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Theorem prdsbl 21079
Description: A ball in the product metric for finite index set is the Cartesian product of balls in all coordinates. For infinite index set this is no longer true; instead the correct statement is that a *closed ball* is the product of closed balls in each coordinate (where closed ball means a set of the form in blcld 21093) - for a counterexample the point  p in  RR ^ NN whose  n-th coordinate is  1  -  1  /  n is in  X_ n  e.  NN ball ( 0 ,  1 ) but is not in the  1-ball of the product (since  d ( 0 ,  p )  =  1).

The last assumption,  0  <  A, is needed only in the case  I  =  (/), when the right side evaluates to  { (/) } and the left evaluates to  (/) if  A  <_  0 and  {
(/) } if  0  <  A. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
prdsbl.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsbl.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbl.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsbl.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsbl.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsbl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsbl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsbl.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsbl.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
prdsbl.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
prdsbl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
prdsbl.g  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Assertion
Ref Expression
prdsbl  |-  ( ph  ->  ( P ( ball `  D ) A )  =  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, I    x, P    ph, x
Allowed substitution hints:    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsbl
Dummy variables  f 
z  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbl.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 prdsbl.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 prdsbl.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
4 prdsbl.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
5 prdsbl.r . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
65ralrimiva 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
7 prdsbl.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  R
)
81, 2, 3, 4, 6, 7prdsbas3 14888 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
98eleq2d 2452 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B  <->  f  e.  X_ x  e.  I  V ) )
109biimpa 482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  f  e.  X_ x  e.  I  V )
11 ixpfn 7394 . . . . . 6  |-  ( f  e.  X_ x  e.  I  V  ->  f  Fn  I
)
12 vex 3037 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
1312elixp 7395 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A )  <-> 
( f  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  ( ( P `  x ) ( ball `  E
) A ) ) )
1413baib 901 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  I  ->  (
f  e.  X_ x  e.  I  ( ( P `  x )
( ball `  E ) A )  <->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A ) ) )
1510, 11, 143syl 20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
f  e.  X_ x  e.  I  ( ( P `  x )
( ball `  E ) A )  <->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A ) ) )
16 prdsbl.m . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
1716adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
18 prdsbl.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1918ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  A  e.  RR* )
20 prdsbl.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
211, 2, 3, 4, 6, 7, 20prdsbascl 14890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( P `  x
)  e.  V )
2221adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. x  e.  I  ( P `  x )  e.  V
)
2322r19.21bi 2751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( P `  x )  e.  V )
243adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  S  e.  W )
254adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  I  e.  Fin )
266adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
27 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  f  e.  B )
281, 2, 24, 25, 26, 7, 27prdsbascl 14890 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  V
)
2928r19.21bi 2751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  e.  V )
30 elbl2 20978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E  e.  ( *Met `  V
)  /\  A  e.  RR* )  /\  ( ( P `  x )  e.  V  /\  (
f `  x )  e.  V ) )  -> 
( ( f `  x )  e.  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A )  <->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
3117, 19, 23, 29, 30syl22anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( ( P `  x ) ( ball `  E
) A )  <->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
3231ralbidva 2818 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  ( ( P `  x ) ( ball `  E
) A )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
33 xmetcl 20919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( P `  x )  e.  V  /\  ( f `  x
)  e.  V )  ->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) )  e.  RR* )
3417, 23, 29, 33syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  RR* )
3534ralrimiva 2796 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  e. 
RR* )
36 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )
37 breq1 4370 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) )  ->  (
z  <  A  <->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
3836, 37ralrnmpt 5942 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  RR*  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) z  <  A  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
3935, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) z  < 
A  <->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
40 prdsbl.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  A )
4140adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  0  <  A )
42 c0ex 9501 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
43 breq1 4370 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  0  ->  (
z  <  A  <->  0  <  A ) )
4442, 43ralsn 3983 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  { 0 } z  <  A  <->  0  <  A )
4541, 44sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. z  e.  { 0 } z  <  A )
46 ralunb 3599 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <  A  <->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) z  <  A  /\  A. z  e.  { 0 } z  <  A
) )
4720adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  P  e.  B )
48 prdsbl.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
49 prdsbl.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( dist `  Y
)
501, 2, 24, 25, 26, 47, 27, 7, 48, 49prdsdsval3 14892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( P D f )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
51 xrltso 11268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR*
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  <  Or 
RR* )
5336rnmpt 5161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  =  { y  |  E. x  e.  I  y  =  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) }
54 abrexfi 7735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  Fin  ->  { y  |  E. x  e.  I  y  =  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) }  e.  Fin )
5553, 54syl5eqel 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  e.  Fin )
5625, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  e.  Fin )
57 snfi 7515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 }  e.  Fin
58 unfi 7702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )  e. 
Fin  /\  { 0 }  e.  Fin )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin )
5956, 57, 58sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  e. 
Fin )
60 ssun2 3582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { 0 }  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )
6142snss 4068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
6260, 61mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )
63 ne0i 3717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  =/=  (/) )
6462, 63mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  =/=  (/) )
6534, 36fmptd 5957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) ) : I --> RR* )
66 frn 5645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  C_  RR* )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  C_  RR* )
68 0xr 9551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  0  e.  RR* )
7069snssd 4089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  { 0 }  C_  RR* )
7167, 70unssd 3594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
72 fisupcl 7842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )  u. 
{ 0 } )  =/=  (/)  /\  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
7352, 59, 64, 71, 72syl13anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
7450, 73eqeltrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( P D f )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } ) )
75 breq1 4370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( P D f )  ->  (
z  <  A  <->  ( P D f )  < 
A ) )
7675rspcv 3131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P D f )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  ->  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <  A  ->  ( P D f )  < 
A ) )
7774, 76syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <  A  ->  ( P D f )  < 
A ) )
7846, 77syl5bir 218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
( A. z  e. 
ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) ) z  <  A  /\  A. z  e.  { 0 } z  <  A
)  ->  ( P D f )  < 
A ) )
7945, 78mpan2d 672 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) z  < 
A  ->  ( P D f )  < 
A ) )
8039, 79sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. x  e.  I 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A  -> 
( P D f )  <  A ) )
8171adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
82 ssun1 3581 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )
83 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  e. 
_V
8483elabrex 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  I  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  { y  |  E. x  e.  I 
y  =  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) } )
8584adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  { y  |  E. x  e.  I 
y  =  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) } )
8685, 53syl6eleqr 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) )
8782, 86sseldi 3415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
88 supxrub 11437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <_  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
8981, 87, 88syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
9050adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( P D f )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
9189, 90breqtrrd 4393 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  <_  ( P D f ) )
921, 2, 7, 48, 49, 3, 4, 5, 16prdsxmet 20957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
9392ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
9420ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  B )
9527adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  f  e.  B )
96 xmetcl 20919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  P  e.  B  /\  f  e.  B
)  ->  ( P D f )  e. 
RR* )
9793, 94, 95, 96syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( P D f )  e. 
RR* )
98 xrlelttr 11280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  e.  RR*  /\  ( P D f )  e. 
RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( (
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <_  ( P D f )  /\  ( P D f )  <  A )  -> 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
9934, 97, 19, 98syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) )  <_  ( P D f )  /\  ( P D f )  <  A )  -> 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
10091, 99mpand 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P D f )  <  A  -> 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
101100ralrimdva 2800 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
( P D f )  <  A  ->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
10280, 101impbid 191 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. x  e.  I 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A  <->  ( P D f )  < 
A ) )
10315, 32, 1023bitrrd 280 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
( P D f )  <  A  <->  f  e.  X_ x  e.  I  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A ) ) )
104103pm5.32da 639 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  B  /\  ( P D f )  < 
A )  <->  ( f  e.  B  /\  f  e.  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) ) ) )
105 elbl 20976 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  P  e.  B  /\  A  e.  RR* )  ->  ( f  e.  ( P ( ball `  D
) A )  <->  ( f  e.  B  /\  ( P D f )  < 
A ) ) )
10692, 20, 18, 105syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( P ( ball `  D
) A )  <->  ( f  e.  B  /\  ( P D f )  < 
A ) ) )
10721r19.21bi 2751 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( P `  x )  e.  V )
10818adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  A  e.  RR* )
109 blssm 21006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( P `  x )  e.  V  /\  A  e.  RR* )  ->  ( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  V )
11016, 107, 108, 109syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) ( ball `  E
) A )  C_  V )
111110ralrimiva 2796 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  V )
112 ss2ixp 7401 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  (
( P `  x
) ( ball `  E
) A )  C_  V  ->  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  X_ x  e.  I  V )
113111, 112syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  X_ x  e.  I  V )
114113, 8sseqtr4d 3454 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  B )
115114sseld 3416 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  I  (
( P `  x
) ( ball `  E
) A )  -> 
f  e.  B ) )
116115pm4.71rd 633 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  I  (
( P `  x
) ( ball `  E
) A )  <->  ( f  e.  B  /\  f  e.  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) ) ) )
117104, 106, 1163bitr4d 285 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( P ( ball `  D
) A )  <->  f  e.  X_ x  e.  I  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A ) ) )
118117eqrdv 2379 1  |-  ( ph  ->  ( P ( ball `  D ) A )  =  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   {cab 2367    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733    u. cun 3387    C_ wss 3389   (/)c0 3711   {csn 3944   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425    Or wor 4713    X. cxp 4911   ran crn 4914    |` cres 4915    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   X_cixp 7388   Fincfn 7435   supcsup 7815   0cc0 9403   RR*cxr 9538    < clt 9539    <_ cle 9540   Basecbs 14634   distcds 14711   X_scprds 14853   *Metcxmt 18516   ballcbl 18518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-icc 11457  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-hom 14726  df-cco 14727  df-prds 14855  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-bl 18527
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  21117  prdstotbnd  30456  prdsbnd2  30457
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