Theorem prdsbas 14395

Description: Base set of a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbas.p	|- P = ( S X_s R )
prdsbas.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbas.r	|- ( ph -> R e. W )
prdsbas.b	|- B = ( Base ` P )
prdsbas.i	|- ( ph -> dom R = I )

Assertion

Ref	Expression
prdsbas	|- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   ph, x   x, I   x, P   x, R   x, S

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem prdsbas

Dummy variables a c d e f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbas.p	. . 3 |- P = ( S X_s R )
2		eqid 2443	. . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3		prdsbas.i	. . 3 |- ( ph -> dom R = I )
4		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )
5		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
6		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
7		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
8		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) )
9		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
10		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } )
11		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) )
12		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
13		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) = ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) )
14		prdsbas.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
15		prdsbas.r	. . 3 |- ( ph -> R e. W )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	prdsval 14393	. 2 |- ( ph -> P = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
17		prdsbas.b	. 2 |- B = ( Base ` P )
18		baseid 14220	. 2 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
19	18	strfvss 14192	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran ( R ` x )
20		fvssunirn 5713	. . . . . . . 8 |- ( R ` x ) C_ U. ran R
21		rnss 5068	. . . . . . . 8 |- ( ( R ` x ) C_ U. ran R -> ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R )
22		uniss 4112	. . . . . . . 8 |- ( ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R -> U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R )
23	20, 21, 22	mp2b 10	. . . . . . 7 |- U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R
24	19, 23	sstri 3365	. . . . . 6 |- ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R
25	24	rgenw 2783	. . . . 5 |- A. x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R
26		iunss 4211	. . . . 5 |- ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R <-> A. x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R )
27	25, 26	mpbir 209	. . . 4 |- U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R
28		rnexg 6510	. . . . . 6 |- ( R e. W -> ran R e. _V )
29		uniexg 6377	. . . . . 6 |- ( ran R e. _V -> U. ran R e. _V )
30	15, 28, 29	3syl 20	. . . . 5 |- ( ph -> U. ran R e. _V )
31		rnexg 6510	. . . . 5 |- ( U. ran R e. _V -> ran U. ran R e. _V )
32		uniexg 6377	. . . . 5 |- ( ran U. ran R e. _V -> U. ran U. ran R e. _V )
33	30, 31, 32	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> U. ran U. ran R e. _V )
34		ssexg 4438	. . . 4 |- ( ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R /\ U. ran U. ran R e. _V ) -> U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
35	27, 33, 34	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
36		ixpssmap2g 7292	. . 3 |- ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ^m I ) )
37		ovex 6116	. . . 4 |- ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ^m I ) e. _V
38	37	ssex 4436	. . 3 |- ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) C_ ( U_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ^m I ) -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
39	35, 36, 38	3syl 20	. 2 |- ( ph -> X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) e. _V )
40		snsstp1 4024	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. }
41		ssun1 3519	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
42	40, 41	sstri 3365	. . 3 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
43		ssun1 3519	. . 3 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
44	42, 43	sstri 3365	. 2 |- { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. } C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. ( Base ` S ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) X. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) ) , c e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> ( d e. ( c ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) , g e. X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
45	16, 17, 18, 39, 44	prdsvallem 14392	1 |- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972   u. cun 3326   C_ wss 3328   {csn 3877   {cpr 3879   {ctp 3881   <.cop 3883   U.cuni 4091   U_ciun 4171   class class class wbr 4292   {copab 4349   e. cmpt 4350   X. cxp 4838   dom cdm 4840   ran crn 4841   o. ccom 4844   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   e. cmpt2 6093   1stc1st 6575   2ndc2nd 6576   ^m cmap 7214   X_cixp 7263   supcsup 7690   0cc0 9282   RR*cxr 9417   < clt 9418   ndxcnx 14171   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   .rcmulr 14239  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   .icip 14243  TopSetcts 14244   lecple 14245   distcds 14247   Hom chom 14249  compcco 14250   TopOpenctopn 14360   Xt_cpt 14377   gsum_g cgsu 14379   X__scprds 14384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-hom 14262  df-cco 14263  df-prds 14386

This theorem is referenced by:  prdsplusg  14396  prdsmulr  14397  prdsvsca  14398  prdsip  14399  prdsle  14400  prdsds  14402  prdstset  14404  prdshom  14405  prdsco  14406  prdsbas2  14407  pwsbas  14425  dsmmval  18159  frlmip  18203  prdstps  19202  rrxip  20894  prdstotbnd  28693