Theorem prdsbl 21518

Description: A ball in the product metric for finite index set is the Cartesian product of balls in all coordinates. For infinite index set this is no longer true; instead the correct statement is that a *closed ball* is the product of closed balls in each coordinate (where closed ball means a set of the form in blcld 21532) - for a counterexample the point p in RR ^ NN whose n-th coordinate is 1 - 1 / n is in X_ n e. NN ball ( 0 , 1 ) but is not in the 1-ball of the product (since d ( 0 , p ) = 1).

The last assumption, 0 < A, is needed only in the case I = (/), when the right side evaluates to { (/) } and the left evaluates to (/) if A <_ 0 and { (/) } if 0 < A. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbl.y	|- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
prdsbl.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsbl.v	|- V = ( Base ` R )
prdsbl.e	|- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
prdsbl.d	|- D = ( dist ` Y )
prdsbl.s	|- ( ph -> S e. W )
prdsbl.i	|- ( ph -> I e. Fin )
prdsbl.r	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
prdsbl.m	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
prdsbl.p	|- ( ph -> P e. B )
prdsbl.a	|- ( ph -> A e. RR* )
prdsbl.g	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
prdsbl	|- ( ph -> ( P ( ball ` D ) A ) = X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, I   x, P   ph, x

Allowed substitution hints:   R( x)   S( x)   E( x)   V( x)   W( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem prdsbl

