MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pr2nelem Structured version   Unicode version

Theorem pr2nelem 8383
Description: Lemma for pr2ne 8384. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
pr2nelem  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  ~~  2o )

Proof of Theorem pr2nelem
StepHypRef Expression
1 disjsn2 4089 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
2 ensn1g 7581 . . . . 5  |-  ( A  e.  C  ->  { A }  ~~  1o )
3 ensn1g 7581 . . . . 5  |-  ( B  e.  D  ->  { B }  ~~  1o )
4 pm54.43 8382 . . . . . . 7  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  { B }  ~~  1o )  ->  (
( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  <->  ( { A }  u.  { B } )  ~~  2o ) )
5 df-pr 4030 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
65breq1i 4454 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B }  ~~  2o  <->  ( { A }  u.  { B } )  ~~  2o )
74, 6syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  { B }  ~~  1o )  ->  (
( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  <->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
87biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  { B }  ~~  1o )  ->  (
( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
92, 3, 8syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( ( { A }  i^i  { B }
)  =  (/)  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
109ex 434 . . 3  |-  ( A  e.  C  ->  ( B  e.  D  ->  ( ( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) ) )
111, 10syl7 68 . 2  |-  ( A  e.  C  ->  ( B  e.  D  ->  ( A  =/=  B  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) ) )
12113imp 1190 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  ~~  2o )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    u. cun 3474    i^i cin 3475   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447   1oc1o 7124   2oc2o 7125    ~~ cen 7514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6686  df-1o 7131  df-2o 7132  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520
This theorem is referenced by:  pr2ne  8384  en2eqpr  8386  en2eleq  8387  pr2pwpr  12487  pmtrprfv  16293  pmtrprfv3  16294  symggen  16310  pmtr3ncomlem1  16313  pmtr3ncom  16315  mdetralt  18917  en2top  19293  hmphindis  20125
  Copyright terms: Public domain W3C validator