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Theorem prdsbnd2 28697
Description: If balls are totally bounded in each factor, then balls are bounded in a metric product. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbnd.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbnd.v  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
prdsbnd.e  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsbnd.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsbnd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsbnd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsbnd.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsbnd2.c  |-  C  =  ( D  |`  ( A  X.  A ) )
prdsbnd2.e  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
prdsbnd2.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( E  |`  (
y  X.  y ) )  e.  ( TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  ( Bnd `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
prdsbnd2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  (
TotBnd `  A )  <->  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )
Distinct variable groups:    y, D    x, y, R    x, B, y    y, E    ph, x, y   
x, I, y    x, S    y, V    x, Y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    C( x, y)    D( x)    S( y)    E( x)    V( x)    W( x, y)    Y( y)

Proof of Theorem prdsbnd2
Dummy variables  r 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 totbndbnd 28691 . 2  |-  ( C  e.  ( TotBnd `  A
)  ->  C  e.  ( Bnd `  A ) )
2 bndmet 28683 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( Bnd `  A
)  ->  C  e.  ( Met `  A ) )
3 0totbnd 28675 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( C  e.  ( TotBnd `  A
)  <->  C  e.  ( Met `  A ) ) )
42, 3syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A
)  ->  C  e.  ( TotBnd `  A )
) )
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  (
TotBnd `  A ) ) ) )
6 n0 3649 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. a  a  e.  A )
7 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  C  e.  ( Bnd `  A ) )
8 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
9 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
10 prdsbnd.v . . . . . . . . . . . 12  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
11 prdsbnd.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
12 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
13 prdsbnd.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
14 prdsbnd.i . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
15 fvex 5704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R `
 x )  e. 
_V
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  _V )
17 prdsbnd2.e . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17prdsmet 19948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) ) ) )
19 prdsbnd.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( dist `  Y
)
20 prdsbnd.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Y  =  ( S X_s R )
21 prdsbnd.r . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
22 dffn5 5740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  Fn  I  <->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
2321, 22sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `
 x ) ) )
2423oveq2d 6110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2520, 24syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2625fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2719, 26syl5eq 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
28 prdsbnd.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2925fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
3028, 29syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
3130fveq2d 5698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Met `  B
)  =  ( Met `  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) ) )
3218, 27, 313eltr4d 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
34 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) )  ->  C  e.  ( Bnd `  A ) )
35 prdsbnd2.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( D  |`  ( A  X.  A ) )
3635bnd2lem 28693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  B )  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) )  ->  A  C_  B )
3732, 34, 36syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  A  C_  B )
38 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  -> 
a  e.  A )
3937, 38sseldd 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  -> 
a  e.  B )
4035ssbnd 28690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  B )  /\  a  e.  B )  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  <->  E. r  e.  RR  A  C_  (
a ( ball `  D
) r ) ) )
4133, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  -> 
( C  e.  ( Bnd `  A )  <->  E. r  e.  RR  A  C_  ( a (
ball `  D )
r ) ) )
427, 41mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  E. r  e.  RR  A  C_  ( a (
ball `  D )
r ) )
43 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) )
44 xpss12 4948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  ( a
( ball `  D )
r )  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) )  ->  ( A  X.  A )  C_  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )
4543, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  ( A  X.  A )  C_  ( ( a (
ball `  D )
r )  X.  (
a ( ball `  D
) r ) ) )
46 resabs1 5142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  A ) 
C_  ( ( a ( ball `  D
) r )  X.  ( a ( ball `  D ) r ) )  ->  ( ( D  |`  ( ( a ( ball `  D
) r )  X.  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  |`  ( A  X.  A ) )  =  ( D  |`  ( A  X.  A
) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( D  |`  ( A  X.  A ) ) )
4847, 35syl6eqr 2493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  |`  ( A  X.  A
) )  =  C )
49 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  ph )
5039adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  a  e.  B )
51 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  r  e.  RR )
5238adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  a  e.  A )
5343, 52sseldd 3360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  a  e.  ( a ( ball `  D ) r ) )
54 ne0i 3646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( a (
ball `  D )
r )  ->  (
a ( ball `  D
) r )  =/=  (/) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
a ( ball `  D
) r )  =/=  (/) )
5632ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  B
) )
57 metxmet 19912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  ->  D  e.  ( *Met `  B
) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
5951rexrd 9436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  r  e.  RR* )
60 xbln0 19992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  a  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( a (
ball `  D )
r )  =/=  (/)  <->  0  <  r ) )
6158, 50, 59, 60syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
( a ( ball `  D ) r )  =/=  (/)  <->  0  <  r
) )
6255, 61mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  0  <  r )
6351, 62elrpd 11028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
64 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) )  =  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) )
