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Theorem prdsbnd 29892
Description: The product metric over finite index set is bounded if all the factors are bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbnd.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbnd.v  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
prdsbnd.e  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsbnd.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsbnd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsbnd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsbnd.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsbnd.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Bnd `  V
) )
Assertion
Ref Expression
prdsbnd  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Bnd `  B ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, B    ph, x    x, I    x, S    x, Y
Allowed substitution hints:    D( x)    E( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem prdsbnd
Dummy variables  z 
f  g  k  m  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
3 prdsbnd.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
4 prdsbnd.e . . . 4  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
5 eqid 2467 . . . 4  |-  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
6 prdsbnd.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
7 prdsbnd.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
8 fvex 5874 . . . . 5  |-  ( R `
 x )  e. 
_V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  _V )
10 prdsbnd.m . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Bnd `  V
) )
11 bndmet 29880 . . . . 5  |-  ( E  e.  ( Bnd `  V
)  ->  E  e.  ( Met `  V ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12prdsmet 20608 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) ) ) )
14 prdsbnd.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  Y
)
15 prdsbnd.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
16 prdsbnd.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
17 dffn5 5911 . . . . . . . 8  |-  ( R  Fn  I  <->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
1816, 17sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `
 x ) ) )
1918oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2015, 19syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2120fveq2d 5868 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2214, 21syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
23 prdsbnd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2420fveq2d 5868 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2523, 24syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2625fveq2d 5868 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Met `  B
)  =  ( Met `  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) ) )
2713, 22, 263eltr4d 2570 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
28 isbnd3 29883 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  ( Bnd `  V
)  <->  ( E  e.  ( Met `  V
)  /\  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w
) ) )
2928simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ( Bnd `  V
)  ->  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w
) )
3010, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w
) )
3130ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w ) )
32 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k `  x )  ->  (
0 [,] w )  =  ( 0 [,] ( k `  x
) ) )
33 feq3 5713 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] w )  =  ( 0 [,] ( k `  x
) )  ->  ( E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w )  <->  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k `  x )  ->  ( E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w )  <->  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )
3534ac6sfi 7760 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w ) )  ->  E. k ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )
367, 31, 35syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )
37 frn 5735 . . . . . . . 8  |-  ( k : I --> RR  ->  ran  k  C_  RR )
3837adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  ran  k  C_  RR )
39 0re 9592 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
4039a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
4140snssd 4172 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { 0 }  C_  RR )
4241adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  { 0 }  C_  RR )
4338, 42unssd 3680 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  -> 
( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR )
44 ffn 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( k : I --> RR  ->  k  Fn  I )
45 dffn4 5799 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  Fn  I  <->  k :
I -onto-> ran  k )
4644, 45sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( k : I --> RR  ->  k : I -onto-> ran  k
)
47 fofi 7802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  k : I -onto-> ran  k
)  ->  ran  k  e. 
Fin )
487, 46, 47syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  ran  k  e.  Fin )
49 snfi 7593 . . . . . . . 8  |-  { 0 }  e.  Fin
50 unfi 7783 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  k  e.  Fin  /\ 
{ 0 }  e.  Fin )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  e.  Fin )
5148, 49, 50sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  -> 
( ran  k  u.  { 0 } )  e. 
Fin )
52 ssun2 3668 . . . . . . . . 9  |-  { 0 }  C_  ( ran  k  u.  { 0 } )
53 c0ex 9586 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
5453snid 4055 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  { 0 }
5552, 54sselii 3501 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( ran  k  u. 
{ 0 } )
56 ne0i 3791 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( ran  k  u.  { 0 } )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
5755, 56mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  -> 
( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
58 ltso 9661 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR
59 fisupcl 7923 . . . . . . . 8  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( ( ran  k  u.  { 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/)  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR ) )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) )
6058, 59mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ran  k  u. 
{ 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/)  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( ran  k  u.  {
0 } ) )
6151, 57, 43, 60syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) )
6243, 61sseldd 3505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
6362adantrr 716 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
64 metf 20568 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  ->  D :
( B  X.  B
) --> RR )
65 ffn 5729 . . . . . . 7  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> RR  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
6627, 64, 653syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
6766adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  D  Fn  ( B  X.  B
) )
6827ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
69 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
7069adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  f  e.  B )
71 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
7271adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  g  e.  B )
73 metcl 20570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  B )  /\  f  e.  B  /\  g  e.  B )  ->  (
f D g )  e.  RR )
7468, 70, 72, 73syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( f D g )  e.  RR )
75 metge0 20583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  B )  /\  f  e.  B  /\  g  e.  B )  ->  0  <_  ( f D g ) )
7668, 70, 72, 75syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  0  <_  ( f D g ) )
7722proplem3 14942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  ( f ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) g ) )
786adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  W )
797adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  Fin )
808a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  _V )
8180ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( R `  x
)  e.  _V )
8225adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
8369, 82eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
8471, 82eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
851, 2, 78, 79, 81, 83, 84, 3, 4, 5prdsdsval3 14736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) g )  =  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
8677, 85eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
8786adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( f D g )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
8812adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
891, 2, 78, 79, 81, 3, 83prdsbascl 14734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
9089r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  e.  V )
911, 2, 78, 79, 81, 3, 84prdsbascl 14734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
9291r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
g `  x )  e.  V )
93 metcl 20570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E  e.  ( Met `  V )  /\  (
f `  x )  e.  V  /\  (
g `  x )  e.  V )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
9488, 90, 92, 93syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
9594ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR )
96 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k : I --> RR  /\  x  e.  I )  ->  ( k `  x
)  e.  RR )
9796ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  RR )
9862adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  k :
I --> RR )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
100 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] (
k `  x )
) )
10190ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  V
)
10292ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( g `  x )  e.  V
)
103100, 101, 102fovrnd 6429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  ( 0 [,] ( k `
 x ) ) )
104 elicc2 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( k `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  ( 0 [,] (
k `  x )
)  <->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( k `  x
) ) ) )
10539, 97, 104sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  ( 0 [,] (
k `  x )
)  <->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( k `  x
) ) ) )
106103, 105mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( k `  x
) ) )
107106simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  <_  (
k `  x )
)
10843adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  k :
I --> RR )  -> 
( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } ) 
C_  RR )
11055, 56mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
111 fimaxre2 10487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ran  k  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  e.  Fin )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) w  <_ 
z )
11243, 51, 111syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) w  <_ 
z )
113112adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  k :
I --> RR )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) w  <_ 
z )
114113adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) w  <_ 
z )
115 ssun1 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  k  C_  ( ran  k  u. 
