Theorem prdsbl 20069

Description: A ball in the product metric for finite index set is the Cartesian product of balls in all coordinates. For infinite index set this is no longer true; instead the correct statement is that a *closed ball* is the product of closed balls in each coordinate (where closed ball means a set of the form in blcld 20083) - for a counterexample the point p in RR ^ NN whose n-th coordinate is 1 - 1 / n is in X_ n e. NN ball ( 0 , 1 ) but is not in the 1-ball of the product (since d ( 0 , p ) = 1).

The last assumption, 0 < A, is needed only in the case I = (/), when the right side evaluates to { (/) } and the left evaluates to (/) if A <_ 0 and { (/) } if 0 < A. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbl.y	|- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
prdsbl.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsbl.v	|- V = ( Base ` R )
prdsbl.e	|- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
prdsbl.d	|- D = ( dist ` Y )
prdsbl.s	|- ( ph -> S e. W )
prdsbl.i	|- ( ph -> I e. Fin )
prdsbl.r	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
prdsbl.m	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
prdsbl.p	|- ( ph -> P e. B )
prdsbl.a	|- ( ph -> A e. RR* )
prdsbl.g	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
prdsbl	|- ( ph -> ( P ( ball ` D ) A ) = X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, I   x, P   ph, x

Allowed substitution hints:   R( x)   S( x)   E( x)   V( x)   W( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem prdsbl

Dummy variables f z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbl.y	. . . . . . . . 9 |- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
2		prdsbl.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` Y )
3		prdsbl.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. W )
4		prdsbl.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. Fin )
5		prdsbl.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
6	5	ralrimiva 2802	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. I R e. Z )
7		prdsbl.v	. . . . . . . . 9 |- V = ( Base ` R )
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	prdsbas3 14422	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = X_ x e. I V )
9	8	eleq2d 2510	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( f e. B <-> f e. X_ x e. I V ) )
10	9	biimpa 484	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> f e. X_ x e. I V )
11		ixpfn 7272	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. I V -> f Fn I )
12		vex 2978	. . . . . . . 8 |- f e. _V
13	12	elixp 7273	. . . . . . 7 |- ( f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> ( f Fn I /\ A. x e. I ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) )
14	13	baib 896	. . . . . 6 |- ( f Fn I -> ( f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> A. x e. I ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) )
15	10, 11, 14	3syl 20	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> A. x e. I ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) )
16		prdsbl.m	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
17	16	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
18		prdsbl.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
19	18	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> A e. RR* )
20		prdsbl.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. B )
21	1, 2, 3, 4, 6, 7, 20	prdsbascl 14424	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. I ( P ` x ) e. V )
22	21	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> A. x e. I ( P ` x ) e. V )
23	22	r19.21bi 2817	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( P ` x ) e. V )
24	3	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> S e. W )
25	4	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> I e. Fin )
26	6	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> A. x e. I R e. Z )
27		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> f e. B )
28	1, 2, 24, 25, 26, 7, 27	prdsbascl 14424	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
29	28	r19.21bi 2817	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( f ` x ) e. V )
30		elbl2 19968	. . . . . . 7 |- ( ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ A e. RR* ) /\ ( ( P ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V ) ) -> ( ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
31	17, 19, 23, 29, 30	syl22anc 1219	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
32	31	ralbidva 2734	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. x e. I ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
33		xmetcl 19909	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( P ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* )
34	17, 23, 29, 33	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* )
35	34	ralrimiva 2802	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* )
36		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) )
37		breq1 4298	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) -> ( z < A <-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
38	36, 37	ralrnmpt 5855	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) z < A <-> A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
39	35, 38	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) z < A <-> A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
40		prdsbl.g	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < A )
41	40	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> 0 < A )
42		c0ex 9383	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
43		breq1 4298	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 0 -> ( z < A <-> 0 < A ) )
44	42, 43	ralsn 3918	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. { 0 } z < A <-> 0 < A )
45	41, 44	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> A. z e. { 0 } z < A )
46		ralunb 3540	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) z < A <-> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) z < A /\ A. z e. { 0 } z < A ) )
47	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> P e. B )
48		prdsbl.e	. . . . . . . . . . . 12 |- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
49		prdsbl.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( dist ` Y )
50	1, 2, 24, 25, 26, 47, 27, 7, 48, 49	prdsdsval3 14426	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( P D f ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
51		xrltso 11121	. . . . . . . . . . . . 13 |- < Or RR*
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> < Or RR* )
53	36	rnmpt 5088	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) = { y | E. x e. I y = ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) }
54		abrexfi 7614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. Fin -> { y | E. x e. I y = ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) } e. Fin )
55	53, 54	syl5eqel 2527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I e. Fin -> ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) e. Fin )
56	25, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) e. Fin )
57		snfi 7393	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 } e. Fin
58		unfi 7582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) e. Fin /\ { 0 } e. Fin ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) e. Fin )
59	56, 57, 58	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) e. Fin )
60		ssun2 3523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { 0 } C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } )
61	42	snss 4002	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
62	60, 61	mpbir 209	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } )
63		ne0i 3646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) =/= (/) )
64	62, 63	mp1i 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) =/= (/) )
65	34, 36	fmptd 5870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) : I --> RR* )
66		frn 5568	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) : I --> RR* -> ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ RR* )
67	65, 66	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ RR* )
68		0xr 9433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> 0 e. RR* )
70	69	snssd 4021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> { 0 } C_ RR* )
71	67, 70	unssd 3535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
72		fisupcl 7720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( < Or RR* /\ ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) e. Fin /\ ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) =/= (/) /\ ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* ) ) -> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
73	52, 59, 64, 71, 72	syl13anc 1220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
74	50, 73	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( P D f ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
75		breq1 4298	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( P D f ) -> ( z < A <-> ( P D f ) < A ) )
76	75	rspcv 3072	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P D f ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) -> ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) z < A -> ( P D f ) < A ) )
77	74, 76	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) z < A -> ( P D f ) < A ) )
78	46, 77	syl5bir 218	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) z < A /\ A. z e. { 0 } z < A ) -> ( P D f ) < A ) )
79	45, 78	mpan2d 674	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) z < A -> ( P D f ) < A ) )
80	39, 79	sylbird 235	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A -> ( P D f ) < A ) )
81	71	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
82		ssun1 3522	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } )
83		ovex 6119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. _V
84	83	elabrex 5963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. I -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. { y | E. x e. I y = ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) } )
85	84	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. { y | E. x e. I y = ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) } )
86	85, 53	syl6eleqr 2534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) )
87	82, 86	sseldi 3357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
88		supxrub 11290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
89	81, 87, 88	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
90	50	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( P D f ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
91	89, 90	breqtrrd 4321	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) <_ ( P D f ) )
92	1, 2, 7, 48, 49, 3, 4, 5, 16	prdsxmet 19947	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. ( *Met ` B ) )
93	92	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> D e. ( *Met ` B ) )
94	20	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> P e. B )
95	27	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> f e. B )
96		xmetcl 19909	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` B ) /\ P e. B /\ f e. B ) -> ( P D f ) e. RR* )
97	93, 94, 95, 96	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( P D f ) e. RR* )
98		xrlelttr 11133	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* /\ ( P D f ) e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( ( ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) <_ ( P D f ) /\ ( P D f ) < A ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
99	34, 97, 19, 98	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) <_ ( P D f ) /\ ( P D f ) < A ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
100	91, 99	mpand 675	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P D f ) < A -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
101	100	ralrimdva 2809	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ( P D f ) < A -> A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
102	80, 101	impbid 191	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A <-> ( P D f ) < A ) )
103	15, 32, 102	3bitrrd 280	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ( P D f ) < A <-> f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) )
104	103	pm5.32da 641	. . 3 |- ( ph -> ( ( f e. B /\ ( P D f ) < A ) <-> ( f e. B /\ f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) ) )
105		elbl 19966	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` B ) /\ P e. B /\ A e. RR* ) -> ( f e. ( P ( ball ` D ) A ) <-> ( f e. B /\ ( P D f ) < A ) ) )
106	92, 20, 18, 105	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ph -> ( f e. ( P ( ball ` D ) A ) <-> ( f e. B /\ ( P D f ) < A ) ) )
107	21	r19.21bi 2817	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( P ` x ) e. V )
108	18	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> A e. RR* )
109		blssm 19996	. . . . . . . . 9 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( P ` x ) e. V /\ A e. RR* ) -> ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ V )
110	16, 107, 108, 109	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ V )
111	110	ralrimiva 2802	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ V )
112		ss2ixp 7279	. . . . . . 7 |- ( A. x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ V -> X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ X_ x e. I V )
113	111, 112	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ X_ x e. I V )
114	113, 8	sseqtr4d 3396	. . . . 5 |- ( ph -> X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ B )
115	114	sseld 3358	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) -> f e. B ) )
116	115	pm4.71rd 635	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> ( f e. B /\ f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) ) )
117	104, 106, 116	3bitr4d 285	. 2 |- ( ph -> ( f e. ( P ( ball ` D ) A ) <-> f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) )
118	117	eqrdv 2441	1 |- ( ph -> ( P ( ball ` D ) A ) = X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2429   =/= wne 2609   A.wral 2718   E.wrex 2719   u. cun 3329   C_ wss 3331   (/)c0 3640   {csn 3880   class class class wbr 4295   e. cmpt 4353   Or wor 4643   X. cxp 4841   ran crn 4844   |` cres 4845   Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   X_cixp 7266   Fincfn 7313   supcsup 7693   0cc0 9285   RR*cxr 9420   < clt 9421   <_ cle 9422   Basecbs 14177   distcds 14250   X__scprds 14387   *Metcxmt 17804   ballcbl 17806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-sup 7694  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-icc 11310  df-fz 11441  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-hom 14265  df-cco 14266  df-prds 14389  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-bl 17815

This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  20107  prdstotbnd  28696  prdsbnd2  28697