Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prct Structured version   Unicode version

Theorem prct 28139
Description: An unordered pair is countable (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
prct  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { A ,  B }  ~<_  om )

Proof of Theorem prct
StepHypRef Expression
1 df-pr 4005 . 2  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
2 snct 28138 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~<_  om )
3 snct 28138 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  { B }  ~<_  om )
4 unctb 8633 . . 3  |-  ( ( { A }  ~<_  om  /\  { B }  ~<_  om )  ->  ( { A }  u.  { B } )  ~<_  om )
52, 3, 4syl2an 479 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( { A }  u.  { B } )  ~<_  om )
61, 5syl5eqbr 4459 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { A ,  B }  ~<_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1870    u. cun 3440   {csn 4002   {cpr 4004   class class class wbr 4426   omcom 6706    ~<_ cdom 7575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596
This theorem is referenced by:  difelsiga  28794  unelsiga  28795  unelldsys  28819  measxun2  28871  measssd  28876  carsgsigalem  28976  carsgclctun  28982  pmeasmono  28985  probun  29078
  Copyright terms: Public domain W3C validator