MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsbas3 Structured version   Unicode version

Theorem prdsbas3 14739
Description: The base set of an indexed structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt2.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsbasmpt2.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbasmpt2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbasmpt2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsbasmpt2.r  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  X )
prdsbasmpt2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
prdsbas3  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  K )
Distinct variable group:    x, I
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)    R( x)    S( x)    K( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)

Proof of Theorem prdsbas3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt2.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 prdsbasmpt2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 prdsbasmpt2.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsbasmpt2.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 prdsbasmpt2.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  X )
6 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( x  e.  I  |->  R )
76fnmpt 5707 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  I  R  e.  X  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I
)
91, 2, 3, 4, 8prdsbas2 14727 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  X_ y  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) )
10 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ x Base
11 nffvmpt1 5874 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  R ) `  y )
1210, 11nffv 5873 . . . 4  |-  F/_ x
( Base `  ( (
x  e.  I  |->  R ) `  y ) )
13 nfcv 2629 . . . 4  |-  F/_ y
( Base `  ( (
x  e.  I  |->  R ) `  x ) )
14 fveq2 5866 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
)  =  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x ) )
1514fveq2d 5870 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `
 y ) )  =  ( Base `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  x
) ) )
1612, 13, 15cbvixp 7487 . . 3  |-  X_ y  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) )  = 
X_ x  e.  I 
( Base `  ( (
x  e.  I  |->  R ) `  x ) )
179, 16syl6eq 2524 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x ) ) )
186fvmpt2 5958 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  I  /\  R  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x )  =  R )
1918fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  I  /\  R  e.  X )  ->  ( Base `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  x
) )  =  (
Base `  R )
)
20 prdsbasmpt2.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
2119, 20syl6eqr 2526 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  /\  R  e.  X )  ->  ( Base `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  x
) )  =  K )
2221ralimiaa 2856 . . 3  |-  ( A. x  e.  I  R  e.  X  ->  A. x  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x ) )  =  K )
23 ixpeq2 7484 . . 3  |-  ( A. x  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `
 x ) )  =  K  ->  X_ x  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x ) )  = 
X_ x  e.  I  K )
245, 22, 233syl 20 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( Base `  ( (
x  e.  I  |->  R ) `  x ) )  =  X_ x  e.  I  K )
2517, 24eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    |-> cmpt 4505    Fn wfn 5583   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   X_cixp 7470   Basecbs 14493   X_scprds 14704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-hom 14582  df-cco 14583  df-prds 14706
This theorem is referenced by:  prdsbasmpt2  14740  ressprdsds  20701  prdsbl  20821  prdsbnd2  30121
  Copyright terms: Public domain W3C validator