Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdscrngd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem prdscrngd 17841
 Description: A product of commutative rings is a commutative ring. Since the resulting ring will have zero divisors in all nontrivial cases, this cannot be strengthened much further. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdscrngd.y s
prdscrngd.i
prdscrngd.s
prdscrngd.r
Assertion
Ref Expression
prdscrngd

Proof of Theorem prdscrngd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdscrngd.y . . 3 s
2 prdscrngd.i . . 3
3 prdscrngd.s . . 3
4 prdscrngd.r . . . 4
5 crngring 17791 . . . . 5
65ssriv 3436 . . . 4
7 fss 5737 . . . 4
84, 6, 7sylancl 668 . . 3
91, 2, 3, 8prdsringd 17840 . 2
10 eqid 2451 . . . 4 smulGrp smulGrp
11 fnmgp 17725 . . . . . . 7 mulGrp
12 ssv 3452 . . . . . . 7
13 fnssres 5689 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
1411, 12, 13mp2an 678 . . . . . 6 mulGrp
15 fvres 5879 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
16 eqid 2451 . . . . . . . . 9 mulGrp mulGrp
1716crngmgp 17788 . . . . . . . 8 mulGrp CMnd
1815, 17eqeltrd 2529 . . . . . . 7 mulGrp CMnd
1918rgen 2747 . . . . . 6 mulGrp CMnd
20 ffnfv 6049 . . . . . 6 mulGrp CMnd mulGrp mulGrp CMnd
2114, 19, 20mpbir2an 931 . . . . 5 mulGrp CMnd
22 fco2 5740 . . . . 5 mulGrp CMnd mulGrp CMnd
2321, 4, 22sylancr 669 . . . 4 mulGrp CMnd
2410, 2, 3, 23prdscmnd 17499 . . 3 smulGrp CMnd
25 eqidd 2452 . . . 4 mulGrp mulGrp
26 eqid 2451 . . . . . 6 mulGrp mulGrp
27 ffn 5728 . . . . . . 7
284, 27syl 17 . . . . . 6
291, 26, 10, 2, 3, 28prdsmgp 17838 . . . . 5 mulGrp smulGrp mulGrp smulGrp
3029simpld 461 . . . 4 mulGrp smulGrp
3129simprd 465 . . . . 5 mulGrp smulGrp
3231oveqdr 6314 . . . 4 mulGrp mulGrp mulGrp smulGrp
3325, 30, 32cmnpropd 17439 . . 3 mulGrp CMnd smulGrp CMnd
3424, 33mpbird 236 . 2 mulGrp CMnd
3526iscrng 17787 . 2 mulGrp CMnd
369, 34, 35sylanbrc 670 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  cvv 3045   wss 3404   cres 4836   ccom 4838   wfn 5577  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cbs 15121   cplusg 15190  scprds 15344  CMndccmn 17430  mulGrpcmgp 17723  crg 17780  ccrg 17781 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-prds 15346  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-cmn 17432  df-mgp 17724  df-ring 17782  df-cring 17783 This theorem is referenced by:  pwscrng  17845
 Copyright terms: Public domain W3C validator