MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsds Structured version   Unicode version

Theorem prdsds 15078
Description: Structure product distance function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p  |-  P  =  ( S X_s R )
prdsbas.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbas.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
prdsbas.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
prdsbas.i  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
prdsds.l  |-  D  =  ( dist `  P
)
Assertion
Ref Expression
prdsds  |-  ( ph  ->  D  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, B    ph, f, g, x    f, I, g, x    P, f, g, x    R, f, g, x    S, f, g, x
Allowed substitution hints:    D( x, f, g)    V( x, f, g)    W( x, f, g)

Proof of Theorem prdsds
Dummy variables  a 
c  d  e  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3  |-  P  =  ( S X_s R )
2 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 prdsbas.i . . 3  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
4 prdsbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
5 prdsbas.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
6 prdsbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 15071 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
8 eqid 2402 . . . 4  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
91, 4, 5, 6, 3, 8prdsplusg 15072 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +g  `  P
)  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
10 eqid 2402 . . . 4  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
111, 4, 5, 6, 3, 10prdsmulr 15073 . . 3  |-  ( ph  ->  ( .r `  P
)  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
12 eqid 2402 . . . 4  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
131, 4, 5, 6, 3, 2, 12prdsvsca 15074 . . 3  |-  ( ph  ->  ( .s `  P
)  =  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) ) )
14 eqidd 2403 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) ) )
15 eqidd 2403 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
16 eqid 2402 . . . 4  |-  ( le
`  P )  =  ( le `  P
)
171, 4, 5, 6, 3, 16prdsle 15076 . . 3  |-  ( ph  ->  ( le `  P
)  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) } )
18 eqidd 2403 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
19 eqidd 2403 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
20 eqidd 2403 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )  =  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) )
211, 2, 3, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 4, 5prdsval 15069 . 2  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( .r `  P ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  P
) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  P
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
22 prdsds.l . 2  |-  D  =  ( dist `  P
)
23 dsid 15017 . 2  |-  dist  = Slot  ( dist `  ndx )
24 df-sup 7935 . . . . . . 7  |-  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  =  U. { y  e.  RR*  |  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  -.  y  <  z  /\  A. z  e.  RR*  ( z  < 
y  ->  E. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) z  <  w
) ) }
25 ssrab2 3524 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  RR*  |  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  -.  y  <  z  /\  A. z  e.  RR*  ( z  < 
y  ->  E. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) z  <  w
) ) }  C_  RR*
2625unissi 4214 . . . . . . . 8  |-  U. {
y  e.  RR*  |  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) (
dist `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  -.  y  <  z  /\  A. z  e.  RR*  (
z  <  y  ->  E. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) z  < 
w ) ) } 
C_  U. RR*
27 xrex 11262 . . . . . . . . . 10  |-  RR*  e.  _V
2827uniex 6578 . . . . . . . . 9  |-  U. RR*  e.  _V
2928elpw2 4558 . . . . . . . 8  |-  ( U. { y  e.  RR*  |  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  -.  y  < 
z  /\  A. z  e.  RR*  ( z  < 
y  ->  E. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) z  <  w
) ) }  e.  ~P U. RR*  <->  U. { y  e. 
RR*  |  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  -.  y  <  z  /\  A. z  e.  RR*  ( z  < 
y  ->  E. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) z  <  w
) ) }  C_  U.
RR* )
3026, 29mpbir 209 . . . . . . 7  |-  U. {
y  e.  RR*  |  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) (
dist `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  -.  y  <  z  /\  A. z  e.  RR*  (
z  <  y  ->  E. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) z  < 
w ) ) }  e.  ~P U. RR*
3124, 30eqeltri 2486 . . . . . 6  |-  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ~P U. RR*
3231rgen2w 2766 . . . . 5  |-  A. f  e.  B  A. g  e.  B  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ~P U. RR*
33 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
3433fmpt2 6851 . . . . 5  |-  ( A. f  e.  B  A. g  e.  B  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ~P U. RR*  <->  (
f  e.  B , 
g  e.  B  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B ) --> ~P
U. RR* )
3532, 34mpbi 208 . . . 4  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B ) --> ~P
U. RR*
36 fvex 5859 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  e.  _V
376, 36eqeltri 2486 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
3837, 37xpex 6586 . . . 4  |-  ( B  X.  B )  e. 
_V
3928pwex 4577 . . . 4  |-  ~P U. RR* 
e.  _V
40 fex2 6739 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B
) --> ~P U. RR*  /\  ( B  X.  B
)  e.  _V  /\  ~P U. RR*  e.  _V )  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  e. 
_V )
4135, 38, 39, 40mp3an 1326 . . 3  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  e.  _V
4241a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  e. 
_V )
43 snsstp3 4125 . . . 4  |-  { <. (
dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  C_  { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  P ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }
44 ssun1 3606 . . . 4  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  P ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  C_  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  P ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } )
4543, 44sstri 3451 . . 3  |-  { <. (
dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  C_  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  P ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } )
46 ssun2 3607 . . 3  |-  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )
>. ,  <. ( le
`  ndx ) ,  ( le `  P )
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) 
C_  ( ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( .r `  P ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  P
) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  P
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) )
4745, 46sstri 3451 . 2  |-  { <. (
dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  C_  ( ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( .r `  P ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  P
) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  P
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) )
4821, 22, 23, 42, 47prdsvallem 15068 1  |-  ( ph  ->  D  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755   {crab 2758   _Vcvv 3059    u. cun 3412    C_ wss 3414   ~Pcpw 3955   {csn 3972   {cpr 3974   {ctp 3976   <.cop 3978   U.cuni 4191   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   dom cdm 4823   ran crn 4824    o. ccom 4827   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280   1stc1st 6782   2ndc2nd 6783   X_cixp 7507   supcsup 7934   0cc0 9522   RR*cxr 9657    < clt 9658   ndxcnx 14838   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   .rcmulr 14910  Scalarcsca 14912   .scvsca 14913   .icip 14914  TopSetcts 14915   lecple 14916   distcds 14918   Hom chom 14920  compcco 14921   TopOpenctopn 15036   Xt_cpt 15053    gsumg cgsu 15055   X_scprds 15060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-hom 14933  df-cco 14934  df-prds 15062
This theorem is referenced by:  prdsdsfn  15079  prdstset  15080  prdshom  15081  prdsco  15082  prdsdsval  15092  prdsdsf  21162
  Copyright terms: Public domain W3C validator