MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem prdsdsf 21460
Description: The product metric is a function into the nonnegative extended reals. In general this means that it is not a metric but rather an *extended* metric (even when all the factors are metrics), but it will be a metric when restricted to regions where it does not take infinite values. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsdsf.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsdsf.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsdsf.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsdsf.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsdsf.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsdsf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
prdsdsf.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsdsf.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
Assertion
Ref Expression
prdsdsf  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo )
)
Distinct variable groups:    x, I    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsdsf
Dummy variables  f 
g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
2 prdsdsf.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
3 elex 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  Z  ->  R  e.  _V )
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  _V )
54ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  _V )
65adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  R  e.  _V )
7 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ R
87nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ R  e.  _V
9 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  R  =  [_ y  /  x ]_ R )
109eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( R  e.  _V  <->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V ) )
118, 10rspc 3130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  R  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V )
)
126, 11mpan9 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  [_ y  /  x ]_ R  e. 
_V )
13 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( x  e.  I  |->  R )
1413fvmpts 5966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  I  /\  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y )  =  [_ y  /  x ]_ R
)
151, 12, 14syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
)  =  [_ y  /  x ]_ R )
1615fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `
 y ) )  =  ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) )
1716oveqd 6325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) )  =  ( ( f `
 y ) (
dist `  [_ y  /  x ]_ R ) ( g `  y ) ) )
18 prdsdsf.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
19 prdsdsf.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  Y
)
20 prdsdsf.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
2120adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  W )
22 prdsdsf.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
2322adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  X )
24 prdsdsf.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  =  ( Base `  R
)
25 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
2618, 19, 21, 23, 6, 24, 25prdsbascl 15459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
27 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ V
2827nfel2 2628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( f `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V
29 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
30 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  V  =  [_ y  /  x ]_ V )
3129, 30eleq12d 2543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
)  e.  V  <->  ( f `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V
) )
3228, 31rspc 3130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V  -> 
( f `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V ) )
3326, 32mpan9 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
f `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V )
34 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
3518, 19, 21, 23, 6, 24, 34prdsbascl 15459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
3627nfel2 2628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( g `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V
37 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
g `  x )  =  ( g `  y ) )
3837, 30eleq12d 2543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( g `  x
)  e.  V  <->  ( g `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V
) )
3936, 38rspc 3130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V  -> 
( g `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V ) )
4035, 39mpan9 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
g `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V )
4133, 40ovresd 6456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) ) ( g `  y ) )  =  ( ( f `  y ) ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) ( g `
 y ) ) )
4217, 41eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) )  =  ( ( f `
 y ) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) ) ( g `
 y ) ) )
43 prdsdsf.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
4443ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  E  e.  ( *Met `  V ) )
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  E  e.  ( *Met `  V ) )
46 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x dist
4746, 7nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )
4827, 27nfxp 4866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V )
4947, 48nfres 5113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )
50 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x *Met
5150, 27nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( *Met `  [_ y  /  x ]_ V )
5249, 51nfel 2624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )  e.  ( *Met `  [_ y  /  x ]_ V )
53 prdsdsf.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
549fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( dist `  R )  =  ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) )
5530sqxpeqd 4865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( V  X.  V )  =  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )
5654, 55reseq12d 5112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( dist `  R )  |`  ( V  X.  V
) )  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) ) )
5753, 56syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  E  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) ) )
5830fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( *Met `  V )  =  ( *Met ` 
[_ y  /  x ]_ V ) )
5957, 58eleq12d 2543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( E  e.  ( *Met `  V )  <->  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) )  e.  ( *Met `  [_ y  /  x ]_ V ) ) )
6052, 59rspc 3130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  E  e.  ( *Met `  V )  -> 
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )  e.  ( *Met `  [_ y  /  x ]_ V ) ) )
6145, 60mpan9 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) )  e.  ( *Met `  [_ y  /  x ]_ V ) )
62 xmetcl 21424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )  e.  ( *Met `  [_ y  /  x ]_ V )  /\  ( f `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V  /\  ( g `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V )  ->  ( ( f `
 y ) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) ) ( g `
 y ) )  e.  RR* )
6361, 33, 40, 62syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) ) ( g `  y ) )  e. 
RR* )
6442, 63eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) )  e.  RR* )
65 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )
6664, 65fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) ) : I -->
RR* )
67 frn 5747 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  C_  RR* )
6866, 67syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  C_  RR* )
69 0xr 9705 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
7069a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR* )
7170snssd 4108 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  { 0 }  C_  RR* )
7268, 71unssd 3601 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
73 supxrcl 11625 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `
 y ) (
dist `  ( (
x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  ->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7472, 73syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
75 ssun2 3589 . . . . . . 7  |-  { 0 }  C_  ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } )
76 c0ex 9655 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
7776snss 4087 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) )
7875, 77mpbir 214 . . . . . 6  |-  0  e.  ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )
79 supxrub 11635 . . . . . 6  |-  ( ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  0  e.  ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
0  <_  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
8072, 78, 79sylancl 675 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  <_  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
81 elxrge0 11767 . . . . 5  |-  ( sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  0  <_  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
8274, 80, 81sylanbrc 677 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
8382ralrimivva 2814 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
84 eqid 2471 . . . 4  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
8584fmpt2 6879 . . 3  |-  ( A. f  e.  B  A. g  e.  B  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B
) --> ( 0 [,] +oo ) )
8683, 85sylib 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo ) )
87 mptexg 6151 . . . . 5  |-  ( I  e.  X  ->  (
x  e.  I  |->  R )  e.  _V )
8822, 87syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R )  e.  _V )
892ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
90 dmmptg 5339 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  I  R  e.  Z  ->  dom  (
x  e.  I  |->  R )  =  I )
9189, 90syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  I  |->  R )  =  I )
92 prdsdsf.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  Y
)
9318, 20, 88, 19, 91, 92prdsds 15440 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
9493feq1d 5724 . 2  |-  ( ph  ->  ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo ) 
<->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo ) ) )
9586, 94mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   [_csb 3349    u. cun 3388    C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   supcsup 7972   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   [,]cicc 11663   Basecbs 15199   distcds 15277   X_scprds 15422   *Metcxmt 19032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-icc 11667  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-prds 15424  df-xmet 19040
This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  21461  prdsmet  21463
  Copyright terms: Public domain W3C validator