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Theorem prdsdsf 20075
Description: The product metric is a function into the nonnegative extended reals. In general this means that it is not a metric but rather an *extended* metric (even when all the factors are metrics), but it will be a metric when restricted to regions where it does not take infinite values. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsdsf.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsdsf.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsdsf.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsdsf.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsdsf.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsdsf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
prdsdsf.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsdsf.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
Assertion
Ref Expression
prdsdsf  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo )
)
Distinct variable groups:    x, I    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsdsf
Dummy variables  f 
g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
2 prdsdsf.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
3 elex 3087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  Z  ->  R  e.  _V )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  _V )
54ralrimiva 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  _V )
65adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  R  e.  _V )
7 nfcsb1v 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ R
87nfel1 2632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ R  e.  _V
9 csbeq1a 3405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  R  =  [_ y  /  x ]_ R )
109eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( R  e.  _V  <->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V ) )
118, 10rspc 3173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  R  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V )
)
126, 11mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  [_ y  /  x ]_ R  e. 
_V )
13 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( x  e.  I  |->  R )
1413fvmpts 5886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  I  /\  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y )  =  [_ y  /  x ]_ R
)
151, 12, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
)  =  [_ y  /  x ]_ R )
1615fveq2d 5804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `
 y ) )  =  ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) )
1716oveqd 6218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) )  =  ( ( f `
 y ) (
dist `  [_ y  /  x ]_ R ) ( g `  y ) ) )
18 prdsdsf.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
19 prdsdsf.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  Y
)
20 prdsdsf.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  W )
22 prdsdsf.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  X )
24 prdsdsf.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  =  ( Base `  R
)
25 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
2618, 19, 21, 23, 6, 24, 25prdsbascl 14541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
27 nfcsb1v 3412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ V
2827nfel2 2634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( f `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V
29 fveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
30 csbeq1a 3405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  V  =  [_ y  /  x ]_ V )
3129, 30eleq12d 2536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
)  e.  V  <->  ( f `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V
) )
3228, 31rspc 3173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V  -> 
( f `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V ) )
3326, 32mpan9 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
f `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V )
34 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
3518, 19, 21, 23, 6, 24, 34prdsbascl 14541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
3627nfel2 2634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( g `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V
37 fveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
g `  x )  =  ( g `  y ) )
3837, 30eleq12d 2536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( g `  x
)  e.  V  <->  ( g `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V
) )
3936, 38rspc 3173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V  -> 
( g `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V ) )
4035, 39mpan9 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
g `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V )
4133, 40ovresd 6342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) ) ( g `  y ) )  =  ( ( f `  y ) ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) ( g `
 y ) ) )
4217, 41eqtr4d 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) )  =  ( ( f `
 y ) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) ) ( g `
 y ) ) )
43 prdsdsf.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
4443ralrimiva 2830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  E  e.  ( *Met `  V ) )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  E  e.  ( *Met `  V ) )
46 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x dist
4746, 7nffv 5807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )
4827, 27nfxp 4975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V )
4947, 48nfres 5221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )
50 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x *Met
5150, 27nffv 5807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( *Met `  [_ y  /  x ]_ V )
5249, 51nfel 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )  e.  ( *Met `  [_ y  /  x ]_ V )
53 prdsdsf.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
549fveq2d 5804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( dist `  R )  =  ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) )
5530, 30xpeq12d 4974 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( V  X.  V )  =  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )
5654, 55reseq12d 5220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( dist `  R )  |`  ( V  X.  V
) )  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) ) )
5753, 56syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  E  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) ) )
5830fveq2d 5804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( *Met `  V )  =  ( *Met ` 
[_ y  /  x ]_ V ) )
5957, 58eleq12d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( E  e.  ( *Met `  V )  <->  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) )  e.  ( *Met `  [_ y  /  x ]_ V ) ) )
6052, 59rspc 3173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  E  e.  ( *Met `  V )  -> 
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )  e.  ( *Met `  [_ y  /  x ]_ V ) ) )
6145, 60mpan9 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) )  e.  ( *Met `  [_ y  /  x ]_ V ) )
62 xmetcl 20039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )  e.  ( *Met `  [_ y  /  x ]_ V )  /\  ( f `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V  /\  ( g `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V )  ->  ( ( f `
 y ) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) ) ( g `
 y ) )  e.  RR* )
6361, 33, 40, 62syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) ) ( g `  y ) )  e. 
RR* )
6442, 63eqeltrd 2542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) )  e.  RR* )
65 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )
6664, 65fmptd 5977 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) ) : I -->
RR* )
67 frn 5674 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  C_  RR* )
6866, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  C_  RR* )
69 0xr 9542 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
7069a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR* )
7170snssd 4127 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  { 0 }  C_  RR* )
7268, 71unssd 3641 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
73 supxrcl 11389 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `
 y ) (
dist `  ( (
x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  ->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7472, 73syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
75 ssun2 3629 . . . . . . 7  |-  { 0 }  C_  ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } )
76 c0ex 9492 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
7776snss 4108 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) )
7875, 77mpbir 209 . . . . . 6  |-  0  e.  ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )
79 supxrub 11399 . . . . . 6  |-  ( ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  0  e.  ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
0  <_  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
8072, 78, 79sylancl 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  <_  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
81 elxrge0 11512 . . . . 5  |-  ( sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  0  <_  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
8274, 80, 81sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
8382ralrimivva 2914 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
84 eqid 2454 . . . 4  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
8584fmpt2 6752 . . 3  |-  ( A. f  e.  B  A. g  e.  B  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B
) --> ( 0 [,] +oo ) )
8683, 85sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo ) )
87 mptexg 6057 . . . . 5  |-  ( I  e.  X  ->  (
x  e.  I  |->  R )  e.  _V )
8822, 87syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R )  e.  _V )
892ralrimiva 2830 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
90 dmmptg 5444 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  I  R  e.  Z  ->  dom  (
x  e.  I  |->  R )  =  I )
9189, 90syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  I  |->  R )  =  I )
92 prdsdsf.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  Y
)
9318, 20, 88, 19, 91, 92prdsds 14522 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
9493feq1d 5655 . 2  |-  ( ph  ->  ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo ) 
<->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo ) ) )
9586, 94mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   [_csb 3396    u. cun 3435    C_ wss 3437   {csn 3986   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459    X. cxp 4947   dom cdm 4949   ran crn 4950    |` cres 4951   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    |-> cmpt2 6203   supcsup 7802   0cc0 9394   +oocpnf 9527   RR*cxr 9529    < clt 9530    <_ cle 9531   [,]cicc 11415   Basecbs 14293   distcds 14367   X_scprds 14504   *Metcxmt 17927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-icc 11419  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-hom 14382  df-cco 14383  df-prds 14506  df-xmet 17936
This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  20076  prdsmet  20078
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