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Theorem prdsbl 21584
Description: A ball in the product metric for finite index set is the Cartesian product of balls in all coordinates. For infinite index set this is no longer true; instead the correct statement is that a *closed ball* is the product of closed balls in each coordinate (where closed ball means a set of the form in blcld 21598) - for a counterexample the point  p in  RR ^ NN whose  n-th coordinate is  1  -  1  /  n is in  X_ n  e.  NN ball ( 0 ,  1 ) but is not in the  1-ball of the product (since  d ( 0 ,  p )  =  1).

The last assumption,  0  <  A, is needed only in the case  I  =  (/), when the right side evaluates to  { (/) } and the left evaluates to  (/) if  A  <_  0 and  {
(/) } if  0  <  A. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
prdsbl.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsbl.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbl.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsbl.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsbl.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsbl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsbl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsbl.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsbl.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
prdsbl.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
prdsbl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
prdsbl.g  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Assertion
Ref Expression
prdsbl  |-  ( ph  ->  ( P ( ball `  D ) A )  =  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, I    x, P    ph, x
Allowed substitution hints:    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsbl
Dummy variables  f 
z  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbl.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 prdsbl.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 prdsbl.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
4 prdsbl.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
5 prdsbl.r . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
65ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
7 prdsbl.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  R
)
81, 2, 3, 4, 6, 7prdsbas3 15457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
98eleq2d 2534 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B  <->  f  e.  X_ x  e.  I  V ) )
109biimpa 492 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  f  e.  X_ x  e.  I  V )
11 ixpfn 7546 . . . . . 6  |-  ( f  e.  X_ x  e.  I  V  ->  f  Fn  I
)
12 vex 3034 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
1312elixp 7547 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A )  <-> 
( f  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  ( ( P `  x ) ( ball `  E
) A ) ) )
1413baib 919 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  I  ->  (
f  e.  X_ x  e.  I  ( ( P `  x )
( ball `  E ) A )  <->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A ) ) )
1510, 11, 143syl 18 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
f  e.  X_ x  e.  I  ( ( P `  x )
( ball `  E ) A )  <->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A ) ) )
16 prdsbl.m . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
1716adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
18 prdsbl.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1918ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  A  e.  RR* )
20 prdsbl.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
211, 2, 3, 4, 6, 7, 20prdsbascl 15459 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( P `  x
)  e.  V )
2221adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. x  e.  I  ( P `  x )  e.  V
)
2322r19.21bi 2776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( P `  x )  e.  V )
243adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  S  e.  W )
254adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  I  e.  Fin )
266adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
27 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  f  e.  B )
281, 2, 24, 25, 26, 7, 27prdsbascl 15459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  V
)
2928r19.21bi 2776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  e.  V )
30 elbl2 21483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E  e.  ( *Met `  V
)  /\  A  e.  RR* )  /\  ( ( P `  x )  e.  V  /\  (
f `  x )  e.  V ) )  -> 
( ( f `  x )  e.  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A )  <->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
3117, 19, 23, 29, 30syl22anc 1293 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( ( P `  x ) ( ball `  E
) A )  <->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
3231ralbidva 2828 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  ( ( P `  x ) ( ball `  E
) A )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
33 xmetcl 21424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( P `  x )  e.  V  /\  ( f `  x
)  e.  V )  ->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) )  e.  RR* )
3417, 23, 29, 33syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  RR* )
3534ralrimiva 2809 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  e. 
RR* )
36 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )
37 breq1 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) )  ->  (
z  <  A  <->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
3836, 37ralrnmpt 6046 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  RR*  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) z  <  A  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
3935, 38syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) z  < 
A  <->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
40 prdsbl.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  A )
4140adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  0  <  A )
42 c0ex 9655 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
43 breq1 4398 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  0  ->  (
z  <  A  <->  0  <  A ) )
4442, 43ralsn 4001 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  { 0 } z  <  A  <->  0  <  A )
4541, 44sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. z  e.  { 0 } z  <  A )
46 ralunb 3606 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <  A  <->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) z  <  A  /\  A. z  e.  { 0 } z  <  A
) )
4720adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  P  e.  B )
48 prdsbl.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
49 prdsbl.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( dist `  Y
)
501, 2, 24, 25, 26, 47, 27, 7, 48, 49prdsdsval3 15461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( P D f )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
51 xrltso 11463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR*
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  <  Or 
RR* )
5336rnmpt 5086 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  =  { y  |  E. x  e.  I  y  =  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) }
54 abrexfi 7892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  Fin  ->  { y  |  E. x  e.  I  y  =  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) }  e.  Fin )
5553, 54syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  e.  Fin )
5625, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  e.  Fin )
57 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 }  e.  Fin
58 unfi 7856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )  e. 
Fin  /\  { 0 }  e.  Fin )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin )
5956, 57, 58sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  e. 
