MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgrpd Structured version   Unicode version

Theorem prdsgrpd 16053
Description: The product of a family of groups is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgrpd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsgrpd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsgrpd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsgrpd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
Assertion
Ref Expression
prdsgrpd  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )

Proof of Theorem prdsgrpd
Dummy variables  b 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  Y ) )
2 eqidd 2444 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  Y ) )
3 prdsgrpd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
4 prdsgrpd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 prdsgrpd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
6 prdsgrpd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
7 grpmnd 15936 . . . . 5  |-  ( a  e.  Grp  ->  a  e.  Mnd )
87ssriv 3493 . . . 4  |-  Grp  C_  Mnd
9 fss 5729 . . . 4  |-  ( ( R : I --> Grp  /\  Grp  C_  Mnd )  ->  R : I --> Mnd )
106, 8, 9sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
113, 4, 5, 10prds0g 15828 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( 0g
`  Y ) )
123, 4, 5, 10prdsmndd 15827 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
13 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
14 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
15 elex 3104 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
165, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
1716adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  S  e.  _V )
18 elex 3104 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  I  e.  _V )
194, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
2019adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  I  e.  _V )
216adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  R :
I --> Grp )
22 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  a  e.  ( Base `  Y )
)
23 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 0g  o.  R )  =  ( 0g  o.  R
)
24 eqid 2443 . . . 4  |-  ( b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  b )
) `  ( a `  b ) ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `
 b ) ) `
 ( a `  b ) ) )
253, 13, 14, 17, 20, 21, 22, 23, 24prdsinvlem 16052 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( (
b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  b ) ) `  ( a `
 b ) ) )  e.  ( Base `  Y )  /\  (
( b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  b
) ) `  (
a `  b )
) ) ( +g  `  Y ) a )  =  ( 0g  o.  R ) ) )
2625simpld 459 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  b )
) `  ( a `  b ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
2725simprd 463 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( (
b  e.  I  |->  ( ( invg `  ( R `  b ) ) `  ( a `
 b ) ) ) ( +g  `  Y
) a )  =  ( 0g  o.  R
) )
281, 2, 11, 12, 26, 27isgrpd2 15947 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    C_ wss 3461    |-> cmpt 4495    o. ccom 4993   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   +g cplusg 14574   0gc0g 14714   X_scprds 14720   Mndcmnd 15793   Grpcgrp 15927   invgcminusg 15928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-hom 14598  df-cco 14599  df-0g 14716  df-prds 14722  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-minusg 15932
This theorem is referenced by:  prdsinvgd  16054  pwsgrp  16055  xpsgrp  16063  prdsabld  16742  prdsringd  17135  prdslmodd  17489  dsmmsubg  18647  prdstgpd  20496
  Copyright terms: Public domain W3C validator