MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pr2nelem Structured version   Unicode version

Theorem pr2nelem 8382
Description: Lemma for pr2ne 8383. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
pr2nelem  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  ~~  2o )

Proof of Theorem pr2nelem
StepHypRef Expression
1 disjsn2 3999 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
2 ensn1g 7583 . . . . 5  |-  ( A  e.  C  ->  { A }  ~~  1o )
3 ensn1g 7583 . . . . 5  |-  ( B  e.  D  ->  { B }  ~~  1o )
4 pm54.43 8381 . . . . . . 7  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  { B }  ~~  1o )  ->  (
( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  <->  ( { A }  u.  { B } )  ~~  2o ) )
5 df-pr 3939 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
65breq1i 4368 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B }  ~~  2o  <->  ( { A }  u.  { B } )  ~~  2o )
74, 6syl6bbr 266 . . . . . 6  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  { B }  ~~  1o )  ->  (
( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  <->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
87biimpd 210 . . . . 5  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  { B }  ~~  1o )  ->  (
( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
92, 3, 8syl2an 479 . . . 4  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( ( { A }  i^i  { B }
)  =  (/)  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
109ex 435 . . 3  |-  ( A  e.  C  ->  ( B  e.  D  ->  ( ( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) ) )
111, 10syl7 70 . 2  |-  ( A  e.  C  ->  ( B  e.  D  ->  ( A  =/=  B  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) ) )
12113imp 1199 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  ~~  2o )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2594    u. cun 3372    i^i cin 3373   (/)c0 3699   {csn 3936   {cpr 3938   class class class wbr 4361   1oc1o 7125   2oc2o 7126    ~~ cen 7516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-br 4362  df-opab 4421  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-om 6646  df-1o 7132  df-2o 7133  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522
This theorem is referenced by:  pr2ne  8383  en2eqpr  8385  en2eleq  8386  pr2pwpr  12579  pmtrprfv  17032  pmtrprfv3  17033  symggen  17049  pmtr3ncomlem1  17052  pmtr3ncom  17054  mdetralt  19570  en2top  19938  hmphindis  20749  pmtrto1cl  28559
  Copyright terms: Public domain W3C validator