Fin )
60 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { 0 }  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )
6142snss 4087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
6260, 61mpbir 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )
63 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  =/=  (/) )
6462, 63mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  =/=  (/) )
6534, 36fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) ) : I --> RR* )
66 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  C_  RR* )
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  C_  RR* )
68 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  0  e.  RR* )
7069snssd 4108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  { 0 }  C_  RR* )
7167, 70unssd 3601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
72 fisupcl 8003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )  u. 
{ 0 } )  =/=  (/)  /\  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
7352, 59, 64, 71, 72syl13anc 1294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
7450, 73eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( P D f )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } ) )
75 breq1 4398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( P D f )  ->  (
z  <  A  <->  ( P D f )  < 
A ) )
7675rspcv 3132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P D f )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  ->  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <  A  ->  ( P D f )  < 
A ) )
7774, 76syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <  A  ->  ( P D f )  < 
A ) )
7846, 77syl5bir 226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
( A. z  e. 
ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) ) z  <  A  /\  A. z  e.  { 0 } z  <  A
)  ->  ( P D f )  < 
A ) )
7945, 78mpan2d 688 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) z  < 
A  ->  ( P D f )  < 
A ) )
8039, 79sylbird 243 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. x  e.  I 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A  -> 
( P D f )  <  A ) )
8171adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
82 ssun1 3588 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )
83 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  e. 
_V
8483elabrex 6166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  I  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  { y  |  E. x  e.  I 
y  =  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) } )
8584adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  { y  |  E. x  e.  I 
y  =  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) } )
8685, 53syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) )
8782, 86sseldi 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
88 supxrub 11635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <_  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
8981, 87, 88syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
9050adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( P D f )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
9189, 90breqtrrd 4422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  <_  ( P D f ) )
921, 2, 7, 48, 49, 3, 4, 5, 16prdsxmet 21462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
9392ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
9420ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  B )
9527adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  f  e.  B )
96 xmetcl 21424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  P  e.  B  /\  f  e.  B
)  ->  ( P D f )  e. 
RR* )
9793, 94, 95, 96syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( P D f )  e. 
RR* )
98 xrlelttr 11476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  e.  RR*  /\  ( P D f )  e. 
RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( (
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <_  ( P D f )  /\  ( P D f )  <  A )  -> 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
9934, 97, 19, 98syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) )  <_  ( P D f )  /\  ( P D f )  <  A )  -> 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
10091, 99mpand 689 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P D f )  <  A  -> 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
101100ralrimdva 2812 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
( P D f )  <  A  ->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
10280, 101impbid 195 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. x  e.  I 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A  <->  ( P D f )  < 
A ) )
10315, 32, 1023bitrrd 288 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
( P D f )  <  A  <->  f  e.  X_ x  e.  I  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A ) ) )
104103pm5.32da 653 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  B  /\  ( P D f )  < 
A )  <->  ( f  e.  B  /\  f  e.  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) ) ) )
105 elbl 21481 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  P  e.  B  /\  A  e.  RR* )  ->  ( f  e.  ( P ( ball `  D
) A )  <->  ( f  e.  B  /\  ( P D f )  < 
A ) ) )
10692, 20, 18, 105syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( P ( ball `  D
) A )  <->  ( f  e.  B  /\  ( P D f )  < 
A ) ) )
10721r19.21bi 2776 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( P `  x )  e.  V )
10818adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  A  e.  RR* )
109 blssm 21511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( P `  x )  e.  V  /\  A  e.  RR* )  ->  ( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  V )
11016, 107, 108, 109syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) ( ball `  E
) A )  C_  V )
111110ralrimiva 2809 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  V )
112 ss2ixp 7553 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  (
( P `  x
) ( ball `  E
) A )  C_  V  ->  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  X_ x  e.  I  V )
113111, 112syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  X_ x  e.  I  V )
114113, 8sseqtr4d 3455 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  B )
115114sseld 3417 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  I  (
( P `  x
) ( ball `  E
) A )  -> 
f  e.  B ) )
116115pm4.71rd 647 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  I  (
( P `  x
) ( ball `  E
) A )  <->  ( f  e.  B  /\  f  e.  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) ) ) )
117104, 106, 1163bitr4d 293 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( P ( ball `  D
) A )  <->  f  e.  X_ x  e.  I  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A ) ) )
118117eqrdv 2469 1  |-  ( ph  ->  ( P ( ball `  D ) A )  =  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    u. cun 3388    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    Or wor 4759    X. cxp 4837   ran crn 4840    |` cres 4841    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   X_cixp 7540   Fincfn 7587   supcsup 7972   0cc0 9557   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   Basecbs 15199   distcds 15277   X_scprds 15422   *Metcxmt 19032   ballcbl 19034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-prds 15424  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-bl 19042
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  21622  prdstotbnd  32190  prdsbnd2  32191
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