Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prdsbnd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem prdsbnd 32189
 Description: The product metric over finite index set is bounded if all the factors are bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y s
prdsbnd.b
prdsbnd.v
prdsbnd.e
prdsbnd.d
prdsbnd.s
prdsbnd.i
prdsbnd.r
prdsbnd.m
Assertion
Ref Expression
prdsbnd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdsbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . 4 s s
2 eqid 2471 . . . 4 s s
3 prdsbnd.v . . . 4
4 prdsbnd.e . . . 4
5 eqid 2471 . . . 4 s s
6 prdsbnd.s . . . 4
7 prdsbnd.i . . . 4
8 fvex 5889 . . . . 5
98a1i 11 . . . 4
10 prdsbnd.m . . . . 5
11 bndmet 32177 . . . . 5
1210, 11syl 17 . . . 4
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12prdsmet 21463 . . 3 s s
14 prdsbnd.d . . . 4
15 prdsbnd.y . . . . . 6 s
16 prdsbnd.r . . . . . . . 8
17 dffn5 5924 . . . . . . . 8
1816, 17sylib 201 . . . . . . 7
1918oveq2d 6324 . . . . . 6 s s
2015, 19syl5eq 2517 . . . . 5 s
2120fveq2d 5883 . . . 4 s
2214, 21syl5eq 2517 . . 3 s
23 prdsbnd.b . . . . 5
2420fveq2d 5883 . . . . 5 s
2523, 24syl5eq 2517 . . . 4 s
2625fveq2d 5883 . . 3 s
2713, 22, 263eltr4d 2564 . 2
28 isbnd3 32180 . . . . . . 7
2928simprbi 471 . . . . . 6
3010, 29syl 17 . . . . 5
3130ralrimiva 2809 . . . 4
32 oveq2 6316 . . . . . 6
3332feq3d 5726 . . . . 5
3433ac6sfi 7833 . . . 4
357, 31, 34syl2anc 673 . . 3
36 frn 5747 . . . . . . . 8
3736adantl 473 . . . . . . 7
38 0red 9662 . . . . . . . . 9
3938snssd 4108 . . . . . . . 8
4039adantr 472 . . . . . . 7
4137, 40unssd 3601 . . . . . 6
42 ffn 5739 . . . . . . . . . 10
43 dffn4 5812 . . . . . . . . . 10
4442, 43sylib 201 . . . . . . . . 9
45 fofi 7878 . . . . . . . . 9
467, 44, 45syl2an 485 . . . . . . . 8
47 snfi 7668 . . . . . . . 8
48 unfi 7856 . . . . . . . 8
4946, 47, 48sylancl 675 . . . . . . 7
50 ssun2 3589 . . . . . . . . 9
51 c0ex 9655 . . . . . . . . . 10
5251snid 3988 . . . . . . . . 9
5350, 52sselii 3415 . . . . . . . 8
54 ne0i 3728 . . . . . . . 8
5553, 54mp1i 13 . . . . . . 7
56 ltso 9732 . . . . . . . 8
57 fisupcl 8003 . . . . . . . 8
5856, 57mpan 684 . . . . . . 7
5949, 55, 41, 58syl3anc 1292 . . . . . 6
6041, 59sseldd 3419 . . . . 5
6160adantrr 731 . . . 4
62 metf 21423 . . . . . . 7
63 ffn 5739 . . . . . . 7
6427, 62, 633syl 18 . . . . . 6
6564adantr 472 . . . . 5
6627ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
67 simprl 772 . . . . . . . . . 10
6867adantr 472 . . . . . . . . 9
69 simprr 774 . . . . . . . . . 10
7069adantr 472 . . . . . . . . 9
71 metcl 21425 . . . . . . . . 9
7266, 68, 70, 71syl3anc 1292 . . . . . . . 8
73 metge0 21438 . . . . . . . . 9
7466, 68, 70, 73syl3anc 1292 . . . . . . . 8
7522oveqdr 6332 . . . . . . . . . . 11 s
766adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
777adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
788a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
7978ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12
8025adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 s
8167, 80eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12 s
8269, 80eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12 s
831, 2, 76, 77, 79, 81, 82, 3, 4, 5prdsdsval3 15461 . . . . . . . . . . 11 s
8475, 83eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
8584adantr 472 . . . . . . . . 9
8612adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
871, 2, 76, 77, 79, 3, 81prdsbascl 15459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8887r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
891, 2, 76, 77, 79, 3, 82prdsbascl 15459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9089r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91 metcl 21425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9286, 88, 90, 91syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9392ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16
94 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9594ad2ant2lr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9660adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9988ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10090ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10198, 99, 100fovrnd 6460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103 elicc2 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
104102, 95, 103sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105101, 104mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106105simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10741adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108107adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10953, 54mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110 fimaxre2 10574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11141, 49, 110syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112111adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113112adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11542ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118115, 116, 117syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119114, 118sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
121108, 109, 113, 119, 120syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12293, 95, 97, 106, 121letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . . 15
123122expr 626 . . . . . . . . . . . . . 14
124123ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . . 13
125124impr 631 . . . . . . . . . . . 12
126 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . 14
127126rgenw 2768 . . . . . . . . . . . . 13
128 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
129 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . 14
130128, 129ralrnmpt 6046 . . . . . . . . . . . . 13
131127, 130ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
132125, 131sylibr 217 . . . . . . . . . . 11
13341ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . 14
13453, 54mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14
135111ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . 14
13653a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
137 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . 14
138133, 134, 135, 136, 137syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . 13
139 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . 14
140139breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13
141138, 140syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . 12
142141ralrimiv 2808 . . . . . . . . . . 11
143 ralunb 3606 . . . . . . . . . . 11
144132, 142, 143sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10
14592, 128fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . 15
146 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . . 15
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
148 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . 15
149148snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . 14
150147, 149unssd 3601 . . . . . . . . . . . . 13
151 ressxr 9702 . . . . . . . . . . . . 13
152150, 151syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . 12
153152adantr 472 . . . . . . . . . . 11
15461adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12
155154rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11
156 supxrleub 11637 . . . . . . . . . . 11
157153, 155, 156syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
158144, 157mpbird 240 . . . . . . . . 9
15985, 158eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8
160 elicc2 11724 . . . . . . . . 9
161102, 154, 160sylancr 676 . . . . . . . 8
16272, 74, 159, 161mpbir3and 1213 . . . . . . 7
163162an32s 821 . . . . . 6
164163ralrimivva 2814 . . . . 5
165 ffnov 6419 . . . . 5
16665, 164, 165sylanbrc 677 . . . 4
167 oveq2 6316 . . . . . 6
168167feq3d 5726 . . . . 5
169168rspcev 3136 . . . 4
17061, 166, 169syl2anc 673 . . 3
17135, 170exlimddv 1789 . 2
172 isbnd3 32180 . 2
17327, 171, 172sylanbrc 677 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cun 3388   wss 3390  c0 3722  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   wor 4759   cxp 4837   crn 4840   cres 4841   wfn 5584  wf 5585  wfo 5587  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  csup 7972  cr 9556  cc0 9557  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cicc 11663  cbs 15199  cds 15277  scprds 15422  cme 19033  cbnd 32163 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-prds 15424  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-bnd 32175 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator