MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pr2pwpr Structured version   Unicode version

Theorem pr2pwpr 12501
Description: The set of subsets of a pair having length 2 is the set of the pair as singleton. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
pr2pwpr  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  ->  { p  e.  ~P { A ,  B }  |  p  ~~  2o }  =  { { A ,  B } } )
Distinct variable groups:    A, p    B, p
Allowed substitution hints:    V( p)    W( p)

Proof of Theorem pr2pwpr
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4025 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P { A ,  B }  ->  s  C_ 
{ A ,  B } )
2 prfi 7807 . . . . . . . . 9  |-  { A ,  B }  e.  Fin
3 ssfi 7752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A ,  B }  e.  Fin  /\  s  C_ 
{ A ,  B } )  ->  s  e.  Fin )
42, 3mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( s 
C_  { A ,  B }  ->  s  e. 
Fin )
5 hash2 12450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( # `  2o )  =  2
65eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =  ( # `  2o )
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  Fin  ->  2  =  ( # `  2o ) )
87eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  Fin  ->  (
( # `  s )  =  2  <->  ( # `  s
)  =  ( # `  2o ) ) )
9 2onn 7301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  e.  om
10 nnfi 7722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  Fin
12 hashen 12400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  Fin  /\  2o  e.  Fin )  -> 
( ( # `  s
)  =  ( # `  2o )  <->  s  ~~  2o ) )
1311, 12mpan2 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  Fin  ->  (
( # `  s )  =  ( # `  2o ) 
<->  s  ~~  2o ) )
148, 13bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  Fin  ->  (
( # `  s )  =  2  <->  s  ~~  2o ) )
15 hash2pwpr 12500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  s
)  =  2  /\  s  e.  ~P { A ,  B }
)  ->  s  =  { A ,  B }
)
1615a1d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  s
)  =  2  /\  s  e.  ~P { A ,  B }
)  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
s  =  { A ,  B } ) )
1716ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  s )  =  2  ->  (
s  e.  ~P { A ,  B }  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/= 
B )  ->  s  =  { A ,  B } ) ) )
1814, 17syl6bir 229 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  Fin  ->  (
s  ~~  2o  ->  ( s  e.  ~P { A ,  B }  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/= 
B )  ->  s  =  { A ,  B } ) ) ) )
1918com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  Fin  ->  (
s  e.  ~P { A ,  B }  ->  ( s  ~~  2o  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/= 
B )  ->  s  =  { A ,  B } ) ) ) )
204, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( s 
C_  { A ,  B }  ->  ( s  e.  ~P { A ,  B }  ->  (
s  ~~  2o  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B
)  ->  s  =  { A ,  B }
) ) ) )
211, 20mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ~P { A ,  B }  ->  (
s  ~~  2o  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B
)  ->  s  =  { A ,  B }
) ) )
2221imp 429 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ~P { A ,  B }  /\  s  ~~  2o )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/= 
B )  ->  s  =  { A ,  B } ) )
2322com12 31 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( ( s  e. 
~P { A ,  B }  /\  s  ~~  2o )  ->  s  =  { A ,  B } ) )
24 prex 4695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { A ,  B }  e.  _V
2524prid2 4142 . . . . . . . . . . . 12  |-  { A ,  B }  e.  { { B } ,  { A ,  B } }
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  e.  { { B } ,  { A ,  B } } )
2726olcd 393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { A ,  B }  e.  { (/) ,  { A } }  \/  { A ,  B }  e.  { { B } ,  { A ,  B } } ) )
28 elun 3650 . . . . . . . . . 10  |-  ( { A ,  B }  e.  ( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  <->  ( { A ,  B }  e.  { (/) ,  { A } }  \/  { A ,  B }  e.  { { B } ,  { A ,  B } } ) )
2927, 28sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  e.  ( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } ) )
30 pwpr 4247 . . . . . . . . 9  |-  ~P { A ,  B }  =  ( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )
3129, 30syl6eleqr 2566 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  e.  ~P { A ,  B } )
3231adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B
)  /\  s  =  { A ,  B }
)  ->  { A ,  B }  e.  ~P { A ,  B }
)
33 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  { A ,  B }  ->  ( s  e.  ~P { A ,  B }  <->  { A ,  B }  e.  ~P { A ,  B }
) )
3433adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B
)  /\  s  =  { A ,  B }
)  ->  ( s  e.  ~P { A ,  B }  <->  { A ,  B }  e.  ~P { A ,  B } ) )
3532, 34mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B
)  /\  s  =  { A ,  B }
)  ->  s  e.  ~P { A ,  B } )
36 pr2nelem 8394 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  ~~  2o )
3736adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B
)  /\  s  =  { A ,  B }
)  ->  { A ,  B }  ~~  2o )
38 breq1 4456 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  { A ,  B }  ->  ( s 
~~  2o  <->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
3938adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B
)  /\  s  =  { A ,  B }
)  ->  ( s  ~~  2o  <->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
4037, 39mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B
)  /\  s  =  { A ,  B }
)  ->  s  ~~  2o )
4135, 40jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B
)  /\  s  =  { A ,  B }
)  ->  ( s  e.  ~P { A ,  B }  /\  s  ~~  2o ) )
4241ex 434 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( s  =  { A ,  B }  ->  ( s  e.  ~P { A ,  B }  /\  s  ~~  2o ) ) )
4323, 42impbid 191 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( ( s  e. 
~P { A ,  B }  /\  s  ~~  2o )  <->  s  =  { A ,  B }
) )
44 breq1 4456 . . . 4  |-  ( p  =  s  ->  (
p  ~~  2o  <->  s  ~~  2o ) )
4544elrab 3266 . . 3  |-  ( s  e.  { p  e. 
~P { A ,  B }  |  p  ~~  2o }  <->  ( s  e.  ~P { A ,  B }  /\  s  ~~  2o ) )
46 elsn 4047 . . 3  |-  ( s  e.  { { A ,  B } }  <->  s  =  { A ,  B }
)
4743, 45, 463bitr4g 288 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( s  e.  {
p  e.  ~P { A ,  B }  |  p  ~~  2o }  <->  s  e.  { { A ,  B } } ) )
4847eqrdv 2464 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  ->  { p  e.  ~P { A ,  B }  |  p  ~~  2o }  =  { { A ,  B } } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2821    u. cun 3479    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   {csn 4033   {cpr 4035   class class class wbr 4453   ` cfv 5594   omcom 6695   2oc2o 7136    ~~ cen 7525   Fincfn 7528   2c2 10597   #chash 12385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-hash 12386
This theorem is referenced by:  pmtrprfval  16385
  Copyright terms: Public domain W3C validator