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Theorem prdsbnd2 30266
Description: If balls are totally bounded in each factor, then balls are bounded in a metric product. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbnd.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbnd.v  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
prdsbnd.e  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsbnd.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsbnd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsbnd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsbnd.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsbnd2.c  |-  C  =  ( D  |`  ( A  X.  A ) )
prdsbnd2.e  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
prdsbnd2.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( E  |`  (
y  X.  y ) )  e.  ( TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  ( Bnd `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
prdsbnd2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  (
TotBnd `  A )  <->  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )
Distinct variable groups:    y, D    x, y, R    x, B, y    y, E    ph, x, y   
x, I, y    x, S    y, V    x, Y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    C( x, y)    D( x)    S( y)    E( x)    V( x)    W( x, y)    Y( y)

Proof of Theorem prdsbnd2
Dummy variables  r 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 totbndbnd 30260 . 2  |-  ( C  e.  ( TotBnd `  A
)  ->  C  e.  ( Bnd `  A ) )
2 bndmet 30252 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( Bnd `  A
)  ->  C  e.  ( Met `  A ) )
3 0totbnd 30244 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( C  e.  ( TotBnd `  A
)  <->  C  e.  ( Met `  A ) ) )
42, 3syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A
)  ->  C  e.  ( TotBnd `  A )
) )
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  (
TotBnd `  A ) ) ) )
6 n0 3780 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. a  a  e.  A )
7 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  C  e.  ( Bnd `  A ) )
8 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
9 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
10 prdsbnd.v . . . . . . . . . . . 12  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
11 prdsbnd.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
12 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
13 prdsbnd.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
14 prdsbnd.i . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
15 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R `
 x )  e. 
_V
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  _V )
17 prdsbnd2.e . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17prdsmet 20746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) ) ) )
19 prdsbnd.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( dist `  Y
)
20 prdsbnd.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Y  =  ( S X_s R )
21 prdsbnd.r . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
22 dffn5 5903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  Fn  I  <->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
2321, 22sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `
 x ) ) )
2423oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2520, 24syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2625fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2719, 26syl5eq 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
28 prdsbnd.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2925fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
3028, 29syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
3130fveq2d 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Met `  B
)  =  ( Met `  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) ) )
3218, 27, 313eltr4d 2546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
34 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) )  ->  C  e.  ( Bnd `  A ) )
35 prdsbnd2.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( D  |`  ( A  X.  A ) )
3635bnd2lem 30262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  B )  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) )  ->  A  C_  B )
3732, 34, 36syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  A  C_  B )
38 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  -> 
a  e.  A )
3937, 38sseldd 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  -> 
a  e.  B )
4035ssbnd 30259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  B )  /\  a  e.  B )  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  <->  E. r  e.  RR  A  C_  (
a ( ball `  D
) r ) ) )
4133, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  -> 
( C  e.  ( Bnd `  A )  <->  E. r  e.  RR  A  C_  ( a (
ball `  D )
r ) ) )
427, 41mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  E. r  e.  RR  A  C_  ( a (
ball `  D )
r ) )
43 simprr 757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) )
44 xpss12 5098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  ( a
( ball `  D )
r )  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) )  ->  ( A  X.  A )  C_  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )
4543, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  ( A  X.  A )  C_  ( ( a (
ball `  D )
r )  X.  (
a ( ball `  D
) r ) ) )
4645resabs1d 5293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( D  |`  ( A  X.  A ) ) )
4746, 35syl6eqr 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  |`  ( A  X.  A
) )  =  C )
48 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  ph )
4939adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  a  e.  B )
50 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  r  e.  RR )
5138adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  a  e.  A )
5243, 51sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  a  e.  ( a ( ball `  D ) r ) )
53 ne0i 3776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( a (
ball `  D )
r )  ->  (
a ( ball `  D
) r )  =/=  (/) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
a ( ball `  D
) r )  =/=  (/) )
5532ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  B
) )
56 metxmet 20710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  ->  D  e.  ( *Met `  B
) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
5850rexrd 9646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  r  e.  RR* )
59 xbln0 20790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  a  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( a (
ball `  D )
r )  =/=  (/)  <->  0  <  r ) )
6057, 49, 58, 59syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
( a ( ball `  D ) r )  =/=  (/)  <->  0  <  r
) )
6154, 60mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  0  <  r )
6250, 61elrpd 11263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
63 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) )  =  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) )
64 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )
65 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )
66 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
dist `  ( (
y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) `  x
) )  |`  (
( Base `  ( (
y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) `  x
) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )  =  ( ( dist `  (
( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  |`  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )
67 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )
6813adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  S  e.  W )
6914adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  Fin )
70 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) )  e.  _V
71 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  ( R `  y )  =  ( R `  x ) )
7271fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  ( dist `  ( R `  y ) )  =  ( dist `  ( R `  x )
) )
7371fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  x  ->  ( Base `  ( R `  y ) )  =  ( Base `  ( R `  x )
) )
7473, 10syl6eqr 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  ( Base `  ( R `  y ) )  =  V )
7574sqxpeqd 5015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
( Base `  ( R `  y ) )  X.  ( Base `  ( R `  y )
) )  =  ( V  X.  V ) )
7672, 75reseq12d 5264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  x
) )  |`  ( V  X.  V ) ) )
7776, 11syl6eqr 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) )  =  E )
7877fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y
) )  |`  (
( Base `  ( R `  y ) )  X.  ( Base `  ( R `  y )
) ) ) )  =  ( ball `  E
) )
79 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
a `  y )  =  ( a `  x ) )
80 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  r  =  r )
8178, 79, 80oveq123d 6302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r )  =  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )
8271, 81oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) )  =  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
8382cbvmptv 4528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
8470, 83fnmpti 5699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )  Fn  I
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )  Fn  I )
8617adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  E  e.  ( Met `  V ) )
87 metxmet 20710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  E  e.  ( *Met `  V
) )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  E  e.  ( *Met `  V
) )
8916ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( R `  x
)  e.  _V )
9089adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. x  e.  I 
( R `  x
)  e.  _V )
91 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
a  e.  B )
9230adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
9391, 92eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
a  e.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
948, 9, 68, 69, 90, 10, 93prdsbascl 14757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. x  e.  I 
( a `  x
)  e.  V )
9594r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( a `  x )  e.  V
)
96 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  r  e.  RR+ )
9796rpred 11265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  r  e.  RR )
98 blbnd 30258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( a `  x )  e.  V  /\  r  e.  RR )  ->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
9988, 95, 97, 98syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
100 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  e. 
_V
101 xpeq12 5008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  =  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  /\  y  =  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r ) )  -> 
( y  X.  y
)  =  ( ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
102101anidms 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
y  X.  y )  =  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
103102reseq2d 5263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  ( E  |`  ( y  X.  y ) )  =  ( E  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
104 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  ( TotBnd `
 y )  =  ( TotBnd `  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r ) ) )
105103, 104eleq12d 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
( E  |`  (
y  X.  y ) )  e.  ( TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
106 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  ( Bnd `  y )  =  ( Bnd `  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
107103, 106eleq12d 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
( E  |`  (
y  X.  y ) )  e.  ( Bnd `  y )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
108105, 107bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
( ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  (
TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  ( Bnd `  y ) )  <->  ( ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )
109108imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  I )  ->  ( ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  (
TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  ( Bnd `  y ) ) )  <->  ( ( ph  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( E  |`  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )  e.  (
TotBnd `  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) ) )
110 prdsbnd2.m . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( E  |`  (
y  X.  y ) )  e.  ( TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  ( Bnd `  y ) ) )
111100, 109, 110vtocl 3147 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( E  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  e.  ( TotBnd `  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) )  <-> 
( E  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  e.  ( Bnd `  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
112111adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( E  |`  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )  e.  (
TotBnd `  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
11399, 112mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
114 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )
11582, 114, 70fvmpt 5941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  I  ->  (
( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x )  =  ( ( R `
 x )s  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )
116115adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) `  x
)  =  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
117116fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( dist `  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
118 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) )  =  ( ( R `
 x )s  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r ) )
119 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dist `  ( R `  x
) )  =  (
dist `  ( R `  x ) )
120118, 119ressds 14688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r )  e. 