65 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )
66 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )
67 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
dist `  ( (
y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) `  x
) )  |`  (
( Base `  ( (
y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) `  x
) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )  =  ( ( dist `  (
( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  |`  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )
68 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )
6913adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  S  e.  W )
7014adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  Fin )
71 ovex 6119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) )  e.  _V
72 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  ( R `  y )  =  ( R `  x ) )
7372fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  ( dist `  ( R `  y ) )  =  ( dist `  ( R `  x )
) )
7472fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  x  ->  ( Base `  ( R `  y ) )  =  ( Base `  ( R `  x )
) )
7574, 10syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  ( Base `  ( R `  y ) )  =  V )
7675, 75xpeq12d 4868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
( Base `  ( R `  y ) )  X.  ( Base `  ( R `  y )
) )  =  ( V  X.  V ) )
7773, 76reseq12d 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  x
) )  |`  ( V  X.  V ) ) )
7877, 11syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) )  =  E )
7978fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y
) )  |`  (
( Base `  ( R `  y ) )  X.  ( Base `  ( R `  y )
) ) ) )  =  ( ball `  E
) )
80 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
a `  y )  =  ( a `  x ) )
81 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  r  =  r )
8279, 80, 81oveq123d 6115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r )  =  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )
8372, 82oveq12d 6112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) )  =  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
8483cbvmptv 4386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
8571, 84fnmpti 5542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )  Fn  I
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )  Fn  I )
8717adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  E  e.  ( Met `  V ) )
88 metxmet 19912 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  E  e.  ( *Met `  V
) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  E  e.  ( *Met `  V
) )
9016ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( R `  x
)  e.  _V )
9190adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. x  e.  I 
( R `  x
)  e.  _V )
92 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
a  e.  B )
9330adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
9492, 93eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
a  e.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
958, 9, 69, 70, 91, 10, 94prdsbascl 14424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. x  e.  I 
( a `  x
)  e.  V )
9695r19.21bi 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( a `  x )  e.  V
)
97 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  r  e.  RR+ )
9897rpred 11030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  r  e.  RR )
99 blbnd 28689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( a `  x )  e.  V  /\  r  e.  RR )  ->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
10089, 96, 98, 99syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
101 ovex 6119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  e. 
_V
102 xpeq12 4862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  =  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  /\  y  =  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r ) )  -> 
( y  X.  y
)  =  ( ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
103102anidms 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
y  X.  y )  =  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
104103reseq2d 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  ( E  |`  ( y  X.  y ) )  =  ( E  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
105 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  ( TotBnd `
 y )  =  ( TotBnd `  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r ) ) )
106104, 105eleq12d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
( E  |`  (
y  X.  y ) )  e.  ( TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
107 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  ( Bnd `  y )  =  ( Bnd `  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
108104, 107eleq12d 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
( E  |`  (
y  X.  y ) )  e.  ( Bnd `  y )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
109106, 108bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
( ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  (
TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  ( Bnd `  y ) )  <->  ( ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )
110109imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  I )  ->  ( ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  (
TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  ( Bnd `  y ) ) )  <->  ( ( ph  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( E  |`  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )  e.  (
TotBnd `  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) ) )
111 prdsbnd2.m . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( E  |`  (
y  X.  y ) )  e.  ( TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  ( Bnd `  y ) ) )
112101, 110, 111vtocl 3027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( E  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  e.  ( TotBnd `  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) )  <-> 
( E  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  e.  ( Bnd `  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
113112adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( E  |`  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )  e.  (
TotBnd `  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
114100, 113mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
115 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )
11683, 115, 71fvmpt 5777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  I  ->  (
( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x )  =  ( ( R `
 x )s  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )
117116adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) `  x
)  =  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
118117fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( dist `  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
119 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) )  =  ( ( R `
 x )s  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r ) )
120 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dist `  ( R `  x
) )  =  (
dist `  ( R `  x ) )
121119, 120ressds 14355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r )  e. 
