Theorem prcdpq 6249

Description: A positive real is closed downwards under the positive fractions. Definition 9-3.1 (ii) of [Gleason] p. 121.

Assertion

Ref	Expression
prcdpq	|- ((A e. P. /\ B e. A) -> (C <Q B -> C e. A))

Proof of Theorem prcdpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1957	. . . . . . . . 9 |- (x = B -> (x e. A <-> B e. A))
2	1	anbi2d 678	. . . . . . . 8 |- (x = B -> ((A e. P. /\ x e. A) <-> (A e. P. /\ B e. A)))
3		breq2 3342	. . . . . . . 8 |- (x = B -> (y <Q x <-> y <Q B))
4	2, 3	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (x = B -> (((A e. P. /\ x e. A) /\ y <Q x) <-> ((A e. P. /\ B e. A) /\ y <Q B)))
5	4	imbi1d 675	. . . . . 6 |- (x = B -> ((((A e. P. /\ x e. A) /\ y <Q x) -> y e. A) <-> (((A e. P. /\ B e. A) /\ y <Q B) -> y e. A)))
6		breq1 3341	. . . . . . . 8 |- (y = C -> (y <Q B <-> C <Q B))
7	6	anbi2d 678	. . . . . . 7 |- (y = C -> (((A e. P. /\ B e. A) /\ y <Q B) <-> ((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B)))
8		eleq1 1957	. . . . . . 7 |- (y = C -> (y e. A <-> C e. A))
9	7, 8	imbi12d 688	. . . . . 6 |- (y = C -> ((((A e. P. /\ B e. A) /\ y <Q B) -> y e. A) <-> (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> C e. A)))
10		elnp 6244	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. P. <-> (((/) C. A /\ A C. Q.) /\ A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y)))
11	10	simprbi 353	. . . . . . . . . 10 |- (A e. P. -> A.x e. A (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y))
12	11	r19.21bi 2188	. . . . . . . . 9 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> (A.y(y <Q x -> y e. A) /\ E.y e. A x <Q y))
13	12	simplld 348	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> A.y(y <Q x -> y e. A))
14	13	19.21bi 1408	. . . . . . 7 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> (y <Q x -> y e. A))
15	14	imp 377	. . . . . 6 |- (((A e. P. /\ x e. A) /\ y <Q x) -> y e. A)
16	5, 9, 15	vtocl2g 2349	. . . . 5 |- ((B e. A /\ C e. _V) -> (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> C e. A))
17		ltrelpq 6203	. . . . . . 7 |- <Q C_ (Q. X. Q.)
18		relxp 4088	. . . . . . 7 |- Rel (Q. X. Q.)
19		relss 4074	. . . . . . 7 |- ( <Q C_ (Q. X. Q.) -> (Rel (Q. X. Q.) -> Rel <Q ))
20	17, 18, 19	mp2 54	. . . . . 6 |- Rel <Q
21	20	brrelexi 4029	. . . . 5 |- (C <Q B -> C e. _V)
22	16, 21	sylan2 500	. . . 4 |- ((B e. A /\ C <Q B) -> (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> C e. A))
23	22	adantll 428	. . 3 |- (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> C e. A))
24	23	pm2.43i 78	. 2 |- (((A e. P. /\ B e. A) /\ C <Q B) -> C e. A)
25	24	ex 402	1 |- ((A e. P. /\ B e. A) -> (C <Q B -> C e. A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   C. wpss 2594  (/)c0 2875   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  Rel wrel 3991  Q.cnq 6131   <Q cltq 6136  P.cnp 6137

This theorem is referenced by:  prub 6250  addclprlem1 6270  mulclprlem 6273  distrlem4pr 6282  1idpr 6285  psslinpr 6287  prlem934 6291  ltaddpr 6292  ltexprlem2 6295  ltexprlem3 6296  ltexprlem6 6299  prlem936 6307  reclem2pr 6309  suplem1pr 6313

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-qs 5323  df-ni 6152  df-nq 6190  df-ltq 6194  df-np 6238

Copyright terms: Public domain