )
18 elex 3087 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  I  e.  _V )
194, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
2019adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  I  e.  _V )
216adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  R :
I --> Grp )
22 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  a  e.  ( Base `  Y )
)
23 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0g  o.  R )  =  ( 0g  o.  R
)
24 eqid 2454 . . . 4  |-  ( b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  b )
) `  ( a `  b ) ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `
 b ) ) `
 ( a `  b ) ) )
253, 13, 14, 17, 20, 21, 22, 23, 24prdsinvlem 15786 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( (
b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  b ) ) `  ( a `
 b ) ) )  e.  ( Base `  Y )  /\  (
( b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  b
) ) `  (
a `  b )
) ) ( +g  `  Y ) a )  =  ( 0g  o.  R ) ) )
2625simpld 459 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  b )
) `  ( a `  b ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
2725simprd 463 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( (
b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  b ) ) `  ( a `
 b ) ) ) ( +g  `  Y
) a )  =  ( 0g  o.  R
) )
281, 2, 11, 12, 26, 27isgrpd2 15684 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    C_ wss 3439    |-> cmpt 4461    o. ccom 4955   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296   +g cplusg 14361   0gc0g 14501   X_scprds 14507   Mndcmnd 15532   Grpcgrp 15533   invgcminusg 15534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-hom 14385  df-cco 14386  df-0g 14503  df-prds 14509  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669
This theorem is referenced by:  prdsinvgd  15788  pwsgrp  15789  xpsgrp  15797  prdsabld  16469  prdsrngd  16837  prdslmodd  17183  dsmmsubg  18303  prdstgpd  19837
  Copyright terms: Public domain W3C validator