Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem prdsdsf 21460
 Description: The product metric is a function into the nonnegative extended reals. In general this means that it is not a metric but rather an *extended* metric (even when all the factors are metrics), but it will be a metric when restricted to regions where it does not take infinite values. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y s
prdsdsf.b
prdsdsf.v
prdsdsf.e
prdsdsf.d
prdsdsf.s
prdsdsf.i
prdsdsf.r
prdsdsf.m
Assertion
Ref Expression
prdsdsf
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdsdsf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
2 prdsdsf.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 elex 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
7 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118, 10rspc 3130 . . . . . . . . . . . . . . 15
126, 11mpan9 477 . . . . . . . . . . . . . 14
13 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413fvmpts 5966 . . . . . . . . . . . . . 14
151, 12, 14syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
1615fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
1716oveqd 6325 . . . . . . . . . . 11
18 prdsdsf.y . . . . . . . . . . . . . 14 s
19 prdsdsf.b . . . . . . . . . . . . . 14
20 prdsdsf.s . . . . . . . . . . . . . . 15
2120adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
22 prdsdsf.i . . . . . . . . . . . . . . 15
2322adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
24 prdsdsf.v . . . . . . . . . . . . . 14
25 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . 14
2618, 19, 21, 23, 6, 24, 25prdsbascl 15459 . . . . . . . . . . . . 13
27 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827nfel2 2628 . . . . . . . . . . . . . 14
29 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . 15
3129, 30eleq12d 2543 . . . . . . . . . . . . . 14
3228, 31rspc 3130 . . . . . . . . . . . . 13
3326, 32mpan9 477 . . . . . . . . . . . 12
34 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14
3518, 19, 21, 23, 6, 24, 34prdsbascl 15459 . . . . . . . . . . . . 13
3627nfel2 2628 . . . . . . . . . . . . . 14
37 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837, 30eleq12d 2543 . . . . . . . . . . . . . 14
3936, 38rspc 3130 . . . . . . . . . . . . 13
4035, 39mpan9 477 . . . . . . . . . . . 12
4133, 40ovresd 6456 . . . . . . . . . . 11
4217, 41eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10
43 prdsdsf.m . . . . . . . . . . . . . 14
4443ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . 13
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
46 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746, 7nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15
4827, 27nfxp 4866 . . . . . . . . . . . . . . 15
4947, 48nfres 5113 . . . . . . . . . . . . . 14
50 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150, 27nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . 14
5249, 51nfel 2624 . . . . . . . . . . . . 13
53 prdsdsf.e . . . . . . . . . . . . . . 15
549fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5530sqxpeqd 4865 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5654, 55reseq12d 5112 . . . . . . . . . . . . . . 15
5753, 56syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . 14
5830fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
5957, 58eleq12d 2543 . . . . . . . . . . . . 13
6052, 59rspc 3130 . . . . . . . . . . . 12
6145, 60mpan9 477 . . . . . . . . . . 11
62 xmetcl 21424 . . . . . . . . . . 11
6361, 33, 40, 62syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
6442, 63eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9
65 eqid 2471 . . . . . . . . 9
6664, 65fmptd 6061 . . . . . . . 8
67 frn 5747 . . . . . . . 8
6866, 67syl 17 . . . . . . 7
69 0xr 9705 . . . . . . . . 9
7069a1i 11 . . . . . . . 8
7170snssd 4108 . . . . . . 7
7268, 71unssd 3601 . . . . . 6
73 supxrcl 11625 . . . . . 6
7472, 73syl 17 . . . . 5
75 ssun2 3589 . . . . . . 7
76 c0ex 9655 . . . . . . . 8
7776snss 4087 . . . . . . 7
7875, 77mpbir 214 . . . . . 6
79 supxrub 11635 . . . . . 6
8072, 78, 79sylancl 675 . . . . 5
81 elxrge0 11767 . . . . 5
8274, 80, 81sylanbrc 677 . . . 4
8382ralrimivva 2814 . . 3
84 eqid 2471 . . . 4
8584fmpt2 6879 . . 3
8683, 85sylib 201 . 2
87 mptexg 6151 . . . . 5
8822, 87syl 17 . . . 4
892ralrimiva 2809 . . . . 5
90 dmmptg 5339 . . . . 5
9189, 90syl 17 . . . 4
92 prdsdsf.d . . . 4
9318, 20, 88, 19, 91, 92prdsds 15440 . . 3
9493feq1d 5724 . 2
9586, 94mpbird 240 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031  csb 3349   cun 3388   wss 3390  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  csup 7972  cc0 9557   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cicc 11663  cbs 15199  cds 15277  scprds 15422  cxmt 19032 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-icc 11667  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-prds 15424  df-xmet 19040 This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  21461  prdsmet  21463
 Copyright terms: Public domain W3C validator