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Theorem prdsdsf 20996
Description: The product metric is a function into the nonnegative extended reals. In general this means that it is not a metric but rather an *extended* metric (even when all the factors are metrics), but it will be a metric when restricted to regions where it does not take infinite values. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsdsf.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsdsf.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsdsf.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsdsf.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsdsf.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsdsf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
prdsdsf.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsdsf.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
Assertion
Ref Expression
prdsdsf  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo )
)
Distinct variable groups:    x, I    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsdsf
Dummy variables  f 
g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
2 prdsdsf.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
3 elex 3118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  Z  ->  R  e.  _V )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  _V )
54ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  _V )
65adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  R  e.  _V )
7 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ R
87nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ R  e.  _V
9 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  R  =  [_ y  /  x ]_ R )
109eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( R  e.  _V  <->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V ) )
118, 10rspc 3204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  R  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V )
)
126, 11mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  [_ y  /  x ]_ R  e. 
_V )
13 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( x  e.  I  |->  R )
1413fvmpts 5958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  I  /\  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y )  =  [_ y  /  x ]_ R
)
151, 12, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
)  =  [_ y  /  x ]_ R )
1615fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `
 y ) )  =  ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) )
1716oveqd 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) )  =  ( ( f `
 y ) (
dist `  [_ y  /  x ]_ R ) ( g `  y ) ) )
18 prdsdsf.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
19 prdsdsf.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  Y
)
20 prdsdsf.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  W )
22 prdsdsf.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  X )
24 prdsdsf.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  =  ( Base `  R
)
25 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
2618, 19, 21, 23, 6, 24, 25prdsbascl 14900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
27 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ V
2827nfel2 2637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( f `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V
29 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
30 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  V  =  [_ y  /  x ]_ V )
3129, 30eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
)  e.  V  <->  ( f `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V
) )
3228, 31rspc 3204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V  -> 
( f `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V ) )
3326, 32mpan9 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
f `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V )
34 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
3518, 19, 21, 23, 6, 24, 34prdsbascl 14900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
3627nfel2 2637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( g `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V
37 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
g `  x )  =  ( g `  y ) )
3837, 30eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( g `  x
)  e.  V  <->  ( g `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V
) )
3936, 38rspc 3204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V  -> 
( g `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V ) )
4035, 39mpan9 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
g `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V )
4133, 40ovresd 6442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) ) ( g `  y ) )  =  ( ( f `  y ) ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) ( g `
 y ) ) )
4217, 41eqtr4d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) )  =  ( ( f `
 y ) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) ) ( g `
 y ) ) )
43 prdsdsf.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
4443ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  E  e.  ( *Met `  V ) )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  E  e.  ( *Met `  V ) )
46 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x dist
4746, 7nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )
4827, 27nfxp 5035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V )
4947, 48nfres 5285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )
50 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x *Met
5150, 27nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( *Met `  [_ y  /  x ]_ V )
5249, 51nfel 2632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )  e.  ( *Met `  [_ y  /  x ]_ V )
53 prdsdsf.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
549fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( dist `  R )  =  ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) )
5530sqxpeqd 5034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( V  X.  V )  =  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )
5654, 55reseq12d 5284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( dist `  R )  |`  ( V  X.  V
) )  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) ) )
5753, 56syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  E  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) ) )
5830fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( *Met `  V )  =  ( *Met ` 
[_ y  /  x ]_ V ) )
5957, 58eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( E  e.  ( *Met `  V )  <->  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) )  e.  ( *Met `  [_ y  /  x ]_ V ) ) )
6052, 59rspc 3204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  E  e.  ( *Met `  V )  -> 
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )  e.  ( *Met `  [_ y  /  x ]_ V ) ) )
6145, 60mpan9 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) )  e.  ( *Met `  [_ y  /  x ]_ V ) )
62 xmetcl 20960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )  e.  ( *Met `  [_ y  /  x ]_ V )  /\  ( f `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V  /\  ( g `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V )  ->  ( ( f `
 y ) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) ) ( g `
 y ) )  e.  RR* )
6361, 33, 40, 62syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) ) ( g `  y ) )  e. 
RR* )
6442, 63eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) )  e.  RR* )
65 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )
6664, 65fmptd 6056 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) ) : I -->
RR* )
67 frn 5743 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  C_  RR* )
6866, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  C_  RR* )
69 0xr 9657 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
7069a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR* )
7170snssd 4177 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  { 0 }  C_  RR* )
7268, 71unssd 3676 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
73 supxrcl 11531 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `
 y ) (
dist `  ( (
x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  ->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7472, 73syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
75 ssun2 3664 . . . . . . 7  |-  { 0 }  C_  ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } )
76 c0ex 9607 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
7776snss 4156 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) )
7875, 77mpbir 209 . . . . . 6  |-  0  e.  ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )
79 supxrub 11541 . . . . . 6  |-  ( ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  0  e.  ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
0  <_  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
8072, 78, 79sylancl 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  <_  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
81 elxrge0 11654 . . . . 5  |-  ( sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  0  <_  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
8274, 80, 81sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
8382ralrimivva 2878 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
84 eqid 2457 . . . 4  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
8584fmpt2 6866 . . 3  |-  ( A. f  e.  B  A. g  e.  B  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B
) --> ( 0 [,] +oo ) )
8683, 85sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo ) )
87 mptexg 6143 . . . . 5  |-  ( I  e.  X  ->  (
x  e.  I  |->  R )  e.  _V )
8822, 87syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R )  e.  _V )
892ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
90 dmmptg 5510 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  I  R  e.  Z  ->  dom  (
x  e.  I  |->  R )  =  I )
9189, 90syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  I  |->  R )  =  I )
92 prdsdsf.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  Y
)
9318, 20, 88, 19, 91, 92prdsds 14881 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
9493feq1d 5723 . 2  |-  ( ph  ->  ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo ) 
<->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo ) ) )
9586, 94mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   [_csb 3430    u. cun 3469    C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   supcsup 7918   0cc0 9509   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   [,]cicc 11557   Basecbs 14644   distcds 14721   X_scprds 14863   *Metcxmt 18530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-icc 11561  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-hom 14736  df-cco 14737  df-prds 14865  df-xmet 18539
This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  20997  prdsmet  20999
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