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Theorem prdsbnd 32189
Description: The product metric over finite index set is bounded if all the factors are bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbnd.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbnd.v  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
prdsbnd.e  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsbnd.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsbnd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsbnd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsbnd.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsbnd.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Bnd `  V
) )
Assertion
Ref Expression
prdsbnd  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Bnd `  B ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, B    ph, x    x, I    x, S    x, Y
Allowed substitution hints:    D( x)    E( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem prdsbnd
Dummy variables  z 
f  g  k  m  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . 4  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
2 eqid 2471 . . . 4  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
3 prdsbnd.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
4 prdsbnd.e . . . 4  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
5 eqid 2471 . . . 4  |-  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
6 prdsbnd.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
7 prdsbnd.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
8 fvex 5889 . . . . 5  |-  ( R `
 x )  e. 
_V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  _V )
10 prdsbnd.m . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Bnd `  V
) )
11 bndmet 32177 . . . . 5  |-  ( E  e.  ( Bnd `  V
)  ->  E  e.  ( Met `  V ) )
1210, 11syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12prdsmet 21463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) ) ) )
14 prdsbnd.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  Y
)
15 prdsbnd.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
16 prdsbnd.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
17 dffn5 5924 . . . . . . . 8  |-  ( R  Fn  I  <->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
1816, 17sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `
 x ) ) )
1918oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2015, 19syl5eq 2517 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2120fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2214, 21syl5eq 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
23 prdsbnd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2420fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2523, 24syl5eq 2517 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2625fveq2d 5883 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Met `  B
)  =  ( Met `  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) ) )
2713, 22, 263eltr4d 2564 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
28 isbnd3 32180 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  ( Bnd `  V
)  <->  ( E  e.  ( Met `  V
)  /\  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w
) ) )
2928simprbi 471 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ( Bnd `  V
)  ->  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w
) )
3010, 29syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w
) )
3130ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w ) )
32 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k `  x )  ->  (
0 [,] w )  =  ( 0 [,] ( k `  x
) ) )
3332feq3d 5726 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k `  x )  ->  ( E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w )  <->  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )
3433ac6sfi 7833 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w ) )  ->  E. k ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )
357, 31, 34syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )
36 frn 5747 . . . . . . . 8  |-  ( k : I --> RR  ->  ran  k  C_  RR )
3736adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  ran  k  C_  RR )
38 0red 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
3938snssd 4108 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { 0 }  C_  RR )
4039adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  { 0 }  C_  RR )
4137, 40unssd 3601 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  -> 
( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR )
42 ffn 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( k : I --> RR  ->  k  Fn  I )
43 dffn4 5812 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  Fn  I  <->  k :
I -onto-> ran  k )
4442, 43sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( k : I --> RR  ->  k : I -onto-> ran  k
)
45 fofi 7878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  k : I -onto-> ran  k
)  ->  ran  k  e. 
Fin )
467, 44, 45syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  ran  k  e.  Fin )
47 snfi 7668 . . . . . . . 8  |-  { 0 }  e.  Fin
48 unfi 7856 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  k  e.  Fin  /\ 
{ 0 }  e.  Fin )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  e.  Fin )
4946, 47, 48sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  -> 
( ran  k  u.  { 0 } )  e. 
Fin )
50 ssun2 3589 . . . . . . . . 9  |-  { 0 }  C_  ( ran  k  u.  { 0 } )
51 c0ex 9655 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
5251snid 3988 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  { 0 }
5350, 52sselii 3415 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( ran  k  u. 
{ 0 } )
54 ne0i 3728 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( ran  k  u.  { 0 } )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
5553, 54mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  -> 
( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
56 ltso 9732 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR
57 fisupcl 8003 . . . . . . . 8  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( ( ran  k  u.  { 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/)  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR ) )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) )
5856, 57mpan 684 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ran  k  u. 
{ 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/)  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( ran  k  u.  {
0 } ) )
5949, 55, 41, 58syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) )
6041, 59sseldd 3419 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
6160adantrr 731 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
62 metf 21423 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  ->  D :
( B  X.  B
) --> RR )
63 ffn 5739 . . . . . . 7  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> RR  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
6427, 62, 633syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
6564adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  D  Fn  ( B  X.  B
) )
6627ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
67 simprl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
6867adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  f  e.  B )
69 simprr 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
7069adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  g  e.  B )
71 metcl 21425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  B )  /\  f  e.  B  /\  g  e.  B )  ->  (
f D g )  e.  RR )
7266, 68, 70, 71syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( f D g )  e.  RR )
73 metge0 21438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  B )  /\  f  e.  B  /\  g  e.  B )  ->  0  <_  ( f D g ) )
7466, 68, 70, 73syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  0  <_  ( f D g ) )
7522oveqdr 6332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  ( f ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) g ) )
766adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  W )
777adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  Fin )
788a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  _V )
7978ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( R `  x
)  e.  _V )
8025adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
8167, 80eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
8269, 80eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
831, 2, 76, 77, 79, 81, 82, 3, 4, 5prdsdsval3 15461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) g )  =  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
8475, 83eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
8584adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( f D g )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
8612adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
871, 2, 76, 77, 79, 3, 81prdsbascl 15459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
8887r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  e.  V )
891, 2, 76, 77, 79, 3, 82prdsbascl 15459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
9089r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
g `  x )  e.  V )
91 metcl 21425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E  e.  ( Met `  V )  /\  (
f `  x )  e.  V  /\  (
g `  x )  e.  V )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
9286, 88, 90, 91syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
9392ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR )
94 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k : I --> RR  /\  x  e.  I )  ->  ( k `  x
)  e.  RR )
9594ad2ant2lr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  RR )
9660adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  k :
I --> RR )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
98 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] (
k `  x )
) )
9988ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  V
)
10090ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( g `  x )  e.  V
)
10198, 99, 100fovrnd 6460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  ( 0 [,] ( k `
 x ) ) )
102 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  RR
103 elicc2 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( k `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  ( 0 [,] (
k `  x )
)  <->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( k `  x
) ) ) )
104102, 95, 103sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  ( 0 [,] (
k `  x )
)  <->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( k `  x
) ) ) )
105101, 104mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( k `  x
) ) )
106105simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  <_  (
k `  x )
)
10741adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  k :
I --> RR )  -> 
( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR )
108107adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } ) 
C_  RR )
10953, 54mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
110 fimaxre2 10574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ran  k  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  e.  Fin )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) w  <_ 
z )
11141, 49, 110syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) w  <_ 
z )
112111adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  k :
I --> RR )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) w  <_ 
z )
113112adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) w  <_ 
z )
114 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  k  C_  ( ran  k  u. 
