Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsbl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem prdsbl 21584
 Description: A ball in the product metric for finite index set is the Cartesian product of balls in all coordinates. For infinite index set this is no longer true; instead the correct statement is that a *closed ball* is the product of closed balls in each coordinate (where closed ball means a set of the form in blcld 21598) - for a counterexample the point in whose -th coordinate is is in but is not in the -ball of the product (since ). The last assumption, , is needed only in the case , when the right side evaluates to and the left evaluates to if and if . (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbl.y s
prdsbl.b
prdsbl.v
prdsbl.e
prdsbl.d
prdsbl.s
prdsbl.i
prdsbl.r
prdsbl.m
prdsbl.p
prdsbl.a
prdsbl.g
Assertion
Ref Expression
prdsbl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdsbl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbl.y . . . . . . . . 9 s
2 prdsbl.b . . . . . . . . 9
3 prdsbl.s . . . . . . . . 9
4 prdsbl.i . . . . . . . . 9
5 prdsbl.r . . . . . . . . . 10
65ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9
7 prdsbl.v . . . . . . . . 9
81, 2, 3, 4, 6, 7prdsbas3 15457 . . . . . . . 8
98eleq2d 2534 . . . . . . 7
109biimpa 492 . . . . . 6
11 ixpfn 7546 . . . . . 6
12 vex 3034 . . . . . . . 8
1312elixp 7547 . . . . . . 7
1413baib 919 . . . . . 6
1510, 11, 143syl 18 . . . . 5
16 prdsbl.m . . . . . . . 8
1716adantlr 729 . . . . . . 7
18 prdsbl.a . . . . . . . 8
1918ad2antrr 740 . . . . . . 7
20 prdsbl.p . . . . . . . . . 10
211, 2, 3, 4, 6, 7, 20prdsbascl 15459 . . . . . . . . 9
2221adantr 472 . . . . . . . 8
2322r19.21bi 2776 . . . . . . 7
243adantr 472 . . . . . . . . 9
254adantr 472 . . . . . . . . 9
266adantr 472 . . . . . . . . 9
27 simpr 468 . . . . . . . . 9
281, 2, 24, 25, 26, 7, 27prdsbascl 15459 . . . . . . . 8
2928r19.21bi 2776 . . . . . . 7
30 elbl2 21483 . . . . . . 7
3117, 19, 23, 29, 30syl22anc 1293 . . . . . 6
3231ralbidva 2828 . . . . 5
33 xmetcl 21424 . . . . . . . . . 10
3417, 23, 29, 33syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
3534ralrimiva 2809 . . . . . . . 8
36 eqid 2471 . . . . . . . . 9
37 breq1 4398 . . . . . . . . 9
3836, 37ralrnmpt 6046 . . . . . . . 8
3935, 38syl 17 . . . . . . 7
40 prdsbl.g . . . . . . . . . 10
4140adantr 472 . . . . . . . . 9
42 c0ex 9655 . . . . . . . . . 10
43 breq1 4398 . . . . . . . . . 10
4442, 43ralsn 4001 . . . . . . . . 9
4541, 44sylibr 217 . . . . . . . 8
46 ralunb 3606 . . . . . . . . 9
4720adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
48 prdsbl.e . . . . . . . . . . . 12
49 prdsbl.d . . . . . . . . . . . 12
501, 2, 24, 25, 26, 47, 27, 7, 48, 49prdsdsval3 15461 . . . . . . . . . . 11
51 xrltso 11463 . . . . . . . . . . . . 13
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
5336rnmpt 5086 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 abrexfi 7892 . . . . . . . . . . . . . . 15
5553, 54syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . 14
5625, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
57 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . 13
58 unfi 7856 . . . . . . . . . . . . 13
5956, 57, 58sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12
60 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . . 14
6142snss 4087 . . . . . . . . . . . . . 14
6260, 61mpbir 214 . . . . . . . . . . . . 13
63 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . 13
6462, 63mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12
6534, 36fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . 14
66 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . 14
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
68 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
7069snssd 4108 . . . . . . . . . . . . 13
7167, 70unssd 3601 . . . . . . . . . . . 12
72 fisupcl 8003 . . . . . . . . . . . 12
7352, 59, 64, 71, 72syl13anc 1294 . . . . . . . . . . 11
7450, 73eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10
75 breq1 4398 . . . . . . . . . . 11
7675rspcv 3132 . . . . . . . . . 10
7774, 76syl 17 . . . . . . . . 9
7846, 77syl5bir 226 . . . . . . . 8
7945, 78mpan2d 688 . . . . . . 7
8039, 79sylbird 243 . . . . . 6
8171adantr 472 . . . . . . . . . 10
82 ssun1 3588 . . . . . . . . . . 11
83 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . 14
8483elabrex 6166 . . . . . . . . . . . . 13
8584adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
8685, 53syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . 11
8782, 86sseldi 3416 . . . . . . . . . 10
88 supxrub 11635 . . . . . . . . . 10
8981, 87, 88syl2anc 673 . . . . . . . . 9
9050adantr 472 . . . . . . . . 9
9189, 90breqtrrd 4422 . . . . . . . 8
921, 2, 7, 48, 49, 3, 4, 5, 16prdsxmet 21462 . . . . . . . . . . 11
9392ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
9420ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
9527adantr 472 . . . . . . . . . 10
96 xmetcl 21424 . . . . . . . . . 10
9793, 94, 95, 96syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
98 xrlelttr 11476 . . . . . . . . 9
9934, 97, 19, 98syl3anc 1292 . . . . . . . 8
10091, 99mpand 689 . . . . . . 7
101100ralrimdva 2812 . . . . . 6
10280, 101impbid 195 . . . . 5
10315, 32, 1023bitrrd 288 . . . 4
104103pm5.32da 653 . . 3
105 elbl 21481 . . . 4
10692, 20, 18, 105syl3anc 1292 . . 3
10721r19.21bi 2776 . . . . . . . . 9
10818adantr 472 . . . . . . . . 9
109 blssm 21511 . . . . . . . . 9
11016, 107, 108, 109syl3anc 1292 . . . . . . . 8
111110ralrimiva 2809 . . . . . . 7
112 ss2ixp 7553 . . . . . . 7
113111, 112syl 17 . . . . . 6
114113, 8sseqtr4d 3455 . . . . 5
115114sseld 3417 . . . 4
116115pm4.71rd 647 . . 3
117104, 106, 1163bitr4d 293 . 2
118117eqrdv 2469 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cab 2457   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   cun 3388   wss 3390  c0 3722  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   wor 4759   cxp 4837   crn 4840   cres 4841   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cixp 7540  cfn 7587  csup 7972  cc0 9557  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cbs 15199  cds 15277  scprds 15422  cxmt 19032  cbl 19034 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-prds 15424  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-bl 19042 This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  21622  prdstotbnd  32190  prdsbnd2  32191
 Copyright terms: Public domain W3C validator