_V  ->  ( dist `  ( R `  x )
)  =  ( dist `  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
122101, 121ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dist `  ( R `  x
) )  =  (
dist `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
123118, 122syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( dist `  ( R `  x
) ) )
124117fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( Base `  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
125 rpxr 11001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
126125ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
r  e.  RR* )
127126adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  r  e.  RR* )
128 blssm 19996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( a `  x )  e.  V  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) 
C_  V )
12989, 96, 127, 128syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r )  C_  V
)
130119, 10ressbas2 14232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r )  C_  V  ->  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  =  (
Base `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
131129, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r )  =  (
Base `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
132124, 131eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r ) )
133132, 132xpeq12d 4868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) )  =  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )
134123, 133reseq12d 5114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  |`  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
13511reseq1i 5109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  =  ( ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
136 xpss12 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) 
C_  V  /\  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r )  C_  V )  ->  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  C_  ( V  X.  V
) )
137129, 129, 136syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
( a `  x
) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )  C_  ( V  X.  V ) )
138 resabs1 5142 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  C_  ( V  X.  V
)  ->  ( (
( dist `  ( R `  x ) )  |`  ( V  X.  V
) )  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  x
) )  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
( dist `  ( R `  x ) )  |`  ( V  X.  V
) )  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  x
) )  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
140135, 139syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  =  ( (
dist `  ( R `  x ) )  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
141134, 140eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  |`  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )  =  ( E  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
142132fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( TotBnd `  ( Base `  (
( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) )  =  (
TotBnd `  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )
143114, 141, 1423eltr4d 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  |`  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )
14464, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 86, 143prdstotbnd 28696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( Base `  ( S X_s (
y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) ) )
14525adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) )
146 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )
147 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )  =  (
Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )
14884oveq2i 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
149148fveq2i 5697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )
15015a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( R `  x )  e.  _V )
151101a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r )  e.  _V )
152145, 146, 147, 19, 149, 69, 69, 70, 150, 151ressprdsds 19949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( D  |`  ( ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) ) ) ) )
153131ixpeq2dva 7281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  X_ x  e.  I  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r )  = 
X_ x  e.  I 
( Base `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
15472cbvmptv 4386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  I  |->  ( R `
 y ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x ) )
155154oveq2i 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
15625, 155syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
157156fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
15819, 157syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
159158fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ball `  D
)  =  ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) )
160159proplem3 14632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( a ( ball `  D ) r )  =  ( a (
ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) )
161 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
162 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
163156fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
16428, 163syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
165164adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
16692, 165eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
a  e.  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
167 rpgt0 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
168167ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
0  <  r )
169155, 161, 10, 11, 162, 69, 70, 150, 89, 166, 126, 168prdsbl 20069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( a ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r )  = 
X_ x  e.  I 
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )
170160, 169eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( a ( ball `  D ) r )  =  X_ x  e.  I 
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )
171 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
17271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) )  e.  _V )
173172ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. x  e.  I 
( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  e. 
_V )
174 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  =  ( Base `  (
( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
175171, 147, 69, 70, 173, 174prdsbas3 14422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )  =  X_ x  e.  I 
( Base `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
176153, 170, 1753eqtr4rd 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )  =  ( a (
ball `  D )
r ) )
177176, 176xpeq12d 4868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) ) )  =  ( ( a ( ball `  D
) r )  X.  ( a ( ball `  D ) r ) ) )
178177reseq2d 5113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( D  |`  (
( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) ) ) )  =  ( D  |`  ( ( a (
ball `  D )
r )  X.  (
a ( ball `  D
) r ) ) ) )
179152, 178eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( D  |`  ( ( a (
ball `  D )
r )  X.  (
a ( ball `  D
) r ) ) ) )
180148fveq2i 5697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )
181180, 176syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( a (
ball `  D )
r ) )
182181fveq2d 5698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( TotBnd `  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) )  =  ( TotBnd `  (
a ( ball `  D
) r ) ) )
183144, 179, 1823eltr3d 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  e.  ( TotBnd `  (
a ( ball `  D
) r ) ) )
18449, 50, 63, 183syl12anc 1216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  ( D  |`  ( ( a ( ball `  D
) r )  X.  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  e.  (
TotBnd `  ( a (
ball `  D )
r ) ) )
185 totbndss 28679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  e.  ( TotBnd `  (
a ( ball `  D
) r ) )  /\  A  C_  (
a ( ball `  D
) r ) )  ->  ( ( D  |`  ( ( a (
ball `  D )
r )  X.  (
a ( ball `  D
) r ) ) )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( TotBnd `  A )
)
186184, 43, 185syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  |`  ( A  X.  A
) )  e.  (
TotBnd `  A ) )
18748, 186eqeltrrd 2518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  C  e.  ( TotBnd `  A )
)
18842, 187rexlimddv 2848 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  C  e.  ( TotBnd `  A ) )
189188exp32 605 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  e.  A  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  (
TotBnd `  A ) ) ) )
190189exlimdv 1690 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. a  a  e.  A  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  ( TotBnd `  A )
) ) )
1916, 190syl5bi 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  ( TotBnd `  A )
) ) )
1925, 191pm2.61dne 2691 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  (
TotBnd `  A ) ) )
1931, 192impbid2 204 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  (
TotBnd `  A )  <->  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2609   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975    C_ wss 3331   (/)c0 3640   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353    X. cxp 4841    |` cres 4845    Fn wfn 5416   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   X_cixp 7266   Fincfn 7313   RRcr 9284   0cc0 9285   RR*cxr 9420    < clt 9421   RR+crp 10994   Basecbs 14177   ↾s cress 14178   distcds 14250   X_scprds 14387   *Metcxmt 17804   Metcme 17805   ballcbl 17806   TotBndctotbnd 28668   Bndcbnd 28669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-ec 7106  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-sup 7694  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-icc 11310  df-fz 11441  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-hom 14265  df-cco 14266  df-prds 14389  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-totbnd 28670  df-bnd 28681
This theorem is referenced by:  cnpwstotbnd  28699
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