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Theorem prdsbnd 29892
 Description: The product metric over finite index set is bounded if all the factors are bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y s
prdsbnd.b
prdsbnd.v
prdsbnd.e
prdsbnd.d
prdsbnd.s
prdsbnd.i
prdsbnd.r
prdsbnd.m
Assertion
Ref Expression
prdsbnd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdsbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4 s s
2 eqid 2467 . . . 4 s s
3 prdsbnd.v . . . 4
4 prdsbnd.e . . . 4
5 eqid 2467 . . . 4 s s
6 prdsbnd.s . . . 4
7 prdsbnd.i . . . 4
8 fvex 5874 . . . . 5
98a1i 11 . . . 4
10 prdsbnd.m . . . . 5
11 bndmet 29880 . . . . 5
1210, 11syl 16 . . . 4
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12prdsmet 20608 . . 3 s s
14 prdsbnd.d . . . 4
15 prdsbnd.y . . . . . 6 s
16 prdsbnd.r . . . . . . . 8
17 dffn5 5911 . . . . . . . 8
1816, 17sylib 196 . . . . . . 7
1918oveq2d 6298 . . . . . 6 s s
2015, 19syl5eq 2520 . . . . 5 s
2120fveq2d 5868 . . . 4 s
2214, 21syl5eq 2520 . . 3 s
23 prdsbnd.b . . . . 5
2420fveq2d 5868 . . . . 5 s
2523, 24syl5eq 2520 . . . 4 s
2625fveq2d 5868 . . 3 s
2713, 22, 263eltr4d 2570 . 2
28 isbnd3 29883 . . . . . . 7
2928simprbi 464 . . . . . 6
3010, 29syl 16 . . . . 5
3130ralrimiva 2878 . . . 4
32 oveq2 6290 . . . . . 6
33 feq3 5713 . . . . . 6
3432, 33syl 16 . . . . 5
3534ac6sfi 7760 . . . 4
367, 31, 35syl2anc 661 . . 3
37 frn 5735 . . . . . . . 8
3837adantl 466 . . . . . . 7
39 0re 9592 . . . . . . . . . 10
4039a1i 11 . . . . . . . . 9
4140snssd 4172 . . . . . . . 8
4241adantr 465 . . . . . . 7
4338, 42unssd 3680 . . . . . 6
44 ffn 5729 . . . . . . . . . 10
45 dffn4 5799 . . . . . . . . . 10
4644, 45sylib 196 . . . . . . . . 9
47 fofi 7802 . . . . . . . . 9
487, 46, 47syl2an 477 . . . . . . . 8
49 snfi 7593 . . . . . . . 8
50 unfi 7783 . . . . . . . 8
5148, 49, 50sylancl 662 . . . . . . 7
52 ssun2 3668 . . . . . . . . 9
53 c0ex 9586 . . . . . . . . . 10
5453snid 4055 . . . . . . . . 9
5552, 54sselii 3501 . . . . . . . 8
56 ne0i 3791 . . . . . . . 8
5755, 56mp1i 12 . . . . . . 7
58 ltso 9661 . . . . . . . 8
59 fisupcl 7923 . . . . . . . 8
6058, 59mpan 670 . . . . . . 7
6151, 57, 43, 60syl3anc 1228 . . . . . 6
6243, 61sseldd 3505 . . . . 5
6362adantrr 716 . . . 4
64 metf 20568 . . . . . . 7
65 ffn 5729 . . . . . . 7
6627, 64, 653syl 20 . . . . . 6
6766adantr 465 . . . . 5
6827ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
69 simprl 755 . . . . . . . . . 10
7069adantr 465 . . . . . . . . 9
71 simprr 756 . . . . . . . . . 10
7271adantr 465 . . . . . . . . 9
73 metcl 20570 . . . . . . . . 9
7468, 70, 72, 73syl3anc 1228 . . . . . . . 8
75 metge0 20583 . . . . . . . . 9
7668, 70, 72, 75syl3anc 1228 . . . . . . . 8
7722proplem3 14942 . . . . . . . . . . 11 s
786adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
797adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
808a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
8180ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . 12
8225adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 s
8369, 82eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . 12 s
8471, 82eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . 12 s
851, 2, 78, 79, 81, 83, 84, 3, 4, 5prdsdsval3 14736 . . . . . . . . . . 11 s
8677, 85eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10
8786adantr 465 . . . . . . . . 9
8812adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
891, 2, 78, 79, 81, 3, 83prdsbascl 14734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9089r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
911, 2, 78, 79, 81, 3, 84prdsbascl 14734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9291r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
93 metcl 20570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9488, 90, 92, 93syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9594ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16
96 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9796ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9862adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
