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Theorem prdsbnd2 26394
Description: If balls are totally bounded in each factor, then balls are bounded in a metric product. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbnd.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbnd.v  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
prdsbnd.e  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsbnd.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsbnd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsbnd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsbnd.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsbnd2.c  |-  C  =  ( D  |`  ( A  X.  A ) )
prdsbnd2.e  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
prdsbnd2.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( E  |`  (
y  X.  y ) )  e.  ( TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  ( Bnd `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
prdsbnd2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  (
TotBnd `  A )  <->  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )
Distinct variable groups:    y, D    x, y, R    x, B, y    y, E    ph, x, y   
x, I, y    x, S    y, V    x, Y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    C( x, y)    D( x)    S( y)    E( x)    V( x)    W( x, y)    Y( y)

Proof of Theorem prdsbnd2
Dummy variables  r 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 totbndbnd 26388 . 2  |-  ( C  e.  ( TotBnd `  A
)  ->  C  e.  ( Bnd `  A ) )
2 bndmet 26380 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( Bnd `  A
)  ->  C  e.  ( Met `  A ) )
3 0totbnd 26372 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( C  e.  ( TotBnd `  A
)  <->  C  e.  ( Met `  A ) ) )
42, 3syl5ibr 213 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A
)  ->  C  e.  ( TotBnd `  A )
) )
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  (
TotBnd `  A ) ) ) )
6 n0 3597 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. a  a  e.  A )
7 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  C  e.  ( Bnd `  A ) )
8 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
9 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
10 prdsbnd.v . . . . . . . . . . . 12  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
11 prdsbnd.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
12 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
13 prdsbnd.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
14 prdsbnd.i . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
15 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R `
 x )  e. 
_V
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  _V )
17 prdsbnd2.e . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17prdsmet 18353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) ) ) )
19 prdsbnd.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( dist `  Y
)
20 prdsbnd.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Y  =  ( S X_s R )
21 prdsbnd.r . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
22 dffn5 5731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  Fn  I  <->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
2321, 22sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `
 x ) ) )
2423oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2520, 24syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2625fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2719, 26syl5eq 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
28 prdsbnd.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2925fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
3028, 29syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
3130fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Met `  B
)  =  ( Met `  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) ) )
3218, 27, 313eltr4d 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
3332adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
34 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) )  ->  C  e.  ( Bnd `  A ) )
35 prdsbnd2.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( D  |`  ( A  X.  A ) )
3635bnd2lem 26390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  B )  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) )  ->  A  C_  B )
3732, 34, 36syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  A  C_  B )
38 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  -> 
a  e.  A )
3937, 38sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  -> 
a  e.  B )
4035ssbnd 26387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  B )  /\  a  e.  B )  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  <->  E. r  e.  RR  A  C_  (
a ( ball `  D
) r ) ) )
4133, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  -> 
( C  e.  ( Bnd `  A )  <->  E. r  e.  RR  A  C_  ( a (
ball `  D )
r ) ) )
427, 41mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  E. r  e.  RR  A  C_  ( a (
ball `  D )
r ) )
43 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) )
44 xpss12 4940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  ( a
( ball `  D )
r )  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) )  ->  ( A  X.  A )  C_  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )
4543, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  ( A  X.  A )  C_  ( ( a (
ball `  D )
r )  X.  (
a ( ball `  D
) r ) ) )
46 resabs1 5134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  A ) 
C_  ( ( a ( ball `  D
) r )  X.  ( a ( ball `  D ) r ) )  ->  ( ( D  |`  ( ( a ( ball `  D
) r )  X.  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  |`  ( A  X.  A ) )  =  ( D  |`  ( A  X.  A
) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( D  |`  ( A  X.  A ) ) )
4847, 35syl6eqr 2454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  |`  ( A  X.  A
) )  =  C )
49 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  ph )
5039adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  a  e.  B )
51 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  r  e.  RR )
5238adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  a  e.  A )
5343, 52sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  a  e.  ( a ( ball `  D ) r ) )
54 ne0i 3594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( a (
ball `  D )
r )  ->  (
a ( ball `  D
) r )  =/=  (/) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
a ( ball `  D
) r )  =/=  (/) )
5632ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  B
) )
57 metxmet 18317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  ->  D  e.  ( * Met `  B
) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  B
) )
5951rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  r  e.  RR* )
60 xbln0 18397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  a  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( a (
ball `  D )
r )  =/=  (/)  <->  0  <  r ) )
6158, 50, 59, 60syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
( a ( ball `  D ) r )  =/=  (/)  <->  0  <  r
) )
6255, 61mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  0  <  r )
6351, 62elrpd 10602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
