MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsfn Structured version   Unicode version

Theorem prdsdsfn 14507
Description: Structure product distance function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p  |-  P  =  ( S X_s R )
prdsbas.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbas.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
prdsbas.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
prdsbas.i  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
prdsds.l  |-  D  =  ( dist `  P
)
Assertion
Ref Expression
prdsdsfn  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )

Proof of Theorem prdsdsfn
Dummy variables  f 
g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
2 xrltso 11221 . . . 4  |-  <  Or  RR*
32supex 7816 . . 3  |-  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  _V
41, 3fnmpt2i 6745 . 2  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  Fn  ( B  X.  B )
5 prdsbas.p . . . 4  |-  P  =  ( S X_s R )
6 prdsbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
7 prdsbas.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
8 prdsbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
9 prdsbas.i . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
10 prdsds.l . . . 4  |-  D  =  ( dist `  P
)
115, 6, 7, 8, 9, 10prdsds 14506 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
1211fneq1d 5601 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  Fn  ( B  X.  B )  <->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  Fn  ( B  X.  B
) ) )
134, 12mpbiri 233 1  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3426   {csn 3977    |-> cmpt 4450    X. cxp 4938   dom cdm 4940   ran crn 4941    Fn wfn 5513   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    |-> cmpt2 6194   supcsup 7793   0cc0 9385   RR*cxr 9520    < clt 9521   Basecbs 14278   distcds 14351   X_scprds 14488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-hom 14366  df-cco 14367  df-prds 14490
This theorem is referenced by:  ressprdsds  20064
  Copyright terms: Public domain W3C validator