Theorem prdsbas 15404

Description: Base set of a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbas.p	|- P = ( S X_s R )
prdsbas.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbas.r	|- ( ph -> R e. W )
prdsbas.b	|- B = ( Base ` P )
prdsbas.i	|- ( ph -> dom R = I )

Assertion

Ref	Expression
prdsbas	|- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   ph, x   x, I   x, P   x, R   x, S

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem prdsbas

Dummy variables a c d e f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbas.p	. . 3 |- P = ( S X_s R )
2		eqid 2462	. . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3		prdsbas.i	. . 3 |- ( ph -> dom R = I )
4		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )
5		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
6		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
7		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
8		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) )
9		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
10		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } )
11		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) )
12		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
13		eqidd 2463	. . 3 |- ( ph -> ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) = ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) )
14		prdsbas.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
15		prdsbas.r	. . 3 |- ( ph -> R e. W )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	prdsval 15402	. 2 |- ( ph -> P = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
17		prdsbas.b	. 2 |- B = ( Base ` P )
18		baseid 15218	. 2 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
19	18	strfvss 15188	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran ( R ` x )
20		fvssunirn 5911	. . . . . . . 8 |- ( R ` x ) C_ U. ran R
21		rnss 5082	. . . . . . . 8 |- ( ( R ` x ) C_ U. ran R -> ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R )
22		uniss 4233	. . . . . . . 8 |- ( ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R -> U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R )
23	20, 21, 22	mp2b 10	. . . . . . 7 |- U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R
24	19, 23	sstri 3453	. . . . . 6 |- ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R
25	24	rgenw 2761	. . . . 5 |- A. x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R
26		iunss 4333	. . . . 5 |- ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R <-> A. x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R )
27	25, 26	mpbir 214	. . . 4 |- U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R
28		rnexg 6752	. . . . . 6 |- ( R e. W -> ran R e. _V )
29		uniexg 6615	. . . . . 6 |- ( ran R e. _V -> U. ran R e. _V )
30	15, 28, 29	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> U. ran R e. _V )
31		rnexg 6752	. . . . 5 |- ( U. ran R e. _V -> ran U. ran R e. _V )
32		uniexg 6615	. . . . 5 |- ( ran U. ran R e. _V -> U. ran U. ran R e. _V )
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> U. ran U. ran R e. _V )
34		ssexg 4563	. . . 4 |- ( ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R /\ U. ran U. ran R e. _V ) -> U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
35	27, 33, 34	sylancr 674	. . 3 |- ( ph -> U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
36		ixpssmap2g 7577	. . 3 |- ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ^m I ) )
37		ovex 6343	. . . 4 |- ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ^m I ) e. _V
38	37	ssex 4561	. . 3 |- ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ^m I ) -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
39	35, 36, 38	3syl 18	. 2 |- ( ph -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
40		snsstp1 4136	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. }
41		ssun1 3609	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
42	40, 41	sstri 3453	. . 3 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
43		ssun1 3609	. . 3 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
44	42, 43	sstri 3453	. 2 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. } C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
45	16, 17, 18, 39, 44	prdsvallem 15401	1 |- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   _Vcvv 3057   u. cun 3414   C_ wss 3416   {csn 3980   {cpr 3982   {ctp 3984   <.cop 3986   U.cuni 4212   U_ciun 4292   class class class wbr 4416   {copab 4474   |-> cmpt 4475   X. cxp 4851   dom cdm 4853   ran crn 4854   o. ccom 4857   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   |-> cmpt2 6317   1stc1st 6818   2ndc2nd 6819   ^m cmap 7498   X_cixp 7548   supcsup 7980   0cc0 9565   RR*cxr 9700   < clt 9701   ndxcnx 15167   Basecbs 15170   +g cplusg 15239   .rcmulr 15240  Scalarcsca 15242   .scvsca 15243   .icip 15244  TopSetcts 15245   lecple 15246   distcds 15248   Hom chom 15250  compcco 15251   TopOpenctopn 15369   Xt_cpt 15386   gsum_g cgsu 15388   X__scprds 15393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-sup 7982  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-fz 11814  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-ip 15257  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-hom 15263  df-cco 15264  df-prds 15395

This theorem is referenced by:  prdsplusg  15405  prdsmulr  15406  prdsvsca  15407  prdsip  15408  prdsle  15409  prdsds  15411  prdstset  15413  prdshom  15414  prdsco  15415  prdsbas2  15416  pwsbas  15434  dsmmval  19346  frlmip  19385  prdstps  20693  rrxip  22398  prdstotbnd  32171