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Theorem ppttop 17026
Description: The particular point topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ppttop  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, P    x, V

Proof of Theorem ppttop
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab 3381 . . . . 5  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( y  C_  ~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )
2 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  y  C_  ~P A )
3 sspwuni 4136 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  ~P A  <->  U. y  C_  A )
42, 3sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  U. y  C_  A )
5 vex 2919 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
65uniex 4664 . . . . . . . . 9  |-  U. y  e.  _V
76elpw 3765 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  ~P A  <->  U. y  C_  A )
84, 7sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  U. y  e.  ~P A )
9 neq0 3598 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  E. z  z  e.  U. y
)
10 eluni2 3979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U. y  <->  E. x  e.  y  z  e.  x )
11 r19.29 2806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  E. x  e.  y  z  e.  x )  ->  E. x  e.  y 
( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x ) )
12 n0i 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  x  ->  -.  x  =  (/) )
1312adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x )  ->  -.  x  =  (/) )
14 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x )  ->  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) )
1514ord 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x )  ->  ( -.  P  e.  x  ->  x  =  (/) ) )
1613, 15mt3d 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x )  ->  P  e.  x )
1716adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x ) )  ->  P  e.  x )
18 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x ) )  ->  x  e.  y )
19 elunii 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  x  /\  x  e.  y )  ->  P  e.  U. y
)
2017, 18, 19syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x ) )  ->  P  e.  U. y
)
2120rexlimiva 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. x  e.  y  ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x )  ->  P  e.  U. y
)
2211, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  E. x  e.  y  z  e.  x )  ->  P  e.  U. y
)
2322ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  -> 
( E. x  e.  y  z  e.  x  ->  P  e.  U. y
) )
2423ad2antll 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( E. x  e.  y  z  e.  x  ->  P  e. 
U. y ) )
2510, 24syl5bi 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( z  e.  U. y  ->  P  e.  U. y ) )
2625exlimdv 1643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( E. z  z  e.  U. y  ->  P  e.  U. y
) )
279, 26syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  P  e.  U. y ) )
2827con1d 118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( -.  P  e.  U. y  ->  U. y  =  (/) ) )
2928orrd 368 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( P  e.  U. y  \/  U. y  =  (/) ) )
30 eleq2 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( P  e.  x  <->  P  e.  U. y ) )
31 eqeq1 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  =  (/)  <->  U. y  =  (/) ) )
3230, 31orbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  <->  ( P  e. 
U. y  \/  U. y  =  (/) ) ) )
3332elrab 3052 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( U. y  e. 
~P A  /\  ( P  e.  U. y  \/  U. y  =  (/) ) ) )
348, 29, 33sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
3534ex 424 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( y  C_  ~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) )  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
361, 35syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
3736alrimiv 1638 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A. y ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
38 eleq2 2465 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  y ) )
39 eqeq1 2410 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
4038, 39orbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  <->  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) ) )
4140elrab 3052 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) ) )
42 eleq2 2465 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  z ) )
43 eqeq1 2410 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  (/)  <->  z  =  (/) ) )
4442, 43orbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  <->  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )
4544elrab 3052 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )
4641, 45anbi12i 679 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )  <->  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )
47 inss1 3521 . . . . . . . . 9  |-  ( y  i^i  z )  C_  y
48 simprll 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  y  e.  ~P A )
4948elpwid 3768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  y  C_  A
)
5047, 49syl5ss 3319 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
515inex1 4304 . . . . . . . . 9  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
5251elpw 3765 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  <->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
5350, 52sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  ~P A )
54 ianor 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( P  e.  y  /\  P  e.  z )  <->  ( -.  P  e.  y  \/  -.  P  e.  z )
)
55 elin 3490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( y  i^i  z )  <->  ( P  e.  y  /\  P  e.  z ) )
5654, 55xchnxbir 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  P  e.  ( y  i^i  z )  <->  ( -.  P  e.  y  \/  -.  P  e.  z
) )
57 simprlr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )
5857ord 367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( -.  P  e.  y  ->  y  =  (/) ) )
59 simprrr 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) )
6059ord 367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( -.  P  e.  z  ->  z  =  (/) ) )
6158, 60orim12d 812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( ( -.  P  e.  y  \/ 
-.  P  e.  z )  ->  ( y  =  (/)  \/  z  =  (/) ) ) )
6256, 61syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( -.  P  e.  ( y  i^i  z
)  ->  ( y  =  (/)  \/  z  =  (/) ) ) )
63 inss 3530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  (/)  \/  z  C_  (/) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  (/) )
64 ss0b 3617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  (/)  <->  y  =  (/) )
65 ss0b 3617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  (/)  <->  z  =  (/) )
6664, 65orbi12i 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  (/)  \/  z  C_  (/) )  <->  ( y  =  (/)  \/  z  =  (/) ) )
67 ss0b 3617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  i^i  z ) 
C_  (/)  <->  ( y  i^i  z )  =  (/) )
6863, 66, 673imtr3i 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  (/)  \/  z  =  (/) )  ->  (
y  i^i  z )  =  (/) )
6962, 68syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( -.  P  e.  ( y  i^i  z
)  ->  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
7069orrd 368 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( P  e.  ( y  i^i  z
)  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
71 eleq2 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  ( y  i^i  z
) ) )
72 eqeq1 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
7371, 72orbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  <->  ( P  e.  ( y  i^i  z
)  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
7473elrab 3052 . . . . . . 7  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  ( P  e.  ( y  i^i  z
)  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
7553, 70, 74sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
7675ex 424 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  ( z  e. 
~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
7746, 76syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( y  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )  ->  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
7877ralrimivv 2757 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
79 pwexg 4343 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
8079adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ~P A  e.  _V )
81 rabexg 4313 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V )
8280, 81syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V )
83 istopg 16923 . . . 4  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V  ->  ( { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z
)  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
8482, 83syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z
)  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
8537, 78, 84mpbir2and 889 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top )
86 pwidg 3771 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ~P A )
8786adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  e.  ~P A
)
88 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  P  e.  A )
8988orcd 382 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( P  e.  A  \/  A  =  (/) ) )
90 eleq2 2465 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  A ) )
91 eqeq1 2410 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
9290, 91orbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  <->  ( P  e.  A  \/  A  =  (/) ) ) )
9392elrab 3052 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( A  e.  ~P A  /\  ( P  e.  A  \/  A  =  (/) ) ) )
9487, 89, 93sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
95 elssuni 4003 . . . 4  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ->  A  C_  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
9694, 95syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  C_  U. { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
97 ssrab2 3388 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } 
C_  ~P A
98 sspwuni 4136 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  C_  ~P A 
<-> 
U. { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } 
C_  A )
9997, 98mpbi 200 . . . 4  |-  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  C_  A
10099a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  U. { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } 
C_  A )
10196, 100eqssd 3325 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  =  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
102 istopon 16945 . 2  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A )  <->  ( {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  /\  A  =  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
10385, 101, 102sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   ` cfv 5413   Topctop 16913  TopOnctopon 16914
This theorem is referenced by:  pptbas  17027
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-top 16918  df-topon 16921
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