_V  ->  ( dist `  ( R `  x )
)  =  ( dist `  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
121100, 120ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dist `  ( R `  x
) )  =  (
dist `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
122117, 121syl6eqr 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( dist `  ( R `  x
) ) )
123116fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( Base `  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
124 rpxr 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
125124ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
r  e.  RR* )
126125adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  r  e.  RR* )
127 blssm 20794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( a `  x )  e.  V  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) 
C_  V )
12888, 95, 126, 127syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r )  C_  V
)
129118, 10ressbas2 14565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r )  C_  V  ->  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  =  (
Base `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r )  =  (
Base `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
131123, 130eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r ) )
132131sqxpeqd 5015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) )  =  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )
133122, 132reseq12d 5264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  |`  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
13411reseq1i 5259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  =  ( ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
135 xpss12 5098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) 
C_  V  /\  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r )  C_  V )  ->  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  C_  ( V  X.  V
) )
136128, 128, 135syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
( a `  x
) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )  C_  ( V  X.  V ) )
137136resabs1d 5293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
( dist `  ( R `  x ) )  |`  ( V  X.  V
) )  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  x
) )  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
138134, 137syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  =  ( (
dist `  ( R `  x ) )  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
139133, 138eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  |`  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )  =  ( E  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
140131fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( TotBnd `  ( Base `  (
( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) )  =  (
TotBnd `  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )
141113, 139, 1403eltr4d 2546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  |`  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )
14263, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 85, 141prdstotbnd 30265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( Base `  ( S X_s (
y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) ) )
14325adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) )
144 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )
145 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )  =  (
Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )
14683oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
147146fveq2i 5859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )
14815a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( R `  x )  e.  _V )
149100a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r )  e.  _V )
150143, 144, 145, 19, 147, 68, 68, 69, 148, 149ressprdsds 20747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( D  |`  ( ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) ) ) ) )
151130ixpeq2dva 7486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  X_ x  e.  I  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r )  = 
X_ x  e.  I 
( Base `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
15271cbvmptv 4528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  I  |->  ( R `
 y ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x ) )
153152oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
15425, 153syl6eqr 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
155154fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
15619, 155syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
157156fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ball `  D
)  =  ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) )
158157oveqdr 6305 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( a ( ball `  D ) r )  =  ( a (
ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) )
159 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
160 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
161154fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
16228, 161syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
163162adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
16491, 163eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
a  e.  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
165 rpgt0 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
166165ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
0  <  r )
167153, 159, 10, 11, 160, 68, 69, 148, 88, 164, 125, 166prdsbl 20867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( a ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r )  = 
X_ x  e.  I 
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )
168158, 167eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( a ( ball `  D ) r )  =  X_ x  e.  I 
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )
169 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
17070a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) )  e.  _V )
171170ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. x  e.  I 
( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  e. 
_V )
172 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  =  ( Base `  (
( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
173169, 145, 68, 69, 171, 172prdsbas3 14755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )  =  X_ x  e.  I 
( Base `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
174151, 168, 1733eqtr4rd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )  =  ( a (
ball `  D )
r ) )
175174sqxpeqd 5015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) ) )  =  ( ( a ( ball `  D
) r )  X.  ( a ( ball `  D ) r ) ) )
176175reseq2d 5263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( D  |`  (
( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) ) ) )  =  ( D  |`  ( ( a (
ball `  D )
r )  X.  (
a ( ball `  D
) r ) ) ) )
177150, 176eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( D  |`  ( ( a (
ball `  D )
r )  X.  (
a ( ball `  D
) r ) ) ) )
178146fveq2i 5859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )
179178, 174syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( a (
ball `  D )
r ) )
180179fveq2d 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( TotBnd `  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) )  =  ( TotBnd `  (
a ( ball `  D
) r ) ) )
181142, 177, 1803eltr3d 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  e.  ( TotBnd `  (
a ( ball `  D
) r ) ) )
18248, 49, 62, 181syl12anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  ( D  |`  ( ( a ( ball `  D
) r )  X.  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  e.  (
TotBnd `  ( a (
ball `  D )
r ) ) )
183 totbndss 30248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  e.  ( TotBnd `  (
a ( ball `  D
) r ) )  /\  A  C_  (
a ( ball `  D
) r ) )  ->  ( ( D  |`  ( ( a (
ball `  D )
r )  X.  (
a ( ball `  D
) r ) ) )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( TotBnd `  A )
)
184182, 43, 183syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  |`  ( A  X.  A
) )  e.  (
TotBnd `  A ) )
18547, 184eqeltrrd 2532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  C  e.  ( TotBnd `  A )
)
18642, 185rexlimddv 2939 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  C  e.  ( TotBnd `  A ) )
187186exp32 605 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  e.  A  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  (
TotBnd `  A ) ) ) )
188187exlimdv 1711 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. a  a  e.  A  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  ( TotBnd `  A )
) ) )
1896, 188syl5bi 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  ( TotBnd `  A )
) ) )
1905, 189pm2.61dne 2760 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  (
TotBnd `  A ) ) )
1911, 190impbid2 204 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  (
TotBnd `  A )  <->  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   (/)c0 3770   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987    |` cres 4991    Fn wfn 5573   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   X_cixp 7471   Fincfn 7518   RRcr 9494   0cc0 9495   RR*cxr 9630    < clt 9631   RR+crp 11229   Basecbs 14509   ↾s cress 14510   distcds 14583   X_scprds 14720   *Metcxmt 18277   Metcme 18278   ballcbl 18279   TotBndctotbnd 30237   Bndcbnd 30238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-ec 7315  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-icc 11545  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-hom 14598  df-cco 14599  df-prds 14722  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-totbnd 30239  df-bnd 30250
This theorem is referenced by:  cnpwstotbnd  30268
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