Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsds Structured version   Unicode version

Theorem prdsds 15078
 Description: Structure product distance function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p s
prdsbas.s
prdsbas.r
prdsbas.b
prdsbas.i
prdsds.l
Assertion
Ref Expression
prdsds
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem prdsds
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3 s
2 eqid 2402 . . 3
3 prdsbas.i . . 3
4 prdsbas.s . . . 4
5 prdsbas.r . . . 4
6 prdsbas.b . . . 4
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 15071 . . 3
8 eqid 2402 . . . 4
91, 4, 5, 6, 3, 8prdsplusg 15072 . . 3
10 eqid 2402 . . . 4
111, 4, 5, 6, 3, 10prdsmulr 15073 . . 3
12 eqid 2402 . . . 4
131, 4, 5, 6, 3, 2, 12prdsvsca 15074 . . 3
14 eqidd 2403 . . 3 g g
15 eqidd 2403 . . 3
16 eqid 2402 . . . 4
171, 4, 5, 6, 3, 16prdsle 15076 . . 3
18 eqidd 2403 . . 3
19 eqidd 2403 . . 3
20 eqidd 2403 . . 3 comp comp
211, 2, 3, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 4, 5prdsval 15069 . 2 Scalar g TopSet comp comp
22 prdsds.l . 2
23 dsid 15017 . 2 Slot
24 df-sup 7935 . . . . . . 7
25 ssrab2 3524 . . . . . . . . 9
2625unissi 4214 . . . . . . . 8
27 xrex 11262 . . . . . . . . . 10
2827uniex 6578 . . . . . . . . 9
2928elpw2 4558 . . . . . . . 8
3026, 29mpbir 209 . . . . . . 7
3124, 30eqeltri 2486 . . . . . 6
3231rgen2w 2766 . . . . 5
33 eqid 2402 . . . . . 6
3433fmpt2 6851 . . . . 5
3532, 34mpbi 208 . . . 4
36 fvex 5859 . . . . . 6
376, 36eqeltri 2486 . . . . 5
3837, 37xpex 6586 . . . 4
3928pwex 4577 . . . 4
40 fex2 6739 . . . 4
4135, 38, 39, 40mp3an 1326 . . 3
4241a1i 11 . 2
43 snsstp3 4125 . . . 4 TopSet
44 ssun1 3606 . . . 4 TopSet TopSet comp comp
4543, 44sstri 3451 . . 3 TopSet comp comp
46 ssun2 3607 . . 3 TopSet comp comp Scalar g TopSet comp comp
4745, 46sstri 3451 . 2 Scalar g TopSet comp comp
4821, 22, 23, 42, 47prdsvallem 15068 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754  wrex 2755  crab 2758  cvv 3059   cun 3412   wss 3414  cpw 3955  csn 3972  cpr 3974  ctp 3976  cop 3978  cuni 4191   class class class wbr 4395   cmpt 4453   cxp 4821   cdm 4823   crn 4824   ccom 4827  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278   cmpt2 6280  c1st 6782  c2nd 6783  cixp 7507  csup 7934  cc0 9522  cxr 9657   clt 9658  cnx 14838  cbs 14841   cplusg 14909  cmulr 14910  Scalarcsca 14912  cvsca 14913  cip 14914  TopSetcts 14915  cple 14916  cds 14918   chom 14920  compcco 14921  ctopn 15036  cpt 15053   g cgsu 15055  scprds 15060 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-hom 14933  df-cco 14934  df-prds 15062 This theorem is referenced by:  prdsdsfn  15079  prdstset  15080  prdshom  15081  prdsco  15082  prdsdsval  15092  prdsdsf  21162
 Copyright terms: Public domain W3C validator