MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pr2nelem Structured version   Unicode version

Theorem pr2nelem 8171
Description: Lemma for pr2ne 8172. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
pr2nelem  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  ~~  2o )

Proof of Theorem pr2nelem
StepHypRef Expression
1 disjsn2 3937 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
2 ensn1g 7374 . . . . 5  |-  ( A  e.  C  ->  { A }  ~~  1o )
3 ensn1g 7374 . . . . 5  |-  ( B  e.  D  ->  { B }  ~~  1o )
4 pm54.43 8170 . . . . . . 7  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  { B }  ~~  1o )  ->  (
( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  <->  ( { A }  u.  { B } )  ~~  2o ) )
5 df-pr 3880 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
65breq1i 4299 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B }  ~~  2o  <->  ( { A }  u.  { B } )  ~~  2o )
74, 6syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  { B }  ~~  1o )  ->  (
( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  <->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
87biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  { B }  ~~  1o )  ->  (
( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
92, 3, 8syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( ( { A }  i^i  { B }
)  =  (/)  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
109ex 434 . . 3  |-  ( A  e.  C  ->  ( B  e.  D  ->  ( ( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) ) )
111, 10syl7 68 . 2  |-  ( A  e.  C  ->  ( B  e.  D  ->  ( A  =/=  B  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) ) )
12113imp 1181 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  ~~  2o )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606    u. cun 3326    i^i cin 3327   (/)c0 3637   {csn 3877   {cpr 3879   class class class wbr 4292   1oc1o 6913   2oc2o 6914    ~~ cen 7307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-om 6477  df-1o 6920  df-2o 6921  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313
This theorem is referenced by:  pr2ne  8172  en2eqpr  8174  en2eleq  8175  pr2pwpr  12183  pmtrprfv  15959  pmtrprfv3  15960  symggen  15976  pmtr3ncomlem1  15979  pmtr3ncom  15981  mdetralt  18414  en2top  18590  hmphindis  19370
  Copyright terms: Public domain W3C validator