Dummy variables f z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbl.y	. . . . . . . . 9 |- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
2		prdsbl.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` Y )
3		prdsbl.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. W )
4		prdsbl.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. Fin )
5		prdsbl.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
6	5	ralrimiva 2804	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. I R e. Z )
7		prdsbl.v	. . . . . . . . 9 |- V = ( Base ` R )
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	prdsbas3 15391	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = X_ x e. I V )
9	8	eleq2d 2516	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( f e. B <-> f e. X_ x e. I V ) )
10	9	biimpa 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> f e. X_ x e. I V )
11		ixpfn 7533	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. I V -> f Fn I )
12		vex 3050	. . . . . . . 8 |- f e. _V
13	12	elixp 7534	. . . . . . 7 |- ( f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> ( f Fn I /\ A. x e. I ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) )
14	13	baib 915	. . . . . 6 |- ( f Fn I -> ( f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> A. x e. I ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) )
15	10, 11, 14	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> A. x e. I ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) )
16		prdsbl.m	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
17	16	adantlr 722	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
18		prdsbl.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
19	18	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> A e. RR* )
20		prdsbl.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. B )
21	1, 2, 3, 4, 6, 7, 20	prdsbascl 15393	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. I ( P ` x ) e. V )
22	21	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> A. x e. I ( P ` x ) e. V )
23	22	r19.21bi 2759	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( P ` x ) e. V )
24	3	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> S e. W )
25	4	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> I e. Fin )
26	6	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> A. x e. I R e. Z )
27		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> f e. B )
28	1, 2, 24, 25, 26, 7, 27	prdsbascl 15393	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
29	28	r19.21bi 2759	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( f ` x ) e. V )
30		elbl2 21417	. . . . . . 7 |- ( ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ A e. RR* ) /\ ( ( P ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V ) ) -> ( ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
31	17, 19, 23, 29, 30	syl22anc 1270	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
32	31	ralbidva 2826	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. x e. I ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
33		xmetcl 21358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( P ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* )
34	17, 23, 29, 33	syl3anc 1269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* )
35	34	ralrimiva 2804	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* )
36		eqid 2453	. . . . . . . . 9 |- ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) )
37		breq1 4408	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) -> ( z < A <-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
38	36, 37	ralrnmpt 6036	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) z < A <-> A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
39	35, 38	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) z < A <-> A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
40		prdsbl.g	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < A )
41	40	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> 0 < A )
42		c0ex 9642	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
43		breq1 4408	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 0 -> ( z < A <-> 0 < A ) )
44	42, 43	ralsn 4012	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. { 0 } z < A <-> 0 < A )
45	41, 44	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> A. z e. { 0 } z < A )
46		ralunb 3617	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) z < A <-> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) z < A /\ A. z e. { 0 } z < A ) )
47	20	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> P e. B )
48		prdsbl.e	. . . . . . . . . . . 12 |- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
49		prdsbl.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( dist ` Y )
50	1, 2, 24, 25, 26, 47, 27, 7, 48, 49	prdsdsval3 15395	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( P D f ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
51		xrltso 11447	. . . . . . . . . . . . 13 |- < Or RR*
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> < Or RR* )
53	36	rnmpt 5083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) = { y | E. x e. I y = ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) }
54		abrexfi 7879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. Fin -> { y | E. x e. I y = ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) } e. Fin )
55	53, 54	syl5eqel 2535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I e. Fin -> ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) e. Fin )
56	25, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) e. Fin )
57		snfi 7655	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 } e. Fin
58		unfi 7843	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) e. Fin /\ { 0 } e. Fin ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) e. Fin )
59	56, 57, 58	sylancl 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) e. Fin )
60		ssun2 3600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { 0 } C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } )
61	42	snss 4099	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
62	60, 61	mpbir 213	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } )
63		ne0i 3739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) =/= (/) )
64	62, 63	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) =/= (/) )
65	34, 36	fmptd 6051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) : I --> RR* )
66		frn 5740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) : I --> RR* -> ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ RR* )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ RR* )
68		0xr 9692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> 0 e. RR* )
70	69	snssd 4120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> { 0 } C_ RR* )
71	67, 70	unssd 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
72		fisupcl 7990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( < Or RR* /\ ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) e. Fin /\ ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) =/= (/) /\ ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* ) ) -> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
73	52, 59, 64, 71, 72	syl13anc 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
74	50, 73	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( P D f ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
75		breq1 4408	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( P D f ) -> ( z < A <-> ( P D f ) < A ) )
76	75	rspcv 3148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P D f ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) -> ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) z < A -> ( P D f ) < A ) )
77	74, 76	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) z < A -> ( P D f ) < A ) )
78	46, 77	syl5bir 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) z < A /\ A. z e. { 0 } z < A ) -> ( P D f ) < A ) )
79	45, 78	mpan2d 681	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) z < A -> ( P D f ) < A ) )
80	39, 79	sylbird 239	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A -> ( P D f ) < A ) )
81	71	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
82		ssun1 3599	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } )
83		ovex 6323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. _V
84	83	elabrex 6153	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. I -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. { y | E. x e. I y = ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) } )
85	84	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. { y | E. x e. I y = ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) } )
86	85, 53	syl6eleqr 2542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) )
87	82, 86	sseldi 3432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
88		supxrub 11617	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
89	81, 87, 88	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
90	50	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( P D f ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
91	89, 90	breqtrrd 4432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) <_ ( P D f ) )
92	1, 2, 7, 48, 49, 3, 4, 5, 16	prdsxmet 21396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. ( *Met ` B ) )
93	92	ad2antrr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> D e. ( *Met ` B ) )
94	20	ad2antrr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> P e. B )
95	27	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> f e. B )
96		xmetcl 21358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` B ) /\ P e. B /\ f e. B ) -> ( P D f ) e. RR* )
97	93, 94, 95, 96	syl3anc 1269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( P D f ) e. RR* )
98		xrlelttr 11460	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* /\ ( P D f ) e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( ( ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) <_ ( P D f ) /\ ( P D f ) < A ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
99	34, 97, 19, 98	syl3anc 1269	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) <_ ( P D f ) /\ ( P D f ) < A ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
100	91, 99	mpand 682	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P D f ) < A -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
101	100	ralrimdva 2808	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ( P D f ) < A -> A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
102	80, 101	impbid 194	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A <-> ( P D f ) < A ) )
103	15, 32, 102	3bitrrd 284	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ( P D f ) < A <-> f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) )
104	103	pm5.32da 647	. . 3 |- ( ph -> ( ( f e. B /\ ( P D f ) < A ) <-> ( f e. B /\ f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) ) )
105		elbl 21415	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` B ) /\ P e. B /\ A e. RR* ) -> ( f e. ( P ( ball ` D ) A ) <-> ( f e. B /\ ( P D f ) < A ) ) )
106	92, 20, 18, 105	syl3anc 1269	. . 3 |- ( ph -> ( f e. ( P ( ball ` D ) A ) <-> ( f e. B /\ ( P D f ) < A ) ) )
107	21	r19.21bi 2759	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( P ` x ) e. V )
108	18	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> A e. RR* )
109		blssm 21445	. . . . . . . . 9 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( P ` x ) e. V /\ A e. RR* ) -> ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ V )
110	16, 107, 108, 109	syl3anc 1269	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ V )
111	110	ralrimiva 2804	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ V )
112		ss2ixp 7540	. . . . . . 7 |- ( A. x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ V -> X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ X_ x e. I V )
113	111, 112	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ X_ x e. I V )
114	113, 8	sseqtr4d 3471	. . . . 5 |- ( ph -> X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ B )
115	114	sseld 3433	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) -> f e. B ) )
116	115	pm4.71rd 641	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> ( f e. B /\ f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) ) )
117	104, 106, 116	3bitr4d 289	. 2 |- ( ph -> ( f e. ( P ( ball ` D ) A ) <-> f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) )
118	117	eqrdv 2451	1 |- ( ph -> ( P ( ball ` D ) A ) = X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   {cab 2439   =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   u. cun 3404   C_ wss 3406   (/)c0 3733   {csn 3970   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   Or wor 4757   X. cxp 4835   ran crn 4838   |` cres 4839   Fn wfn 5580   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   X_cixp 7527   Fincfn 7574   supcsup 7959   0cc0 9544   RR*cxr 9679   < clt 9680   <_ cle 9681   Basecbs 15133   distcds 15211   X__scprds 15356   *Metcxmt 18967   ballcbl 18969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-hom 15226  df-cco 15227  df-prds 15358  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-bl 18977

This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  21556  prdstotbnd  32138  prdsbnd2  32139