100 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10190ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10292ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103100, 101, 102fovrnd 6429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104 elicc2 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10539, 97, 104sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106103, 105mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107106simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10843adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11055, 56mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111 fimaxre2 10487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11243, 51, 111syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113112adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114113adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115 ssun1 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11644ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118 fnfvelrn 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119116, 117, 118syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120115, 119sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
121 suprub 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122109, 110, 114, 120, 121syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12395, 97, 99, 107, 122letrd 9734 . . . . . . . . . . . . . . 15
124123expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14
125124ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . . 13
126125impr 619 . . . . . . . . . . . 12
127 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . 14
128127rgenw 2825 . . . . . . . . . . . . 13
129 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14
130 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . 14
131129, 130ralrnmpt 6028 . . . . . . . . . . . . 13
132128, 131ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
133126, 132sylibr 212 . . . . . . . . . . 11
13443ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14
13555, 56mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14
136112ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14
13755a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
138 suprub 10500 . . . . . . . . . . . . . 14
139134, 135, 136, 137, 138syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . 13
140 elsni 4052 . . . . . . . . . . . . . 14
141140breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . 13
142139, 141syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12
143142ralrimiv 2876 . . . . . . . . . . 11
144 ralunb 3685 . . . . . . . . . . 11
145133, 143, 144sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10
14694, 129fmptd 6043 . . . . . . . . . . . . . . 15
147 frn 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
14939a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
150149snssd 4172 . . . . . . . . . . . . . 14
151148, 150unssd 3680 . . . . . . . . . . . . 13
152 ressxr 9633 . . . . . . . . . . . . 13
153151, 152syl6ss 3516 . . . . . . . . . . . 12
154153adantr 465 . . . . . . . . . . 11
15563adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
156155rexrd 9639 . . . . . . . . . . 11
157 supxrleub 11514 . . . . . . . . . . 11
158154, 156, 157syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
159145, 158mpbird 232 . . . . . . . . 9
16087, 159eqbrtrd 4467 . . . . . . . 8
161 elicc2 11585 . . . . . . . . 9
16239, 155, 161sylancr 663 . . . . . . . 8
16374, 76, 160, 162mpbir3and 1179 . . . . . . 7
164163an32s 802 . . . . . 6
165164ralrimivva 2885 . . . . 5
166 ffnov 6388 . . . . 5
16767, 165, 166sylanbrc 664 . . . 4
168 oveq2 6290 . . . . . 6
169 feq3 5713 . . . . . 6
170168, 169syl 16 . . . . 5
171170rspcev 3214 . . . 4
17263, 167, 171syl2anc 661 . . 3
17336, 172exlimddv 1702 . 2
174 isbnd3 29883 . 2
17527, 173, 174sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379  wex 1596   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  wrex 2815  cvv 3113   cun 3474   wss 3476  c0 3785  csn 4027   class class class wbr 4447   cmpt 4505   wor 4799   cxp 4997   crn 5000   cres 5001   wfn 5581  wf 5582  wfo 5584  cfv 5586  (class class class)co 6282  cfn 7513  csup 7896  cr 9487  cc0 9488  cxr 9623   clt 9624   cle 9625  cicc 11528  cbs 14486  cds 14560  scprds 14697  cme 18175  cbnd 29866 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ec 7310  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-hom 14575  df-cco 14576  df-prds 14699  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-bnd 29878 This theorem is referenced by: (None)
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