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Theorem prdsbl 20867
Description: A ball in the product metric for finite index set is the Cartesian product of balls in all coordinates. For infinite index set this is no longer true; instead the correct statement is that a *closed ball* is the product of closed balls in each coordinate (where closed ball means a set of the form in blcld 20881) - for a counterexample the point  p in  RR ^ NN whose  n-th coordinate is  1  -  1  /  n is in  X_ n  e.  NN ball ( 0 ,  1 ) but is not in the  1-ball of the product (since  d ( 0 ,  p )  =  1).

The last assumption,  0  <  A, is needed only in the case  I  =  (/), when the right side evaluates to  { (/) } and the left evaluates to  (/) if  A  <_  0 and  {
(/) } if  0  <  A. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
prdsbl.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsbl.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbl.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsbl.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsbl.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsbl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsbl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsbl.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsbl.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
prdsbl.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
prdsbl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
prdsbl.g  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Assertion
Ref Expression
prdsbl  |-  ( ph  ->  ( P ( ball `  D ) A )  =  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, I    x, P    ph, x
Allowed substitution hints:    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsbl
Dummy variables  f 
z  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbl.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 prdsbl.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 prdsbl.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
4 prdsbl.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
5 prdsbl.r . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
65ralrimiva 2857 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
7 prdsbl.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  R
)
81, 2, 3, 4, 6, 7prdsbas3 14755 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
98eleq2d 2513 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B  <->  f  e.  X_ x  e.  I  V ) )
109biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  f  e.  X_ x  e.  I  V )
11 ixpfn 7477 . . . . . 6  |-  ( f  e.  X_ x  e.  I  V  ->  f  Fn  I
)
12 vex 3098 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
1312elixp 7478 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A )  <-> 
( f  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  ( ( P `  x ) ( ball `  E
) A ) ) )
1413baib 903 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  I  ->  (
f  e.  X_ x  e.  I  ( ( P `  x )
( ball `  E ) A )  <->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A ) ) )
1510, 11, 143syl 20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
f  e.  X_ x  e.  I  ( ( P `  x )
( ball `  E ) A )  <->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A ) ) )
16 prdsbl.m . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
1716adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
18 prdsbl.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1918ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  A  e.  RR* )
20 prdsbl.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
211, 2, 3, 4, 6, 7, 20prdsbascl 14757 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( P `  x
)  e.  V )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. x  e.  I  ( P `  x )  e.  V
)
2322r19.21bi 2812 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( P `  x )  e.  V )
243adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  S  e.  W )
254adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  I  e.  Fin )
266adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
27 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  f  e.  B )
281, 2, 24, 25, 26, 7, 27prdsbascl 14757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  V
)
2928r19.21bi 2812 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  e.  V )
30 elbl2 20766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E  e.  ( *Met `  V
)  /\  A  e.  RR* )  /\  ( ( P `  x )  e.  V  /\  (
f `  x )  e.  V ) )  -> 
( ( f `  x )  e.  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A )  <->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
3117, 19, 23, 29, 30syl22anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( ( P `  x ) ( ball `  E
) A )  <->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
3231ralbidva 2879 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  ( ( P `  x ) ( ball `  E
) A )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
33 xmetcl 20707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( P `  x )  e.  V  /\  ( f `  x
)  e.  V )  ->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) )  e.  RR* )
3417, 23, 29, 33syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  RR* )
3534ralrimiva 2857 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  e. 
RR* )
36 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )
37 breq1 4440 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) )  ->  (
z  <  A  <->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
3836, 37ralrnmpt 6025 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  RR*  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) z  <  A  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
3935, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) z  < 
A  <->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
40 prdsbl.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  A )
4140adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  0  <  A )
42 c0ex 9593 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
43 breq1 4440 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  0  ->  (
z  <  A  <->  0  <  A ) )
4442, 43ralsn 4053 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  { 0 } z  <  A  <->  0  <  A )
4541, 44sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. z  e.  { 0 } z  <  A )
46 ralunb 3670 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <  A  <->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) z  <  A  /\  A. z  e.  { 0 } z  <  A
) )
4720adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  P  e.  B )
48 prdsbl.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
49 prdsbl.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( dist `  Y
)
501, 2, 24, 25, 26, 47, 27, 7, 48, 49prdsdsval3 14759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( P D f )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
51 xrltso 11356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR*
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  <  Or 
RR* )
5336rnmpt 5238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  =  { y  |  E. x  e.  I  y  =  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) }
54 abrexfi 7822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  Fin  ->  { y  |  E. x  e.  I  y  =  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) }  e.  Fin )
5553, 54syl5eqel 2535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  e.  Fin )
5625, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  e.  Fin )
57 snfi 7598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 }  e.  Fin
58 unfi 7789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )  e. 
Fin  /\  { 0 }  e.  Fin )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin )
5956, 57, 58sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  e. 
