MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgrpd Structured version   Unicode version

Theorem prdsgrpd 16028
Description: The product of a family of groups is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgrpd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsgrpd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsgrpd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsgrpd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
Assertion
Ref Expression
prdsgrpd  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )

Proof of Theorem prdsgrpd
Dummy variables  b 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  Y ) )
2 eqidd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  Y ) )
3 prdsgrpd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
4 prdsgrpd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 prdsgrpd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
6 prdsgrpd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
7 grpmnd 15911 . . . . 5  |-  ( a  e.  Grp  ->  a  e.  Mnd )
87ssriv 3513 . . . 4  |-  Grp  C_  Mnd
9 fss 5744 . . . 4  |-  ( ( R : I --> Grp  /\  Grp  C_  Mnd )  ->  R : I --> Mnd )
106, 8, 9sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
113, 4, 5, 10prds0g 15807 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( 0g
`  Y ) )
123, 4, 5, 10prdsmndd 15806 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
13 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
14 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
15 elex 3127 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
165, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
1716adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  S  e.  _V )
18 elex 3127 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  I  e.  _V )
194, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
2019adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  I  e.  _V )
216adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  R :
I --> Grp )
22 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  a  e.  ( Base `  Y )
)
23 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g  o.  R )  =  ( 0g  o.  R
)
24 eqid 2467 . . . 4  |-  ( b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  b )
) `  ( a `  b ) ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `
 b ) ) `
 ( a `  b ) ) )
253, 13, 14, 17, 20, 21, 22, 23, 24prdsinvlem 16027 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( (
b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  b ) ) `  ( a `
 b ) ) )  e.  ( Base `  Y )  /\  (
( b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  b
) ) `  (
a `  b )
) ) ( +g  `  Y ) a )  =  ( 0g  o.  R ) ) )
2625simpld 459 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  b )
) `  ( a `  b ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
2725simprd 463 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( (
b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  b ) ) `  ( a `
 b ) ) ) ( +g  `  Y
) a )  =  ( 0g  o.  R
) )
281, 2, 11, 12, 26, 27isgrpd2 15922 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    C_ wss 3481    |-> cmpt 4510    o. ccom 5008   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   Basecbs 14502   +g cplusg 14567   0gc0g 14707   X_scprds 14713   Mndcmnd 15772   Grpcgrp 15902   invgcminusg 15903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-sup 7911  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11683  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-hom 14591  df-cco 14592  df-0g 14709  df-prds 14715  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-grp 15906  df-minusg 15907
This theorem is referenced by:  prdsinvgd  16029  pwsgrp  16030  xpsgrp  16038  prdsabld  16718  prdsringd  17110  prdslmodd  17463  dsmmsubg  18620  prdstgpd  20468
  Copyright terms: Public domain W3C validator