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Theorem pptbas 19635
Description: The particular point topology is generated by a basis consisting of pairs  { x ,  P } for each  x  e.  A. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
pptbas  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  =  ( topGen `  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, P    x, V

Proof of Theorem pptbas
Dummy variables  w  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ppttop 19634 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
2 topontop 19553 . . . 4  |-  ( { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A )  ->  { y  e.  ~P A  | 
( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  e.  Top )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  e.  Top )
4 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
5 simplr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  P  e.  A )
6 prssi 4188 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  P  e.  A )  ->  { x ,  P }  C_  A )
74, 5, 6syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  { x ,  P }  C_  A
)
8 prex 4698 . . . . . . . 8  |-  { x ,  P }  e.  _V
98elpw 4021 . . . . . . 7  |-  ( { x ,  P }  e.  ~P A  <->  { x ,  P }  C_  A
)
107, 9sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  { x ,  P }  e.  ~P A )
11 prid2g 4139 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  { x ,  P } )
1211ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  P  e.  { x ,  P } )
1312orcd 392 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  ( P  e.  { x ,  P }  \/  {
x ,  P }  =  (/) ) )
14 eleq2 2530 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { x ,  P }  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  { x ,  P }
) )
15 eqeq1 2461 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { x ,  P }  ->  (
y  =  (/)  <->  { x ,  P }  =  (/) ) )
1614, 15orbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { x ,  P }  ->  (
( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) 
<->  ( P  e.  {
x ,  P }  \/  { x ,  P }  =  (/) ) ) )
1716elrab 3257 . . . . . 6  |-  ( { x ,  P }  e.  { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  <->  ( {
x ,  P }  e.  ~P A  /\  ( P  e.  { x ,  P }  \/  {
x ,  P }  =  (/) ) ) )
1810, 13, 17sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  { x ,  P }  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) } )
19 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } )  =  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } )
2018, 19fmptd 6056 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) : A --> { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) } )
21 frn 5743 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  { x ,  P }
) : A --> { y  e.  ~P A  | 
( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  ->  ran  (
x  e.  A  |->  { x ,  P }
)  C_  { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) } )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } )  C_  { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) } )
23 eleq2 2530 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  z ) )
24 eqeq1 2461 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  (/)  <->  z  =  (/) ) )
2523, 24orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) 
<->  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )
2625elrab 3257 . . . . 5  |-  ( z  e.  { y  e. 
~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  <-> 
( z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )
27 elpwi 4024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~P A  -> 
z  C_  A )
2827ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  z  C_  A )
2928sselda 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  w  e.  A )
30 prid1g 4138 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  z  ->  w  e.  { w ,  P } )
3130adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  w  e.  { w ,  P } )
32 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  w  e.  z )
33 n0i 3798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  z  ->  -.  z  =  (/) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  -.  z  =  (/) )
35 simplrr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) )
3635ord 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  ( -.  P  e.  z  ->  z  =  (/) ) )
3734, 36mt3d 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  P  e.  z )
38 prssi 4188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  z  /\  P  e.  z )  ->  { w ,  P }  C_  z )
3932, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  { w ,  P }  C_  z )
40 preq1 4111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  { x ,  P }  =  {
w ,  P }
)
4140eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
w  e.  { x ,  P }  <->  w  e.  { w ,  P }
) )
4240sseq1d 3526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  ( { x ,  P }  C_  z  <->  { w ,  P }  C_  z
) )
4341, 42anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
( w  e.  {
x ,  P }  /\  { x ,  P }  C_  z )  <->  ( w  e.  { w ,  P }  /\  { w ,  P }  C_  z
) ) )
4443rspcev 3210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  A  /\  ( w  e.  { w ,  P }  /\  {
w ,  P }  C_  z ) )  ->  E. x  e.  A  ( w  e.  { x ,  P }  /\  {
x ,  P }  C_  z ) )
4529, 31, 39, 44syl12anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  E. x  e.  A  ( w  e.  { x ,  P }  /\  {
x ,  P }  C_  z ) )
468rgenw 2818 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  A  { x ,  P }  e.  _V
47 eleq2 2530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  { x ,  P }  ->  (
w  e.  v  <->  w  e.  { x ,  P }
) )
48 sseq1 3520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  { x ,  P }  ->  (
v  C_  z  <->  { x ,  P }  C_  z
) )
4947, 48anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  { x ,  P }  ->  (
( w  e.  v  /\  v  C_  z
)  <->  ( w  e. 
{ x ,  P }  /\  { x ,  P }  C_  z
) ) )
5019, 49rexrnmpt 6042 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  {
x ,  P }  e.  _V  ->  ( E. v  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ( w  e.  v  /\  v  C_  z )  <->  E. x  e.  A  ( w  e.  { x ,  P }  /\  { x ,  P }  C_  z
) ) )
5146, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( E. v  e.  ran  (
x  e.  A  |->  { x ,  P }
) ( w  e.  v  /\  v  C_  z )  <->  E. x  e.  A  ( w  e.  { x ,  P }  /\  { x ,  P }  C_  z
) )
5245, 51sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ( w  e.  v  /\  v  C_  z ) )
5352ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  A. w  e.  z  E. v  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ( w  e.  v  /\  v  C_  z ) )
5453ex 434 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( z  e. 
~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) )  ->  A. w  e.  z  E. v  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ( w  e.  v  /\  v  C_  z ) ) )
5526, 54syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( z  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  ->  A. w  e.  z  E. v  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ( w  e.  v  /\  v  C_  z ) ) )
5655ralrimiv 2869 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A. z  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) } A. w  e.  z  E. v  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ( w  e.  v  /\  v  C_  z ) )
57 basgen2 19617 . . 3  |-  ( ( { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  e.  Top  /\  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } )  C_  { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  /\  A. z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) } A. w  e.  z  E. v  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ( w  e.  v  /\  v  C_  z ) )  -> 
( topGen `  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) )  =  { y  e. 
~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) } )
583, 22, 56, 57syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( topGen `  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) )  =  { y  e. 
~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) } )
59 eleq2 2530 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  x ) )
60 eqeq1 2461 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  (/)  <->  x  =  (/) ) )
6159, 60orbi12d 709 . . 3  |-  ( y  =  x  ->  (
( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) 
<->  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )
6261cbvrabv 3108 . 2  |-  { y  e.  ~P A  | 
( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  =  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }
6358, 62syl6req 2515 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  =  ( topGen `  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {cpr 4034    |-> cmpt 4515   ran crn 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594   topGenctg 14854   Topctop 19520  TopOnctopon 19521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-topgen 14860  df-top 19525  df-topon 19528
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