Fin )
60 ssun2 3653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { 0 }  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )
6142snss 4139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
6260, 61mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )
63 ne0i 3776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  =/=  (/) )
6462, 63mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  =/=  (/) )
6534, 36fmptd 6040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) ) : I --> RR* )
66 frn 5727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  C_  RR* )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  C_  RR* )
68 0xr 9643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  0  e.  RR* )
7069snssd 4160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  { 0 }  C_  RR* )
7167, 70unssd 3665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
72 fisupcl 7930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )  u. 
{ 0 } )  =/=  (/)  /\  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
7352, 59, 64, 71, 72syl13anc 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
7450, 73eqeltrd 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( P D f )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } ) )
75 breq1 4440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( P D f )  ->  (
z  <  A  <->  ( P D f )  < 
A ) )
7675rspcv 3192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P D f )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  ->  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <  A  ->  ( P D f )  < 
A ) )
7774, 76syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <  A  ->  ( P D f )  < 
A ) )
7846, 77syl5bir 218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
( A. z  e. 
ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) ) z  <  A  /\  A. z  e.  { 0 } z  <  A
)  ->  ( P D f )  < 
A ) )
7945, 78mpan2d 674 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) z  < 
A  ->  ( P D f )  < 
A ) )
8039, 79sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. x  e.  I 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A  -> 
( P D f )  <  A ) )
8171adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
82 ssun1 3652 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )
83 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  e. 
_V
8483elabrex 6140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  I  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  { y  |  E. x  e.  I 
y  =  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) } )
8584adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  { y  |  E. x  e.  I 
y  =  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) } )
8685, 53syl6eleqr 2542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) )
8782, 86sseldi 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
88 supxrub 11525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <_  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
8981, 87, 88syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
9050adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( P D f )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
9189, 90breqtrrd 4463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  <_  ( P D f ) )
921, 2, 7, 48, 49, 3, 4, 5, 16prdsxmet 20745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
9392ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
9420ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  B )
9527adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  f  e.  B )
96 xmetcl 20707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  P  e.  B  /\  f  e.  B
)  ->  ( P D f )  e. 
RR* )
9793, 94, 95, 96syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( P D f )  e. 
RR* )
98 xrlelttr 11368 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  e.  RR*  /\  ( P D f )  e. 
RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( (
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <_  ( P D f )  /\  ( P D f )  <  A )  -> 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
9934, 97, 19, 98syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) )  <_  ( P D f )  /\  ( P D f )  <  A )  -> 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
10091, 99mpand 675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P D f )  <  A  -> 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
101100ralrimdva 2861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
( P D f )  <  A  ->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
10280, 101impbid 191 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. x  e.  I 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A  <->  ( P D f )  < 
A ) )
10315, 32, 1023bitrrd 280 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
( P D f )  <  A  <->  f  e.  X_ x  e.  I  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A ) ) )
104103pm5.32da 641 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  B  /\  ( P D f )  < 
A )  <->  ( f  e.  B  /\  f  e.  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) ) ) )
105 elbl 20764 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  P  e.  B  /\  A  e.  RR* )  ->  ( f  e.  ( P ( ball `  D
) A )  <->  ( f  e.  B  /\  ( P D f )  < 
A ) ) )
10692, 20, 18, 105syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( P ( ball `  D
) A )  <->  ( f  e.  B  /\  ( P D f )  < 
A ) ) )
10721r19.21bi 2812 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( P `  x )  e.  V )
10818adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  A  e.  RR* )
109 blssm 20794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( P `  x )  e.  V  /\  A  e.  RR* )  ->  ( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  V )
11016, 107, 108, 109syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) ( ball `  E
) A )  C_  V )
111110ralrimiva 2857 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  V )
112 ss2ixp 7484 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  (
( P `  x
) ( ball `  E
) A )  C_  V  ->  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  X_ x  e.  I  V )
113111, 112syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  X_ x  e.  I  V )
114113, 8sseqtr4d 3526 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  B )
115114sseld 3488 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  I  (
( P `  x
) ( ball `  E
) A )  -> 
f  e.  B ) )
116115pm4.71rd 635 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  I  (
( P `  x
) ( ball `  E
) A )  <->  ( f  e.  B  /\  f  e.  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) ) ) )
117104, 106, 1163bitr4d 285 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( P ( ball `  D
) A )  <->  f  e.  X_ x  e.  I  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A ) ) )
118117eqrdv 2440 1  |-  ( ph  ->  ( P ( ball `  D ) A )  =  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   {cab 2428    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794    u. cun 3459    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    Or wor 4789    X. cxp 4987   ran crn 4990    |` cres 4991    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   X_cixp 7471   Fincfn 7518   supcsup 7902   0cc0 9495   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632   Basecbs 14509   distcds 14583   X_scprds 14720   *Metcxmt 18277   ballcbl 18279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-icc 11545  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-hom 14598  df-cco 14599  df-prds 14722  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-bl 18288
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  20905  prdstotbnd  30265  prdsbnd2  30266
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