MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prds1 Structured version   Unicode version

Theorem prds1 16814
Description: Value of the ring unit in a structure family product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prds1.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prds1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prds1.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prds1.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
Assertion
Ref Expression
prds1  |-  ( ph  ->  ( 1r  o.  R
)  =  ( 1r
`  Y ) )

Proof of Theorem prds1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . 4  |-  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
)  =  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
)
2 prds1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 prds1.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 mgpf 16764 . . . . 5  |-  (mulGrp  |`  Ring ) : Ring --> Mnd
5 prds1.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
6 fco2 5669 . . . . 5  |-  ( ( (mulGrp  |`  Ring ) : Ring --> Mnd 
/\  R : I -->
Ring )  ->  (mulGrp  o.  R ) : I --> Mnd )
74, 5, 6sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  (mulGrp  o.  R ) : I --> Mnd )
81, 2, 3, 7prds0g 15559 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  (mulGrp  o.  R ) )  =  ( 0g `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
9 eqidd 2452 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  (mulGrp `  Y ) ) )
10 prds1.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
11 eqid 2451 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
12 ffn 5659 . . . . . . 7  |-  ( R : I --> Ring  ->  R  Fn  I )
135, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
1410, 11, 1, 2, 3, 13prdsmgp 16810 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) )  /\  ( +g  `  (mulGrp `  Y
) )  =  ( +g  `  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
) ) ) )
1514simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
1614simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( +g  `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( +g  `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
1716proplem3 14733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  /\  y  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y )
) ) )  -> 
( x ( +g  `  (mulGrp `  Y )
) y )  =  ( x ( +g  `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) y ) )
189, 15, 17grpidpropd 15551 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( 0g `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
198, 18eqtr4d 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  (mulGrp  o.  R ) )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Y ) ) )
20 df-ur 16711 . . . 4  |-  1r  =  ( 0g  o. mulGrp )
2120coeq1i 5099 . . 3  |-  ( 1r  o.  R )  =  ( ( 0g  o. mulGrp )  o.  R )
22 coass 5456 . . 3  |-  ( ( 0g  o. mulGrp )  o.  R
)  =  ( 0g  o.  (mulGrp  o.  R
) )
2321, 22eqtri 2480 . 2  |-  ( 1r  o.  R )  =  ( 0g  o.  (mulGrp  o.  R ) )
24 eqid 2451 . . 3  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
2511, 24rngidval 16712 . 2  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Y ) )
2619, 23, 253eqtr4g 2517 1  |-  ( ph  ->  ( 1r  o.  R
)  =  ( 1r
`  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    |` cres 4942    o. ccom 4944    Fn wfn 5513   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Basecbs 14278   +g cplusg 14342   0gc0g 14482   X_scprds 14488   Mndcmnd 15513  mulGrpcmgp 16698   1rcur 16710   Ringcrg 16753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-hom 14366  df-cco 14367  df-0g 14484  df-prds 14490  df-mnd 15519  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755
This theorem is referenced by:  pws1  16816
  Copyright terms: Public domain W3C validator