64 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) )  =  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) )
65 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )
66 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )
67 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
dist `  ( (
y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) `  x
) )  |`  (
( Base `  ( (
y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) `  x
) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )  =  ( ( dist `  (
( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  |`  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )
68 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )
6913adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  S  e.  W )
7014adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  Fin )
71 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) )  e.  _V
72 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  ( R `  y )  =  ( R `  x ) )
7372fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  ( dist `  ( R `  y ) )  =  ( dist `  ( R `  x )
) )
7472fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  x  ->  ( Base `  ( R `  y ) )  =  ( Base `  ( R `  x )
) )
7574, 10syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  ( Base `  ( R `  y ) )  =  V )
7675, 75xpeq12d 4862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
( Base `  ( R `  y ) )  X.  ( Base `  ( R `  y )
) )  =  ( V  X.  V ) )
7773, 76reseq12d 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  x
) )  |`  ( V  X.  V ) ) )
7877, 11syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) )  =  E )
7978fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y
) )  |`  (
( Base `  ( R `  y ) )  X.  ( Base `  ( R `  y )
) ) ) )  =  ( ball `  E
) )
80 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
a `  y )  =  ( a `  x ) )
81 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  r  =  r )
8279, 80, 81oveq123d 6061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r )  =  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )
8372, 82oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) )  =  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
8483cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
8571, 84fnmpti 5532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )  Fn  I
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )  Fn  I )
8717adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  E  e.  ( Met `  V ) )
88 metxmet 18317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
9016ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( R `  x
)  e.  _V )
9190adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. x  e.  I 
( R `  x
)  e.  _V )
92 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
a  e.  B )
9330adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
9492, 93eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
a  e.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
958, 9, 69, 70, 91, 10, 94prdsbascl 13660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. x  e.  I 
( a `  x
)  e.  V )
9695r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( a `  x )  e.  V
)
97 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  r  e.  RR+ )
9897rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  r  e.  RR )
99 blbnd 26386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( a `  x )  e.  V  /\  r  e.  RR )  ->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
10089, 96, 98, 99syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
101 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  e. 
_V
102 xpeq12 4856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  =  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  /\  y  =  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r ) )  -> 
( y  X.  y
)  =  ( ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
103102anidms 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
y  X.  y )  =  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
104103reseq2d 5105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  ( E  |`  ( y  X.  y ) )  =  ( E  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
105 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  ( TotBnd `
 y )  =  ( TotBnd `  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r ) ) )
106104, 105eleq12d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
( E  |`  (
y  X.  y ) )  e.  ( TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
107 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  ( Bnd `  y )  =  ( Bnd `  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
108104, 107eleq12d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
( E  |`  (
y  X.  y ) )  e.  ( Bnd `  y )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
109106, 108bibi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
( ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  (
TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  ( Bnd `  y ) )  <->  ( ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )
110109imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  I )  ->  ( ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  (
TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  ( Bnd `  y ) ) )  <->  ( ( ph  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( E  |`  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )  e.  (
TotBnd `  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) ) )
111 prdsbnd2.m . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( E  |`  (
y  X.  y ) )  e.  ( TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  ( Bnd `  y ) ) )
112101, 110, 111vtocl 2966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( E  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  e.  ( TotBnd `  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) )  <-> 
( E  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  e.  ( Bnd `  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
113112adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( E  |`  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )  e.  (
TotBnd `  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
114100, 113mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
115 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )
11683, 115, 71fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  I  ->  (
( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x )  =  ( ( R `
 x )s  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )
117116adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) `  x
)  =  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
118117fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( dist `  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
119 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) )  =  ( ( R `
 x )s  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r ) )
120 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dist `  ( R `  x
) )  =  (
dist `  ( R `  x ) )
121119, 120ressds 13596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r )  e. 
