MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsbasprj Structured version   Unicode version

Theorem prdsbasprj 14744
Description: Each point in a structure product restricts on each coordinate to the relevant base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbasmpt.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbasmpt.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbasmpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsbasmpt.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsbasmpt.t  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
prdsbasprj.j  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
Assertion
Ref Expression
prdsbasprj  |-  ( ph  ->  ( T `  J
)  e.  ( Base `  ( R `  J
) ) )

Proof of Theorem prdsbasprj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasprj.j . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
2 prdsbasmpt.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
3 prdsbasmpt.y . . . . 5  |-  Y  =  ( S X_s R )
4 prdsbasmpt.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
5 prdsbasmpt.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
6 prdsbasmpt.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
7 prdsbasmpt.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
83, 4, 5, 6, 7prdsbas2 14741 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
92, 8eleqtrd 2557 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
10 elixp2 7485 . . . 4  |-  ( T  e.  X_ x  e.  I 
( Base `  ( R `  x ) )  <->  ( T  e.  _V  /\  T  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( T `  x )  e.  (
Base `  ( R `  x ) ) ) )
1110simp3bi 1013 . . 3  |-  ( T  e.  X_ x  e.  I 
( Base `  ( R `  x ) )  ->  A. x  e.  I 
( T `  x
)  e.  ( Base `  ( R `  x
) ) )
129, 11syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( T `  x
)  e.  ( Base `  ( R `  x
) ) )
13 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( x  =  J  ->  ( T `  x )  =  ( T `  J ) )
14 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( x  =  J  ->  ( R `  x )  =  ( R `  J ) )
1514fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( x  =  J  ->  ( Base `  ( R `  x ) )  =  ( Base `  ( R `  J )
) )
1613, 15eleq12d 2549 . . 3  |-  ( x  =  J  ->  (
( T `  x
)  e.  ( Base `  ( R `  x
) )  <->  ( T `  J )  e.  (
Base `  ( R `  J ) ) ) )
1716rspcva 3217 . 2  |-  ( ( J  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( T `  x )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )  ->  ( T `  J )  e.  ( Base `  ( R `  J )
) )
181, 12, 17syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( T `  J
)  e.  ( Base `  ( R `  J
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   X_cixp 7481   Basecbs 14507   X_scprds 14718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-prds 14720
This theorem is referenced by:  prdsplusgcl  15824  prdsidlem  15825  prdsmndd  15826  prdspjmhm  15870  prdsinvlem  16050  prdscmnd  16740  prdsmulrcl  17132  prdsringd  17133  prdsvscacl  17485  prdslmodd  17486
  Copyright terms: Public domain W3C validator