Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prct Structured version   Unicode version

Theorem prct 27235
Description: An unordered pair is countable (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
prct  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { A ,  B }  ~<_  om )

Proof of Theorem prct
StepHypRef Expression
1 df-pr 4030 . 2  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
2 snct 27234 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~<_  om )
3 snct 27234 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  { B }  ~<_  om )
4 unctb 8585 . . 3  |-  ( ( { A }  ~<_  om  /\  { B }  ~<_  om )  ->  ( { A }  u.  { B } )  ~<_  om )
52, 3, 4syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  u.  { B } )  ~<_  om )
61, 5syl5eqbr 4480 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { A ,  B }  ~<_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    u. cun 3474   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447   omcom 6684    ~<_ cdom 7514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548
This theorem is referenced by:  difelsiga  27801  unelsiga  27802  measxun2  27849  measssd  27854  probun  28026
  Copyright terms: Public domain W3C validator