{ 0 } )
11542ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  k  Fn  I
)
116 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  x  e.  I
)
117 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  Fn  I  /\  x  e.  I )  ->  ( k `  x
)  e.  ran  k
)
118115, 116, 117syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  ran  k )
119114, 118sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  ( ran  k  u.  {
0 } ) )
120 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ran  k  u.  { 0 } ) 
C_  RR  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u. 
{ 0 } ) w  <_  z )  /\  ( k `  x
)  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) )  -> 
( k `  x
)  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
)
121108, 109, 113, 119, 120syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( k `  x )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
12293, 95, 97, 106, 121letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
123122expr 626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  x  e.  I
)  ->  ( E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) )  -> 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
124123ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  k :
I --> RR )  -> 
( A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] (
k `  x )
)  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
125124impr 631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
126 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
_V
127126rgenw 2768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
_V
128 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )
129 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  ->  (
w  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
130128, 129ralrnmpt 6046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  A. x  e.  I 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
131127, 130ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) w  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  A. x  e.  I  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
132125, 131sylibr 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. w  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
13341ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR )
13453, 54mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
135111ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u. 
{ 0 } ) w  <_  z )
13653a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  0  e.  ( ran  k  u.  {
0 } ) )
137 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ran  k  u.  { 0 } ) 
C_  RR  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u. 
{ 0 } ) w  <_  z )  /\  0  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) )  -> 
0  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
)
138133, 134, 135, 136, 137syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  0  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
139 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  { 0 }  ->  w  =  0 )
140139breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  { 0 }  ->  ( w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  0  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
141138, 140syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( w  e.  { 0 }  ->  w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
142141ralrimiv 2808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. w  e.  { 0 } w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
143 ralunb 3606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) w  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  /\  A. w  e.  {
0 } w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
144132, 142, 143sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
14592, 128fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I --> RR )
146 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) ) : I --> RR  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR )
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR )
148 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR )
149148snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  { 0 }  C_  RR )
150147, 149unssd 3601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR )
151 ressxr 9702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  RR*
152150, 151syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
153152adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
15461adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
155154rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
156 supxrleub 11637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
157153, 155, 156syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
158144, 157mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
15985, 158eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( f D g )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
160 elicc2 11724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )  -> 
( ( f D g )  e.  ( 0 [,] sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
)  <->  ( ( f D g )  e.  RR  /\  0  <_ 
( f D g )  /\  ( f D g )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
161102, 154, 160sylancr 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( (
f D g )  e.  ( 0 [,]
sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )  <->  ( (
f D g )  e.  RR  /\  0  <_  ( f D g )  /\  ( f D g )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
16272, 74, 159, 161mpbir3and 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( f D g )  e.  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
163162an32s 821 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  e.  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
164163ralrimivva 2814 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f D g )  e.  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
165 ffnov 6419 . . . . 5  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )
)  <->  ( D  Fn  ( B  X.  B
)  /\  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f D g )  e.  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
16665, 164, 165sylanbrc 677 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  D :
( B  X.  B
) --> ( 0 [,]
sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
167 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( m  =  sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )  ->  ( 0 [,] m
)  =  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
168167feq3d 5726 . . . . 5  |-  ( m  =  sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )  ->  ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
)  <->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) ) )
169168rspcev 3136 . . . 4  |-  ( ( sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) )  ->  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
) )
17061, 166, 169syl2anc 673 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
) )
17135, 170exlimddv 1789 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m ) )
172 isbnd3 32180 . 2  |-  ( D  e.  ( Bnd `  B
)  <->  ( D  e.  ( Met `  B
)  /\  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
) ) )
17327, 171, 172sylanbrc 677 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Bnd `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    u. cun 3388    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    Or wor 4759    X. cxp 4837   ran crn 4840    |` cres 4841    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   [,]cicc 11663   Basecbs 15199   distcds 15277   X_scprds 15422   Metcme 19033   Bndcbnd 32163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-prds 15424  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-bnd 32175
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