_V  ->  ( dist `  ( R `  x )
)  =  ( dist `  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
122101, 121ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dist `  ( R `  x
) )  =  (
dist `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
123118, 122syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( dist `  ( R `  x
) ) )
124117fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( Base `  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
125 rpxr 10575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
126125ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
r  e.  RR* )
127126adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  r  e.  RR* )
128 blssm 18401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( a `  x )  e.  V  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) 
C_  V )
12989, 96, 127, 128syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r )  C_  V
)
130119, 10ressbas2 13475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r )  C_  V  ->  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  =  (
Base `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
131129, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r )  =  (
Base `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
132124, 131eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r ) )
133132, 132xpeq12d 4862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) )  =  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )
134123, 133reseq12d 5106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  |`  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
13511reseq1i 5101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  =  ( ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
136 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) 
C_  V  /\  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r )  C_  V )  ->  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  C_  ( V  X.  V
) )
137129, 129, 136syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
( a `  x
) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )  C_  ( V  X.  V ) )
138 resabs1 5134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  C_  ( V  X.  V
)  ->  ( (
( dist `  ( R `  x ) )  |`  ( V  X.  V
) )  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  x
) )  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
( dist `  ( R `  x ) )  |`  ( V  X.  V
) )  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  x
) )  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
140135, 139syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  =  ( (
dist `  ( R `  x ) )  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
141134, 140eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  |`  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )  =  ( E  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
142132fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( TotBnd `  ( Base `  (
( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) )  =  (
TotBnd `  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )
143114, 141, 1423eltr4d 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  |`  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )
14464, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 86, 143prdstotbnd 26393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( Base `  ( S X_s (
y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) ) )
14525adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) )
146 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )
147 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )  =  (
Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )
14884oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
149148fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )
15015a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( R `  x )  e.  _V )
151101a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r )  e.  _V )
152145, 146, 147, 19, 149, 69, 69, 70, 150, 151ressprdsds 18354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( D  |`  ( ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) ) ) ) )
153131ixpeq2dva 7036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  X_ x  e.  I  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r )  = 
X_ x  e.  I 
( Base `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
15472cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  I  |->  ( R `
 y ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x ) )
155154oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
15625, 155syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
157156fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
15819, 157syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
159158fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ball `  D
)  =  ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) )
160159proplem3 13871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( a ( ball `  D ) r )  =  ( a (
ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) )
161 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
162 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
163156fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
16428, 163syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
165164adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
16692, 165eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
a  e.  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
167 rpgt0 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
168167ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
0  <  r )
169155, 161, 10, 11, 162, 69, 70, 150, 89, 166, 126, 168prdsbl 18474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( a ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r )  = 
X_ x  e.  I 
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )
170160, 169eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( a ( ball `  D ) r )  =  X_ x  e.  I 
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )
171 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
17271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) )  e.  _V )
173172ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. x  e.  I 
( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  e. 
_V )
174 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  =  ( Base `  (
( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
175171, 147, 69, 70, 173, 174prdsbas3 13658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )  =  X_ x  e.  I 
( Base `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
176153, 170, 1753eqtr4rd 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )  =  ( a (
ball `  D )
r ) )
177176, 176xpeq12d 4862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) ) )  =  ( ( a ( ball `  D
) r )  X.  ( a ( ball `  D ) r ) ) )
178177reseq2d 5105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( D  |`  (
( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) ) ) )  =  ( D  |`  ( ( a (
ball `  D )
r )  X.  (
a ( ball `  D
) r ) ) ) )
179152, 178eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( D  |`  ( ( a (
ball `  D )
r )  X.  (
a ( ball `  D
) r ) ) ) )
180148fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )
181180, 176syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( a (
ball `  D )
r ) )
182181fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( TotBnd `  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) )  =  ( TotBnd `  (
a ( ball `  D
) r ) ) )
183144, 179, 1823eltr3d 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  e.  ( TotBnd `  (
a ( ball `  D
) r ) ) )
18449, 50, 63, 183syl12anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  ( D  |`  ( ( a ( ball `  D
) r )  X.  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  e.  (
TotBnd `  ( a (
ball `  D )
r ) ) )
185 totbndss 26376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  e.  ( TotBnd `  (
a ( ball `  D
) r ) )  /\  A  C_  (
a ( ball `  D
) r ) )  ->  ( ( D  |`  ( ( a (
ball `  D )
r )  X.  (
a ( ball `  D
) r ) ) )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( TotBnd `  A )
)
186184, 43, 185syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  |`  ( A  X.  A
) )  e.  (
TotBnd `  A ) )
18748, 186eqeltrrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  C  e.  ( TotBnd `  A )
)
18842, 187rexlimddv 2794 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  C  e.  ( TotBnd `  A ) )
189188exp32 589 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  e.  A  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  (
TotBnd `  A ) ) ) )
190189exlimdv 1643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. a  a  e.  A  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  ( TotBnd `  A )
) ) )
1916, 190syl5bi 209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  ( TotBnd `  A )
) ) )
1925, 191pm2.61dne 2644 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  (
TotBnd `  A ) ) )
1931, 192impbid2 196 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  (
TotBnd `  A )  <->  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835    |` cres 4839    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   X_cixp 7022   Fincfn 7068   RRcr 8945   0cc0 8946   RR*cxr 9075    < clt 9076   RR+crp 10568   Basecbs 13424   ↾s cress 13425   distcds 13493   X_scprds 13624   * Metcxmt 16641   Metcme 16642   ballcbl 16643   TotBndctotbnd 26365   Bndcbnd 26366
This theorem is referenced by:  cnpwstotbnd  26396
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-totbnd 26367  df-bnd 26378
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