{ 0 } )
11644ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  k  Fn  I
)
117 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  x  e.  I
)
118 fnfvelrn 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  Fn  I  /\  x  e.  I )  ->  ( k `  x
)  e.  ran  k
)
119116, 117, 118syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  ran  k )
120115, 119sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  ( ran  k  u.  {
0 } ) )
121 suprub 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ran  k  u.  { 0 } ) 
C_  RR  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u. 
{ 0 } ) w  <_  z )  /\  ( k `  x
)  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) )  -> 
( k `  x
)  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
)
122109, 110, 114, 120, 121syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( k `  x )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
12395, 97, 99, 107, 122letrd 9734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
124123expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  x  e.  I
)  ->  ( E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) )  -> 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
125124ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  k :
I --> RR )  -> 
( A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] (
k `  x )
)  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
126125impr 619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
127 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
_V
128127rgenw 2825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
_V
129 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )
130 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  ->  (
w  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
131129, 130ralrnmpt 6028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  A. x  e.  I 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
132128, 131ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) w  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  A. x  e.  I  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
133126, 132sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. w  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
13443ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR )
13555, 56mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
136112ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u. 
{ 0 } ) w  <_  z )
13755a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  0  e.  ( ran  k  u.  {
0 } ) )
138 suprub 10500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ran  k  u.  { 0 } ) 
C_  RR  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u. 
{ 0 } ) w  <_  z )  /\  0  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) )  -> 
0  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
)
139134, 135, 136, 137, 138syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  0  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
140 elsni 4052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  { 0 }  ->  w  =  0 )
141140breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  { 0 }  ->  ( w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  0  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
142139, 141syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( w  e.  { 0 }  ->  w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
143142ralrimiv 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. w  e.  { 0 } w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
144 ralunb 3685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) w  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  /\  A. w  e.  {
0 } w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
145133, 143, 144sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
14694, 129fmptd 6043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I --> RR )
147 frn 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) ) : I --> RR  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR )
14939a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR )
150149snssd 4172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  { 0 }  C_  RR )
151148, 150unssd 3680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR )
152 ressxr 9633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  RR*
153151, 152syl6ss 3516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
154153adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
15563adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
156155rexrd 9639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
157 supxrleub 11514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
158154, 156, 157syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
159145, 158mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
16087, 159eqbrtrd 4467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( f D g )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
161 elicc2 11585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )  -> 
( ( f D g )  e.  ( 0 [,] sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
)  <->  ( ( f D g )  e.  RR  /\  0  <_ 
( f D g )  /\  ( f D g )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
16239, 155, 161sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( (
f D g )  e.  ( 0 [,]
sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )  <->  ( (
f D g )  e.  RR  /\  0  <_  ( f D g )  /\  ( f D g )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
16374, 76, 160, 162mpbir3and 1179 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( f D g )  e.  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
164163an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  e.  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
165164ralrimivva 2885 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f D g )  e.  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
166 ffnov 6388 . . . . 5  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )
)  <->  ( D  Fn  ( B  X.  B
)  /\  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f D g )  e.  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
16767, 165, 166sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  D :
( B  X.  B
) --> ( 0 [,]
sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
168 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( m  =  sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )  ->  ( 0 [,] m
)  =  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
169 feq3 5713 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] m )  =  ( 0 [,]
sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )  -> 
( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
)  <->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) ) )
170168, 169syl 16 . . . . 5  |-  ( m  =  sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )  ->  ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
)  <->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) ) )
171170rspcev 3214 . . . 4  |-  ( ( sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) )  ->  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
) )
17263, 167, 171syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
) )
17336, 172exlimddv 1702 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m ) )
174 isbnd3 29883 . 2  |-  ( D  e.  ( Bnd `  B
)  <->  ( D  e.  ( Met `  B
)  /\  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
) ) )
17527, 173, 174sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Bnd `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    Or wor 4799    X. cxp 4997   ran crn 5000    |` cres 5001    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   supcsup 7896   RRcr 9487   0cc0 9488   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625   [,]cicc 11528   Basecbs 14486   distcds 14560   X_scprds 14697   Metcme 18175   Bndcbnd 29866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ec 7310  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-hom 14575  df-cco 14576  df-prds 14699  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-bnd 29878
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