Theorem prdsbas 14874

Description: Base set of a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbas.p	|- P = ( S X_s R )
prdsbas.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbas.r	|- ( ph -> R e. W )
prdsbas.b	|- B = ( Base ` P )
prdsbas.i	|- ( ph -> dom R = I )

Assertion

Ref	Expression
prdsbas	|- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   ph, x   x, I   x, P   x, R   x, S

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem prdsbas

Dummy variables a c d e f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbas.p	. . 3 |- P = ( S X_s R )
2		eqid 2457	. . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3		prdsbas.i	. . 3 |- ( ph -> dom R = I )
4		eqidd 2458	. . 3 |- ( ph -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )
5		eqidd 2458	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
6		eqidd 2458	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
7		eqidd 2458	. . 3 |- ( ph -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
8		eqidd 2458	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) )
9		eqidd 2458	. . 3 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
10		eqidd 2458	. . 3 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } )
11		eqidd 2458	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) )
12		eqidd 2458	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
13		eqidd 2458	. . 3 |- ( ph -> ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) = ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) )
14		prdsbas.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
15		prdsbas.r	. . 3 |- ( ph -> R e. W )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	prdsval 14872	. 2 |- ( ph -> P = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
17		prdsbas.b	. 2 |- B = ( Base ` P )
18		baseid 14692	. 2 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
19	18	strfvss 14662	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran ( R ` x )
20		fvssunirn 5895	. . . . . . . 8 |- ( R ` x ) C_ U. ran R
21		rnss 5241	. . . . . . . 8 |- ( ( R ` x ) C_ U. ran R -> ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R )
22		uniss 4272	. . . . . . . 8 |- ( ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R -> U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R )
23	20, 21, 22	mp2b 10	. . . . . . 7 |- U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R
24	19, 23	sstri 3508	. . . . . 6 |- ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R
25	24	rgenw 2818	. . . . 5 |- A. x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R
26		iunss 4373	. . . . 5 |- ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R <-> A. x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R )
27	25, 26	mpbir 209	. . . 4 |- U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R
28		rnexg 6731	. . . . . 6 |- ( R e. W -> ran R e. _V )
29		uniexg 6596	. . . . . 6 |- ( ran R e. _V -> U. ran R e. _V )
30	15, 28, 29	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> U. ran R e. _V )
31		rnexg 6731	. . . . 5 |- ( U. ran R e. _V -> ran U. ran R e. _V )
32		uniexg 6596	. . . . 5 |- ( ran U. ran R e. _V -> U. ran U. ran R e. _V )
33	30, 31, 32	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> U. ran U. ran R e. _V )
34		ssexg 4602	. . . 4 |- ( ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R /\ U. ran U. ran R e. _V ) -> U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
35	27, 33, 34	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
36		ixpssmap2g 7517	. . 3 |- ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ^m I ) )
37		ovex 6324	. . . 4 |- ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ^m I ) e. _V
38	37	ssex 4600	. . 3 |- ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ^m I ) -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
39	35, 36, 38	3syl 20	. 2 |- ( ph -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
40		snsstp1 4183	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. }
41		ssun1 3663	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
42	40, 41	sstri 3508	. . 3 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
43		ssun1 3663	. . 3 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
44	42, 43	sstri 3508	. 2 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. } C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
45	16, 17, 18, 39, 44	prdsvallem 14871	1 |- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   u. cun 3469   C_ wss 3471   {csn 4032   {cpr 4034   {ctp 4036   <.cop 4038   U.cuni 4251   U_ciun 4332   class class class wbr 4456   {copab 4514   |-> cmpt 4515   X. cxp 5006   dom cdm 5008   ran crn 5009   o. ccom 5012   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   |-> cmpt2 6298   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798   ^m cmap 7438   X_cixp 7488   supcsup 7918   0cc0 9509   RR*cxr 9644   < clt 9645   ndxcnx 14641   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   .rcmulr 14713  Scalarcsca 14715   .scvsca 14716   .icip 14717  TopSetcts 14718   lecple 14719   distcds 14721   Hom chom 14723  compcco 14724   TopOpenctopn 14839   Xt_cpt 14856   gsum_g cgsu 14858   X__scprds 14863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-hom 14736  df-cco 14737  df-prds 14865

This theorem is referenced by:  prdsplusg  14875  prdsmulr  14876  prdsvsca  14877  prdsip  14878  prdsle  14879  prdsds  14881  prdstset  14883  prdshom  14884  prdsco  14885  prdsbas2  14886  pwsbas  14904  dsmmval  18892  frlmip  18936  prdstps  20256  rrxip  21948  prdstotbnd  30495