Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsval2 Structured version   Unicode version

Theorem prdsdsval2 15318
 Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt2.y s
prdsbasmpt2.b
prdsbasmpt2.s
prdsbasmpt2.i
prdsbasmpt2.r
prdsdsval2.f
prdsdsval2.g
prdsdsval2.e
prdsdsval2.d
Assertion
Ref Expression
prdsdsval2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdsdsval2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt2.y . . 3 s
2 prdsbasmpt2.b . . 3
3 prdsbasmpt2.s . . 3
4 prdsbasmpt2.i . . 3
5 prdsbasmpt2.r . . . 4
6 eqid 2422 . . . . 5
76fnmpt 5658 . . . 4
85, 7syl 17 . . 3
9 prdsdsval2.f . . 3
10 prdsdsval2.g . . 3
11 prdsdsval2.d . . 3
121, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11prdsdsval 15312 . 2
13 nfcv 2563 . . . . . . . 8
14 nfcv 2563 . . . . . . . . 9
15 nffvmpt1 5826 . . . . . . . . 9
1614, 15nffv 5825 . . . . . . . 8
17 nfcv 2563 . . . . . . . 8
1813, 16, 17nfov 6268 . . . . . . 7
19 nfcv 2563 . . . . . . 7
20 fveq2 5818 . . . . . . . . 9
2120fveq2d 5822 . . . . . . . 8
22 fveq2 5818 . . . . . . . 8
23 fveq2 5818 . . . . . . . 8
2421, 22, 23oveq123d 6263 . . . . . . 7
2518, 19, 24cbvmpt 4451 . . . . . 6
26 eqidd 2423 . . . . . . 7
276fvmpt2 5910 . . . . . . . . . . . 12
2827fveq2d 5822 . . . . . . . . . . 11
29 prdsdsval2.e . . . . . . . . . . 11
3028, 29syl6eqr 2474 . . . . . . . . . 10
3130oveqd 6259 . . . . . . . . 9
3231ralimiaa 2751 . . . . . . . 8
335, 32syl 17 . . . . . . 7
34 mpteq12 4439 . . . . . . 7
3526, 33, 34syl2anc 665 . . . . . 6
3625, 35syl5eq 2468 . . . . 5
3736rneqd 5017 . . . 4
3837uneq1d 3555 . . 3
3938supeq1d 7906 . 2
4012, 39eqtrd 2456 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  wral 2708   cun 3370  csn 3934   cmpt 4418   crn 4790   wfn 5532  cfv 5537  (class class class)co 6242  csup 7900  cc0 9483  cxr 9618   clt 9619  cbs 15057  cds 15135  scprds 15280 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-fz 11729  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-hom 15150  df-cco 15151  df-prds 15282 This theorem is referenced by:  prdsdsval3  15319  ressprdsds  21321
 Copyright terms: Public domain W3C validator