Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsco Structured version   Unicode version

Theorem prdsco 15318
 Description: Structure product composition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p s
prdsbas.s
prdsbas.r
prdsbas.b
prdsbas.i
prdshom.h
prdsco.o comp
Assertion
Ref Expression
prdsco comp
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,   ,,,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,,)   ()   (,,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem prdsco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3 s
2 eqid 2420 . . 3
3 prdsbas.i . . 3
4 prdsbas.s . . . 4
5 prdsbas.r . . . 4
6 prdsbas.b . . . 4
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 15307 . . 3
8 eqid 2420 . . . 4
91, 4, 5, 6, 3, 8prdsplusg 15308 . . 3
10 eqid 2420 . . . 4
111, 4, 5, 6, 3, 10prdsmulr 15309 . . 3
12 eqid 2420 . . . 4
131, 4, 5, 6, 3, 2, 12prdsvsca 15310 . . 3
14 eqidd 2421 . . 3 g g
15 eqid 2420 . . . 4 TopSet TopSet
161, 4, 5, 6, 3, 15prdstset 15316 . . 3 TopSet
17 eqid 2420 . . . 4
181, 4, 5, 6, 3, 17prdsle 15312 . . 3
19 eqid 2420 . . . 4
201, 4, 5, 6, 3, 19prdsds 15314 . . 3
21 prdshom.h . . . 4
221, 4, 5, 6, 3, 21prdshom 15317 . . 3
23 eqidd 2421 . . 3 comp comp
241, 2, 3, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 20, 22, 23, 4, 5prdsval 15305 . 2 Scalar g TopSet TopSet comp comp
25 prdsco.o . 2 comp
26 ccoid 15267 . 2 comp Slot comp
27 fvex 5882 . . . . . 6
286, 27eqeltri 2504 . . . . 5
2928, 28xpex 6600 . . . 4
3029, 28mpt2ex 6875 . . 3 comp
3130a1i 11 . 2 comp
32 snsspr2 4144 . . . 4 comp comp comp comp
33 ssun2 3627 . . . 4 comp comp TopSet TopSet comp comp
3432, 33sstri 3470 . . 3 comp comp TopSet TopSet comp comp
35 ssun2 3627 . . 3 TopSet TopSet comp comp Scalar g TopSet TopSet comp comp
3634, 35sstri 3470 . 2 comp comp Scalar g TopSet TopSet comp comp
3724, 25, 26, 31, 36prdsvallem 15304 1 comp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1437   wcel 1867  cvv 3078   cun 3431  csn 3993  cpr 3995  ctp 3997  cop 3999   cmpt 4475   cxp 4843   cdm 4845  cfv 5592  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  c1st 6796  c2nd 6797  cnx 15070  cbs 15073   cplusg 15142  cmulr 15143  Scalarcsca 15145  cvsca 15146  cip 15147  TopSetcts 15148  cple 15149  cds 15151   chom 15153  compcco 15154   g cgsu 15291  scprds 15296 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-fz 11772  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-ip 15160  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-hom 15166  df-cco 15167  df-prds 15298 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator